MATEMÁTICAS DISCRETAS UNIDAD1 Lógica y Demostraciones Para el estudio de esta unidad debe ubicarse en el Capítulo 1 del texto base, lea atentamente cada uno de los subtemas indicados en el índice de la guía, además es importante que se acompañe de un cuaderno y lápiz con el objeto de ir desarrollando los ejercicios que se le presenten. 1.1 PROPOSICIONES Inicie dando lectura a la subunidad 1.1 Proposiciones, con ésta, usted sabrá y podrá identificar claramente cuándo una oración es una proposición. Además conocerá los operadores lógicos o conectivas y las tablas de verdad para la negación, conjunción y disyunción. Para tener una visión general de lo que es la lógica proposicional le recomiendo visitar la página: http://es.wikipedia.org/wiki/lógica_proposicional Ahora es conveniente detenerse y repasar lo siguiente: Qué es una proposición? Cuándo utilizamos la conectiva de la conjunción? Cuándo utilizamos la conectiva de la disyunción? Cuándo un valor de verdad es verdadero para la conjunción? Cuándo un valor de verdad es falso para la disyunción? A continuación recalco algunos conceptos que aunque no consten en el libro base, es necesario que usted conozca: IMPORTANTE Las proposiciones pueden clasificarse en: Simples o atómicas: no contienen operadores lógicos. Compuestas o moleculares: poseen uno o más operadores lógicos. Pueden unir varias proposiciones simples o atómicas. Ejemplos: Proposiciones atómicas o simples: Carlos es alumno de la UTPL. La semana tiene siete días. 2 = 1 + 1 4 > 6 Proposiciones compuestas o moleculares
Carlos no estudia en la UTPL. La semana tiene siete días y hoy no es lunes. 2 = 1 + 1 o 2 3 4 9 IMPORTANTE Para simbolizar la proposiciones moleculares es necesario que primeramente identifique las proposiciones atómicas, luego debe asignar una variable (p, q, r ) a cada proposición atómica diferente, luego identifique y simbolice los operadores lógicos o conectivas o conectores (,,,, ), si es necesario debe utilizar paréntesis para, según sea el caso, dejar aclarando cuál es el orden de los operadores lógicos. Ejemplos: 2 = 1 + 1 o 2 3 2 = 1 + 1 : p 2 = 3: q o: al decir no es igual, estamos utilizando el operador no : 2 = 1 + 1 o 2 3: p q La semana tiene siete días y hoy no es lunes. La semana tiene siete días: p hoy es lunes: q y: no: La semana tiene siete días y hoy no es lunes: p q Continué simbolizando las siguientes proposiciones: Carlos no estudia en la UTPL. 4 9 ICONO Ejercicios Propuestos Para que esté seguro de que entendió esta subunidad, lo invito a desarrollar las preguntas de la sección de repaso del texto base indicada en la página 7, si usted no puede contestar alguna de ellas le sugiero que nuevamente de lectura al texto. También puede elegir cualquiera de los ejercicios planteados a continuación de ésa sección.
1.2 PROPOSICIONES CONDICIONALES Y EQUIVALENCIA LÓGICA Hasta aquí se ha familiarizado con los operadores,, y, ahora debe continuar con la subunidad 1.2 Proposiciones condicionales y equivalencia lógica, con la cuál conocerá los operadores y las tablas de verdad para la condicional y la bicondicional. También se introduce el término de equivalencia y algunas leyes importantes de la lógica. Antes de continuar le propongo que revise algunas páginas de Internet que contengan ejemplos de proposiciones formadas por varios operadores lógicos, es interesante que usted conozca que otras frases o palabras se utilizan para representar las conectivas. Ejemplos: El cuatro es un número par, y, si el ocho es múltiplo de cuatro entonces el ocho es divisible para dos. El cuatro es un número par: p El ocho es múltiplo de cuatro: q El ocho es divisible para dos: r Y: Si entonces..: El cuatro es un número par, y, si el ocho es múltiplo de cuatro entonces el ocho es divisible para dos: p (q r) En este caso es necesario utilizar paréntesis para aclarar que el operador principal es la conjunción. No es cierto que: si Linux es software libre entones no tiene costo. Linux es software libre: p Linux tiene costo: q No se da que: Si entonces: No: No se da que: si Linux es software libre entones no tiene costo: ( p q) Nuevamente es necesario agregar paréntesis para indicar que la negación es la conectiva principal y que afectará a: p q. Continúe simbolizando las siguientes proposiciones: Si Carlos no estudia matemáticas entonces estudia programación. No es cierto que: El lunes tengo clases y no hay vacación.
Recuerde que los símbolos de agrupación nos permiten modificar la PRECEDENCIA (revisar el ejemplo 1.1.11 del texto base) de los operadores lógicos, por tanto al elaborar las tablas de verdad para la siguientes proposiciones, su valoración final será diferente: 1. p v q r 2. (p q r) 3. (p q) r En el ejemplo 1, que carece de paréntesis, se deberá recurrir a la precedencia de los operadores, con esto sabemos que el operador último en evaluarse será la principal, por tanto tenemos la disyunción v. En el ejemplo 2 el operador principal será la negación. En el ejemplo 3 el operador principal será la conjunción. Antes de continuar revise nuevamente las tablas de verdad de la condicional (definición 1.2.3) y la bicondicional (definición 1.2.8), observe como están distribuidos los valores de verdad para las variables p y q. Hay alguna diferencia?. Aclaremos la elaboración de las tablas con lo siguiente: IMPORTANTE Para elaborar las TABLAS DE VERDAD para proposiciones que trabajen con varios operadores y proposiciones, podemos seguir los siguientes pasos: Aplicar la fórmula 2 n, donde n es el número de proposiciones atómicas diferentes, y 2 n nos dará el número de filas o de combinaciones de valores diferentes que tendrán las variables proposicionales. Por cada columna ubicar una proposición u operador lógico. Ubicar los valores de verdad para las proposiciones, considerando el orden alfabético de las mismas. Se evalúa los operadores considerando el orden de precedencia. Si existen paréntesis, se inicia con los operadores más internos hasta llegar al operador principal. Ejemplo: 1. Para p q r tenemos 3 proposiciones atómicas diferentes (p, q, r), por tanto trabajaremos con 2 3 = 8 diferentes combinaciones de valores V y F que asignaremos a p, q y r.
Si ubicamos paréntesis a la proposición p q r quedaría p (q r), para crear la tabla de verdad utilizaremos 6 columnas para cada proposición y operador (, p,, q,,r ). Como tenemos 8 combinaciones diferentes, asignaremos 4 valores de V y 4 valores de F a la variable p, 2 valores de V y 2 de F a q hasta llenar la columna, y 1 valor de V y 1 de F a la variable r hasta llenar la columna. p (q r) V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Ahora evaluamos la negación basándonos en la columna de la variable p: p (q r) F V V V F V V F F V F V F V F F V F V V V F V F V F F V V F F F Seguimos con la conjunción: p (q r) F V V V V F V V F F F V F F V F V F F F V F V V V V F V F F V F F F V V F F F F Al final evaluamos la disyunción y tomaremos los valores de verdad de la columna de la negación y el de la disyunción: p (q r) F V V V V V
F V F V F F F V F F F V F V F F F F V F V V V V V F V V F F V F V F F V V F V F F F 2. Para (p q r) luego de ubicar los valores de verdad a cada variable proposicional, iniciaremos evaluando la conjunción: (p (q r)) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V F V F F F F F V F F F F Ahora debemos evaluar la disyunción, para lo cual tomamos los valores de la columna de la variable p y la columna de la conjunción: (p (q r)) V V V V V V V V F F V V F F V V V F F F F V V V V F F V F F F F F F V F F F F F En este caso el operador principal es la negación, para evaluarla tomamos los valores de la disyunción: (p (q r)) F V V V V V F V V V F F F V V F F V F V V F F F F F V V V V V F F V F F V F F F F V V F F F F F
3. Le propongo desarrollar la tabla de verdad para la proposición: (p q) r. ICONO Actividad Recomendada También le aconsejo revisar en otros libros o Internet como elaborar las tablas de verdad, ya que algunos autores hacen uso del 1 o del 0 para referirse a los valores verdadero y falso respectivamente. Las tablas de verdad se utilizan para demostrar la equivalencia entre proposiciones, revise al ejemplo 1.2.11 del texto base en el cual se elabora la tabla de verdad para demostrar la equivalencia de las leyes de De Morgan. Realice usted la demostración para la siguiente equivalencia: (p q) p q ICONO Ejercicios Propuestos Ahora ya puede desarrollar la sección de repaso de esta subunidad indicada en la página 16, nuevamente recalco que en caso de no poder contestar alguna de las preguntas, es importante que usted vuelva a dar lectura a los temas. 1.3 CUANTIFICADORES En esta subunidad usted conocerá cómo simbolizar proposiciones que hacen uso de los cuantificadores universales y de los existenciales, algunas de las palabras o frases dentro de nuestro lenguaje natural utilizadas para expresar estos cuantificadores, a más de los indicados en el texto base, son: Para tener una visión general de lo que es la lógica de predicados le recomiendo visitar la página: http://es.wikipedia.org/wiki/lógica_de_primer_orden Cuantificador Universal: Todo, Ninguno Cuantificador Existencial: Hay un, Ciertos Ejemplos: Todo número entero es real P(x) x es un número entero Q(x) x es un número real x(p(x) Q(x)) Hay un animal que ladra. P(x) x es un animal Q(x) x ladra
(x) (P(x) Q(x)) Basándonos en las leyes de De Morgan (revisar teorema 1.3.14) podemos establecer las equivalencias entre las siguientes proposiciones cuantificadas: 1. x (P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) 2. x (P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) 3. x (P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) 4. x (P(x) Q(x)) x (P(x) Q(x)) Si estas proposiciones les hiciéramos corresponder a frases en nuestro lenguaje natural, obtendríamos lo siguiente: 1. Algunos niños lloran No es cierto que todos los niños no lloran 2. Ningún carro es de palo No se da que algún carro es de palo 3. Todos los países son libres No hay un país que no sea libre 4. Algunos libros no son científicos No se da que todo libro es científico ICONO Ejercicios Propuestos Para que repase lo estudiado, desarrolle los ejercicios 19 al 27 de la página 29. 1.4 CUANTIFICADORES ANIDADOS Lea atentamente la subunidad 1.4 Cuantificadores anidados, de ser necesario repita cada ejercicio en su cuaderno. ICONO Ejercicios Propuestos Luego de haber entendido este tema puede desarrollar los ejercicios del 6 al 9 de la sección de repaso propuestas en la página 35 del texto base, también desarrolle los ejercicios 13 y 14 de la página 35, yo le ayudo con algunos ejemplos: Todos aman a todos A(x,y) x ama a y x y A(x,y) Alguien ama a todos A(x,y) x ama a y x y A(x,y)
1.5 DEMOSTRACIONES De lo estudiado hasta ahora, usted debe saber que el objetivo principal de la lógica es determinar si un razonamiento o argumento es válido o no, con la subunidad 1.5 nos enfocaremos en las demostraciones por prueba directa y por contradicción utilizadas para verificar la validez de los argumentos. ICONO Ejercicios Propuestos Antes de realizar algunos ejercicios es necesario que usted domine las reglas de inferencia indicadas en la figura 1.5.1, también puede resolver los ejercicios 17 al 32 de la sección de repaso del texto base en la página 47. Para continuar ponga atención a lo siguiente: IMPORTANTE Un ARGUMENTO está formado por un conjunto de premisas y una conclusión, las premisas vienen a ser: p(x 1, x 2, x 3 ) y la conclusión: q(x 1, x 2, x 3 ). Aplicando la prueba directa debemos partir de las premisas y con ayuda de las reglas de inferencia debemos llegar a la conclusión (revisar la página 38 del texto base). Ejemplos: 1. Si Juan es profesor entonces Carlos no estudia en la UTPL. Si Carlos no estudia en la UTPL entonces Carlos es matemático. Por tanto: Si Juan es profesor entonces Carlos es matemático. Simbolizando: 1 p q 2 q r Conclusión: p r PRUEBA DIRECTA 1 p q 2 q r Conclusión: p r 3 p r SH(1,2) 2. En el siguiente ejemplo ya nos indican la simbolización: 1 p q 2 q r 3 p Conclusión r
PRUEBA DIRECTA 1 p q 2 q r 3 p Conclusión R 4 q MP(1,3) 5 r MP(2,4) Con la prueba por contradicción, debemos incluir como premisa a la conclusión negada, luego aplicando las reglas de inferencia debemos llegar a una contradicción (revisar la página 39 del texto base). Por ejemplo, retomamos los dos ejercicios anteriores: 1. Si Juan es profesor entonces Carlos no estudia en la UTPL. Si Carlos no estudia en la UTPL entonces Carlos es matemático. Por tanto: Si Juan es profesor entonces Carlos es matemático. Simbolizando: 1 p q 2 q r Conclusión: p r PRUEBA POR CONTRADICCIÓN 1 p q 2 q r Conclusión: p r 3 (p r) 4 p r SH(1,2) 5 (p r) ^ (p r) Conjunción (3, 4) Contradicción 2. En el siguiente ejemplo ya nos indican la simbolización: 1 p q 2 q r 3 p Conclusión R PRUEBA POR CONTRADICCIÓN 1 p q 2 q r 3 p 4 r Negación de la conclusión R 5 q MP(1,3)
6 r MP(2,5) 7 r ^ r Conjunción (4, 6) contradicción Es necesario indicar la regla de inferencia y las premisas que se han utilizado, en muchos de los casos los argumentos se tendrán que simbolizar antes de iniciar la demostración, considere que después de encontrar un punto se trabaja con una nueva premisa.