Tema 2: Álgebra vectorial

Tema 2: Álgebra vectorial FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1

Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Producto escalar, vectorial, mixto Doble producto vectorial Derivada de un vector 2

Magnitudes escalares y vectoriales Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidad Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentido Velocidad, aceleración, fuerza, etc Magnitud tensorial 3

Definición de vector En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial En Física es un segmento orientado: una flecha Módulo Recta soporte Dirección Sentido Punto de aplicación Representación: a o Punto de aplicación Sentido módulo Recta soporte (dirección) 5

Tipos de vectores Libres: módulo, dirección y sentido Pueden moverse libremente en el espacio Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soporte Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación No pueden desplazarse en el espacio 6

Vectores libres Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan en el espacio 8

Vectores libres Suma de vectores libres Dos vectores Varios vectores 10

Vectores libres: suma Propiedades de la suma Conmutativa Asociativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto 11

Vectores libres: producto por un escalar El producto por un escalar es otro vector Propiedades Asociativa respecto al producto por un escalar Distributiva respecto a la suma de vectores Distributiva respecto a la suma de escalares Existencia de escalar unidad 12

Bases vectoriales Los infinitos vectores que pueden definirse sobre una recta pueden caracterizarse con uno de los vectores y un número La base del espacio vectorial formado por todos los vectores contenidos en una recta tiene dimensión 1 Los infinitos vectores que pueden definirse sobre un plano pueden caracterizarse con dos de los vectores no colineales y dos números La base del espacio vectorial formado por todos los vectores contenidos en un plano tiene dimensión 2 14

Bases vectoriales Los infinitos vectores que pueden definirse en un espacio tridimensional pueden caracterizarse con tres de los vectores no colineales y no coplanarios y tres números La base del espacio vectorial formado por todos los vectores en el espacio tiene dimensión 3 15

Bases vectoriales Una base en E 3 es una terna de vectores, B = {v 1, v 2, v 3 }, tal que cualquier vector a puede escribirse como combinación lineal de ellos a 1, a 2, a 3 son las componentes de a en la base B Para que tres vectores formen una base no deben ser ni colineales ni coplanarios (linealmente independientes) La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente independientes que pueden describir todos los vectores del espacio 16

Base cartesiana Triedro OX 1 X 2 X 3 OXYZ X 3 Z Base ortonormal Componentes O X 2 Y Álgebra vectorial X 1 X 17

Producto escalar Definición El resultado de la operación es un escalar El punto es importante Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y ángulos 19

Producto escalar: aplicaciones Condición de ortogonalidad para dos vectores Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro vector Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector Si ninguno de los vectores es unitario 20

Producto escalar: métrica del espacio Distancia entre dos puntos X 3 P(p1,p2,p3) Q(q 1,q 2,q 3 ) Ángulo entre dos vectores O X 2 X 1 Permite definir una métrica en el espacio 21

Producto escalar: propiedades Propiedades Asociativa resp. prod. por un escalar Conmutativa Distributiva resp. a suma Cancelativa 22

Producto escalar: base ortonormal Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de módulo unidad Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal 23

Producto escalar: aplicaciones Distancia entre dos puntos Módulo de un vector Ángulo entre dos vectores Construcción de un vector unitario paralelo a un vector a 24

Producto escalar: aplicaciones Componentes cartesianas de un vector Cosenos directores X 3 O X 2 X 1 25

Producto escalar: ecuación vectorial de un plano Punto por el que pasa el plano Z Vector normal al plano P 1 P Punto genérico del plano X O Y Condición para que el punto P esté en el plano Ecuación general del plano 26

Producto vectorial Definición El resultado de la operación es un vector Escritura alternativa Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo Permite construir rápidamente vectores perpendiculares Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal 27

Producto vectorial Condición de paralelismo =0 = Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal Si uno de los vectores es unitario (u) da la componente perpendicular a u de la proyección ortogonal sobre él del otro vector La otra componente la da el producto escalar 28

Producto vectorial Si ninguno de los dos vectores es unitario, el módulo es la componente perpendicular de la proyección ortogonal multiplicada por el otro vector Área del paralelogramo que forman dos vectores 29

Producto vectorial Propiedades No es asociativo Anticonmutativa Asociativa resp. al prod. por un escalar Distributiva respecto a la suma Cancelativa 30

Producto vectorial: base cartesiana Es una base ortonormal dextrógira Expresión en una base ortonormal 31

Producto vectorial: ecuación vectorial de una recta Punto por el que pasa la recta Z P 1 Vector director de la recta P r Punto genérico de la recta X O Y Condición para que el vector sea paralelo al vector director Ecuaciones de la recta Vectorial Paramétricas Continua 32

Producto mixto Definición: involucra tres vectores El resultado de la operación es un escalar El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo h Condición de coplanariedad Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo 33

Producto mixto Propiedades Permutabilidad cíclica Permutabilidad acíclica Expresión en una base cartesiana 34

Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados Puntos por los que pasa el plano Z Punto genérico del plano P 2 P 1 P 3 Condición de coplanariedad X O Y Ecuación del plano 35

Doble producto vectorial Definición: involucra tres vectores El resultado de la operación es un vector Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales 37

Derivada de un vector Un vector puede ser función de una variable Variación del módulo Variación de la dirección En general varían las dos cosas 39

Derivada de un vector Derivada de un vector expresado en una base cartesiana Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores 40

Resumen Definición de vector Vectores libres Suma y producto por un escalar Bases vectoriales Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del espacio Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio Producto escalar Condición de ortogonalidad Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación al cálculo de componentes en bases cartesianas) 41

Resumen Producto vectorial Condición de paralelismo Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección Área del paralelogramo Producto mixto Condición de coplanariedad Volumen del paralelepípedo Doble producto vectorial Derivada de un vector Puede cambiar el módulo y/o la dirección Derivada de un producto escalar y vectorial 42