CAPÍTULO 1. Espacios Vectoriales. Sumario

CAPÍTULO 1 Espacios Vectoriales Sumario 1.1. Introducción 1.2. La estructura de espacio vectorial 1.3. Dependencia e independencia lineal 1.4. Subespacios vectoriales o variedades lineales 1.5. Base y dimensión 1.6. Estructuras matemáticas y económicas 1.7. Resumen 1.8. Ejercicios propuestos 1.9. Soluciones de los ejercicios propuestos 1.10. Palabras clave

2 Matemáticas para los grados en economía y empresa 1.1. INTRODUCCIÓN El nombre de vector aparece en Física para designar aquellas magnitudes como, por ejemplo, la velocidad que para su determinación exigen, no sólo un número (l km por hora) sino también hacia donde se va (dirección y sentido). El concepto de vector se ha generalizado, y en lo que sigue, para nosotros, será un conjunto ordenado de números, por ejemplo (3, 5, 2, 0). En el presente tema se estudian los espacios de vectores, con sus propiedades, llegándose a introducir la noción de estructura, distinguiéndose entre estructuras económicas. A continuación se resumen los conceptos teóricos que se deben recordar, terminándose con ejercicios propuestos. 1.2. LA ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL No sólo se definen estructuras con una o dos leyes de composición interna (1), sino que también se utilizan leyes de composición externa en la definición de algunos tipos de estructuras. Sea un cuerpo K, cuyos elementos se representarán por letras griegas y E un grupo abeliano de elementos notados con letras latinas. Se define un espacio vectorial E sobre el cuerpo K si se define una aplicación de K # E en E, tal que a todo par (j, x) à K # E, haga corresponder un elemento j x à E, que cumpla las siguientes propiedades: I. j (x! y) % j x! j y (distributividad con respecto a la adición de E) II. (j k) x % j x! k x (distributividad respecto a la adición de K) III. j (k x) % (j * k) x (asociatividad de los elementos de K) IV. e x % x, siendo e el elemento neutro de K, siendo! la operación de E y y * las de K. Los elementos de K reciben, usualmente, el nombre de escalares y los de E, se suelen conocer con la denominación de vectores, que generalmente son matrices de una sola fila o de una sola columna. Observaciones a) En la mayoría de los casos el cuerpo K suele ser el. b) El conjunto de los vectores del plano o del espacio euclidianos forman un espacio vectorial sobre. (1) Ver Apéndice.

Espacios Vectoriales 3 Ejemplo 1 Dado el conjunto E % R(a, b) : a à, b à S, se definen las leyes siguientes: I. Una ley, notada!, E # E r E, tal que (a, b)! (añ, bñ) % (a! añ, b! bñ) II. Una ley, notada, # E r E, tal que si j à, j (a, b) % (ja, jb) Comprobar que (E,!, ) es un espacio vectorial sobre. Solución I. Es inmediato comprobar que! es una ley de composición interna, que cumple las propiedades asociativa y conmutativa, (0, 0) es el elemento neutro y (.a,.b) es el opuesto o simétrico de (a, b). Por tanto, (E,!) tiene estructura de grupo abeliano. II. Si j y k son números reales, se cumplen las propiedades: 1. j [k (a, b)] % j (ka, kb) % (jka, jkb) (jk) (a, b) % (jka, jkb) luego j [k (a, b)] % (jk) (a, b) esto es, se verifica la asociatividad respecto al producto de escalares. 2. j [(a, b)! (c, d)] % j (a! c, b! d) % (j(a! c), j(b! d)) j (a, b)! j (c, d) % (ja, jb)! (jc, jd) % % (ja! jc, jb! jd) % (j(a! b), j(c! d)) luego, j [(a, b)! (c, d)] % j (a, b)! j (c, d), que nos dice que se verifica la distributividad respecto a la suma de vectores. 3. (j! k) (a, b) % ((j! k)a, (j! k)b) j (a, b)! k (a, b) % (ja, jb)! (ka, kb) % % (ja! ka, jb! kb) % ((j! k)a, (j! k)b)

4 Matemáticas para los grados en economía y empresa o sea: (j! k) (a, b) % j (a, b)! k (a, b) que pone de manifiesto que se cumple la distributividad con respecto a la suma de escalares. 4. Es evidente que: 1 (a, b) % (1 a, 1 b) % (a, b) Por tanto, (E, ) cumple las cuatro propiedades de la ley externa y como (E,!) era grupo abeliano (E,!, ) tiene estructura de espacio vectorial. c) Todo cuerpo K es un espacio vectorial sobre sí mismo, siendo los elementos de K, a la vez, vectores y escalares. d) El cuerpo de los números complejos es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los reales. e) Sea el E un espacio vectorial sobre R, el producto del elemento neutro de (que representamos por 0) por un vector v6 cualquiera, es el vector cero, notado 01. En efecto: pero luego (1! 0)v6% 1 v6! 0 v6% v6! 0 v6 (1! 0)v6% 1 v6% v6 v6! 0 v6% v6 ú 0 v6% 01 f) El elemento neutro de E por cualquier escalar j, es igual a dicho elemento neutro. En efecto: de donde v6! 01% v6; j v6% j (v6! 01) % j v6! j 01 j01% 01

g) Si el producto de un escalar por un vector es igual a 01 (elemento neutro de E), o bien el escalar es igual al número cero, o bien el vector es 01. Resulta evidente de las propiedades e) y f ). Espacios Vectoriales 5 h) Sea M el conjunto de las matrices m # n. Se definen las operaciones suma de matrices y producto por un número real. El conjunto M con esas operaciones, es así, un espacio vectorial sobre R. 11 a 12 ñ a 1n b12 ñ b1n a A! B %Aa 21 a 22 ñ a 2n b 21 b 22 ñ b 2n ññññññññ ññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb!ab11 b m1 b m2 ñ b mnb% 11! b 11 a 12! b 12 ñ a 1n! b 1n a %Aa 21! b 21 a 22! b 22 ñ a 2n! b 2n ññññññññññññññññ a m1! b m1 a m2! b m2 ñ a mn! b mnb 11 a 12 ñ a 1n ja12 ñ ja1n a j A % j Aa 21 a 22 ñ a 2n 21 ja 22 ñ ja 2n ññññññññ ñññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb%aja11 m1 ja m2 ñ ja mnb I. La suma de matrices es sabido que es asociativa y conmutativa; la matriz cero: 0 ñ 0 0 0 ñ 0 0 %A0 0B ññññññ 0 0 ñ de dimensión m # n, es el elemento neutro de la suma de matrices, ya que A! 0 % 0! A % A

6 Matemáticas para los grados en economía y empresa Además, dada la matriz A, la matriz 11.a 12 ñ.a 1n.A %A.a 21.a 22 ñ.a 2n ñññññññññññ.a m1.a m2 ñ.a mnb es la opuesta o simétrica de A en la suma. Por tanto, (M,!) es un grupo abeliano. II. Si j y k à, es inmediato que 1. 11 a 12 ñ a 1n ka12 ñ ka1n a j CkAa 21 a 22 ñ a 2n 21 ka 22 ñ ka 2n ññññññññ ñññññññññ a m1 a m2 ñ a mnbd%jaka11 m1 ka m2 ñ ka mnb% 11 jka 12 ñ jka 1n a12 ñ a1n %Ajka 21 jka 22 ñ jka 2n a 21 a 22 ñ a 2n ñññññññññññ ññññññññ jka m1 jka m2 ñ jka mnb%jkaa11 a m1 a m2 ñ a mnb% 2. Si A y B son dos matrices cualesquiera 11 a 12 ñ a 1n b12 ñ b1n a j (A!B)% CAa 21 a 22 ñ a 2n b 21 b 22 ñ b 2n ññññññññ ññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb!ab11 b m1 b m2 ñ b mnbd% 11! b 11) j(a 12! b 12) ñ j(a 1n! b 1n) %Aj(a 21! b 21 ) j(a 22! b 22 ) ñ j(a 2n! b 2n ) ñññññññññññññññññññ j(a m1! b m1 ) j(a m2! b m2 ) ñ j(a mn! b mn )B% 11 ja 12 ñ ja 1n jb12 ñ jb1n %Aja 21 ja 22 ñ ja 2n 21 jb 22 ñ jb 2n ñññññññññ ñññññññññ ja m1 ja m2 ñ ja mnb!ajb11 m1 jb m2 ñ jb mnbd%ja!jb

Espacios Vectoriales 7 3.! k)a 11 (j! k)a 12 ñ (j! k)a 1n! k)a (j! k) A%A(j 21 (j! k)a 22 ñ (j! k)a 2n ) ñññññññññññññññññ (j! k)a m1 (j! k)a m2 ñ (j! k)a mnb% 11 ja 12 ñ ja 1n ka12 ñ ka1n %Aja 21 ja 22 ñ ja 2n 21 ka 22 ñ ka 2n ñññññññññ ñññññññññ ja m1 ja m2 ñ ja mnb!aka11 m1 ka m2 ñ ka mnb%ja!ka 4. Si 1 à y A es una matriz m # n se tiene: 11 a 12 ñ a 1n a 1 A % 1 Aa 21 a 22 ñ a 2n ññññññññ a m1 a m2 ñ a mnb%a 1.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Dados los vectores v 1, v 2, v 3,..., v n, se dice que son linealmente dependientes, si existen n escalares j 1, j 2, j 3,..., j n no todos nulos tales que j 1 v 1! j 2 v 2! j 3 v 3! ñ! j n v n % 01 (vector cero) Si no existen n números no todos cero que hagan igual a 01 la suma anterior, se dice que los referidos vectores son linealmente independientes. Ejemplo 2 Dados los vectores del espacio bidimensional a 1 % (3, 1), a 2 % (4, 1) y a 3 % (1, 1) son linealmente dependientes? Solución Si son linealmente dependientes, se tiene que cumplir que j 1 a 1! j 2 a 2! j 3 a 3 % 0 no siendo nulos simultáneamente j 1, j 2 y j 3.

8 Matemáticas para los grados en economía y empresa o bien o bien Entonces: j 1 (3, 1)! j 2 (4, 1)! j 3 (1, 1) % (0, 0) (3j 1, j 1 )! (4j 2, j 2 )! (j 3, j 3 ) % (3j 1! 4j 2! j 3, j 1! j 2! j 3 ) % (0, 0) E 3j 1! 4j 2! j 3 % 0 j 1! j 2! j 3 % 0 Sistema compatible e indeterminado que admite la solución, no trivial, si hacemos j 3 %.1: nos proporciona j 1 %.3j 3 y j 2 % 2j 3 j 1 % 3, j 2 %.2, j 3 %.1 3 (3, 1). 2(4, 1). 1 (1, 1) % (0, 0) esto es, existen tres números 3,.2 y.1, no todos cero, que hacen la suma igual al vector cero; luego los tres vectores dados son linealmente dependientes. Si un vector v, se puede obtener a partir de los vectores v 1, v 2,..., v n v % j 1 v 1! j 2 v 2! ñ! j n v n se dice que el vector v, depende linealmente de los otros vectores o es combinación lineal. Ejemplo 3 Dado los vectores v 1 % (1, 2, 3), v 2 % (0,.1, 3) y v 3 % (2,.1,.4) el vector v % 2v 1! v 2. 3v 3 % 2(1, 2, 3)! (0,.1, 3). 3(2,.1,.4) % (2, 4, 6)!! (0,.1, 3)! (.6, 3, 12) % (.4, 6, 21) es combinación lineal de ellos.

1.4. SUBESPACIOS VECTORIALES O VARIEDADES LINEALES Se dice que L es un subespacio vectorial o una variedad lineal del espacio vectorial E sobre el cuerpo K, cuando se cumplen las propiedades: 1. L es un subconjunto de E. 2. L también es un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E. Por tanto, si u y uñ son vectores de L, esto es, si u, uñ à L, se cumplen: siendo j à K. u! uñ à L y ju à L Espacios Vectoriales 9 Como consecuencia, el elemento neutro de E, pertenece a L, así como el opuesto de cualquier vector de L; en efecto, de ju à L, si j %.1,.u à L. Pero por otra parte como: u! (.u) % 01 y como u! (.u) à L, 01 à L. Si un subespacio vectorial L contiene a los vectores u 1, u 2,..., u h, también contiene a todos los vectores de la forma u % j 1 u 1! j 2 u 2! ñ! j h u h, j 1, j 2,..., j n à K Ejemplo 4 Determinar x e y para que el vector v % (3, 2, x, y) pertenezca a la variedad lineal engendrada por (1, 4,.5, 2) y (1, 2, 3, 1). Solución Para que v pertenezca a la referida variedad lineal: de donde j(1, 4,.5, 2)! k(1, 2, 3, 1) % (3, 2, x, y) j! k % 3 4j! 2k % 2.5j! 3k % x 2j! k % y

10 Matemáticas para los grados en economía y empresa De las dos primeras: j %.2, k % 5, que sustituidos en la tercera y la cuarta: x %.5 (.2)! 3 5 % 25 y % 2 (.2)! 5 % 1 1.5. BASE Y DIMENSIÓN Si todos los vectores v 1, v 2,..., v n, de un espacio vectorial se pueden obtener como combinación lineal de los vectores u 1, u 2,..., u k, se dice que éstos constituyen un sistema generador de dicho espacio vectorial. Si los vectores que constituyen un sistema generador de E son linealmente independientes, constituyen una base del referido espacio vectorial. Ejemplo 5 Sean los dos vectores del espacio vectorial bidimensional: como es evidente, la igualdad u 1 % (2, 1) y u 2 % (0, 3) (2, 1) % j(0, 3) no se puede cumplir, puesto que llevaría a las igualdades escalares 2 % j0, 1 % 3j; luego los vectores dados son linealmente independientes; por otra parte como forman un sistema generador de vectores, ya que siendo (x, y) un vector de dicho espacio de (x, y) % j 1 (2, 1)! j 2 (0, 3) se obtiene o bien (x, y) % (2j 1! 0, j 1! 3j 2 ), j 1 y j 2 parámetros reales Ex % 2j 1 y % j 1! 3j 2 o sea cualquier vector se obtiene como combinación de u 1 y u 2 ; por tanto (u 1, u 2 ) es una base de dicho espacio, y a estas expresiones se las denomina ecuaciones paramétricas. Se puede demostrar que todas las posibles bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de elementos. A dicho número, esto es, al número de elementos de que consta cualquier base de un espacio vectorial, se le denomina dimensión del referido espacio. Si es posible eliminar los parámetros la o las expresiones resultantes son las ecuaciones no paramétricas.

Espacios Vectoriales 11 Nota. Aunque no se ha desarrollado todavía en este libro la noción de rango de una matriz, el alumno puede hacer uso de dicho recurso, ya que lo conoce de la enseñanza media. El estudio de esta cuestión corresponde al tema siguiente. Basta recordar que el número de vectores fila o columna independientes, en una matriz, coincide con el rango de ésta. 1.6. ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS Y ECONÓMICAS Hacia el año 1930 puede decirse que se inicia la Matemática Moderna con la aparición, principalmente, del grupo «Nicolás Bourbaki», nombre que adopta un equipo de matemáticos procedentes de la Escuela Normal Superior de París y del que Vidal Abascal ofreció una brillante apología en un número de la Revista de Occidente. Como un resumen de la obra de Bourbaki dice Vidal: «Se trata de teorías y estructuras abstractas, formales, que se podrán aplicar a objetos muy diferentes (puntos, números, funciones, transformaciones geométricas, etc.) y de las operaciones o relaciones entre estos elementos (adición, multiplicación, composición,...)». El propio profesor Vidal nos dice que «toda la matemática moderna reposa sobre la noción de estructura: es más, es esta noción la que precisa y da unidad a este calificativo de moderna». Y la estructura queda definida «por las propiedades de las operaciones que se establecen sobre objetos indeterminados». Esta amplia noción de estructura incluye al concepto correspondiente de la ciencia económica. Así, cuando el profesor Sampedro dice: «La Estructura es, por tanto, el estudio de las relaciones más o menos permanentes observables en la realidad económica», ha formulado implícitamente la existencia de objetos indeterminados (empresas, consumidores o sectores económicos que se asocian mediante ciertas operaciones de pertenencia o de identidad, por ejemplo) y originan las relaciones a que hace referencia la definición de Sampedro. El concepto de «estructura», presentado mediante un sistema de ecuaciones, cuyos elementos incluyen ciertas propiedades probabilísticas, es fundamental en el campo de la moderna Econometría. Ahora bien, existe una clara diferencia entre una estructura económica o mecánica, o política y una estructura matemática, en tanto en cuanto esta última trate con entes mentales o procedentes de la abstracción de la realidad física. Esta característica se percibe mejor a través del concepto de ciencia formal, al pensar que la estructura consiste en las propiedades de los axiomas con independencia de los objetos a que se refieren y al significado de las operaciones. Sin embargo, como dice Vidal, aunque la unidad de la matemática reside en el método axiomático, éste no debe entenderse al estilo euclidiano (en donde se

12 Matemáticas para los grados en economía y empresa establecen los axiomas que determinan una disciplina matemática aislada), «sino en el análisis axiomático, que permite despiezar la teoría matemática en estructuras, permitiendo apreciar los elementos que integran cada teoría y cuales de ellos son comunes a teorías en apariencia dispares». De este modo, en economía es, según Sampedro, imprescindible proceder con análisis estructurales, que, como ha quedado manifiesto más arriba, es un método de trabajo que también en otras ciencias, como matemáticas, se viene realizando. Esta metodología consiste en realizar estudios y análisis generales de interdependencias, en lugar de análisis parciales. Es decir, se pretende abarcar el conjunto de la realidad, distinguir sus componentes y establecer las relaciones básicas entre dichos componentes. Es evidente, que para conseguir una descripción inteligible de la compleja realidad será menester recurrir a un grado de simplificación, o lo que es lo mismo, seleccionar entre dichos componentes y sus relaciones. Dentro de este marco, la Estructura Económica estudia las relaciones de interdependencia que están dotadas de una cierta permanencia, y que articulan los principales componentes de la realidad económica. Por todo lo cual, la Estructura Económica se caracteriza por ser: a) Descriptiva por sistema, y con una previa metodología definida. b) Macroeconómica al considerar relaciones de conjunto (frente a otras relaciones parciales). c) Actual, pues se refiere a situaciones propias de nuestro tiempo. 1.7. RESUMEN Espacio vectorial Un conjunto E % Ra, b, c,...s de elementos (llamados vectores) se dice que constituyen un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K (que generalmente es el cuerpo de los reales) si se cumplen: Ley de composición interna I. En E se define una ley de composición interna que designamos!, tal que (E,!) tiene estructura de grupo abeliano. Ley de composición externa II. Siendo j, k à, se define una ley de composición externa, que notamos, que satisface las siguientes propiedades:

Espacios Vectoriales 13 j (k a) % (jk) a. j (a! b) % j a! j b. (j! k) a % j a! k a. 1 a % a (1 es la unidad de K). Vectores linealmente dependientes Dados los vectores a 1, a 2,..., a n, se dice que son linealmente dependientes si existen j 1, j 2,..., j n à, tales que no siendo nulas todas las j i. j 1 a 1! j 2 a 2! ñ! j n a n % 01 (vector cero), Vectores linealmente independientes En caso contrario, los vectores son linealmente independientes. Si el vector a se puede obtener como: a % j 1 a 1! j 2 a 2! ñ! j n a n se dice que es combinación lineal de los a 1, a 2,..., a n. Sistema generador de un espacio vectorial Si todos los vectores de un especio vectorial E se pueden obtener como combinación lineal de los vectores a 1, a 2,..., a m, se dice que estos m vectores forman un sistema generador del espacio vectorial E. Base de un espacio vectorial. Si los vectores que forman un sistema generador son linealmente independientes, constituyen una base de E. Dimensión de un espacio vectorial Todas las bases de un mismo espacio vectorial constan del mismo número de vectores, que es la dimensión del espacio vectorial considerado. Subespacio vectorial o variedad lineal Un subconjunto Eñ del espacio vectorial E se llama subespacio vectorial o variedad lineal si Eñ es a su vez, un espacio vectorial, con las mismas leyes de composición de E.

14 Matemáticas para los grados en economía y empresa 1.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Los vectores del espacio tridimensional a % (2, 3,.1), b % (1, 2,.1) y c % (1,.1, 2) Forman una base de dicho espacio? 2. El mismo problema anterior para los vectores del espacio tetradimensional: a % (1, 1, 1, 1), b % (1, 2, 3, 0), c % (1, 3, 5,.1) y d % (1, 4, 7,.2) 3. Comprobar que los vectores a % (2, 3, 1), b % (3, 1, 2) y c % (0, 2,.1) constituyen una base del espacio tridimensional. 4. Expresar el vector (2,.1, 3) en la base del ejercicio anterior. 5. Dados los vectores del espacio tetradimensional a % (1, 1, 1, 1), b % (1, 2, 3, 4), c % (.1, 0, 1, 2) y d % (.1, 2, 5, 8) determinar la dimensión del subespacio vectorial engendrado por ellos. 6. Hallar una base del subespacio vectorial del espacio anterior. 7. Ecuaciones paramétricas de la variedad lineal engendrada por los vectores en el ejercicio anterior. 8. El vector (x 1, x 2, 0, 1) pertenece a la variedad lineal engendrada por los vectores del ejercicio 5; hallar x 1 y x 2. 1.9. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1. No 2. No 3. Sí 4. (1, 0,.2) 5. 2 6. Por ejemplo los dos primeros. 7. x % j! n; x % j! 2k; x % j! 3k; x % j! 4k 1 2 3 4 8. (.2,.1, 0, 1)

Espacios Vectoriales 15 1.10. PALABRAS CLAVE Base. Combinación lineal de vectores. Dependencia lineal. Dimensión. Ecuaciones paramétricas. Elemento neutro. Escalar. Espacio euclidiano. Espacio vectorial. Estructura. Grupo. Grupo abeliano. Ley de composición externa. Ley de composición interna. Independencia lineal. Matriz. Sistema generador de un espacio vectorial. Sistema lineal. Subespacio vectorial. Variedad lineal. Vector.