El termino "Binomial" se utiliza para designar situaciones en las que los resultados de una variable se pueden agrupar en dos clases o categorías. Por lo tanto, los datos son nominales. Las categorías deben ser mutuamente excluyentes, de manera que es evidente a qué clase pertenece una observación en particular y las clases deben ser colectivamente exhaustivas, por lo tanto no es posible obtener ningún resultado. Un experimento binomial es un experimento que posee las siguientes propiedades: 1.- El experimento consta de n ensayos o pruebas idénticas..- Cada prueba puede tener uno o dos resultados. Debido a la falta de una mejor nomen clatura, llamaremos convencionalmente a un resultado éxito, E y al otro, fracaso, F* 3.- La probabilidad de un éxito en una sola prueba es igual a p y permanece constante de uno a otro. La probabilidad de un fracaso es ( 1 - p ) = q. 4.- Las pruebas son independientes. 5.- Interesa conocer x, el número de éxitos observados en n pruebas Distribución Binomial de una población finita: Pruebas repetidas: ( a + b) ² = a + b a + b ab + b² a² + ab. a² +ab + b² La probabilidad de que el evento A ocurra exactamente X veces en n pruebas repetidas siendo la probabilidad de éxito en una prueba simple P, denotada por el símbolo combinado P ( X; n, P ): EJERCICIO: Una bolsa contiene cinco bolas en total ( una blanca y cuatro negras). Una bola es extraída y es remplazada después de cada extracción, en dos extracciones que probabilidad será en tener diferente número posible de bolas blancas en: a).- 8 extracciones repetidas b).- 0 extracciones repetidas. a) X = 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Número exacto de éxitos o bolas blancas n = 8 pruebas repetidas P = 1/5 (una bola blanca en un total de 5 bolas) = 0. = 0% Q = 1-1/5 = 4/5 = 0.8 = 80% FORMULA: P x n! x!( n x)! P Q x n x
Cuando X = 5 bolas o exactamente 5 bolas blancas en 8 extracciones repetidas tenemos: P ( 5; 8. 0.) = 8 C5 Q P P (5; 8. 0.) = (0.8)3 (0.)5 P (5; 8. 0.) = (0.51) (0.0003) P (5; 8. 0.) = 0.0001638 Utilizando la fórmula: después de haber encontrado el resultado de P Q P ( 5) 8! 8x7x6x5x4x3xx1 40, 30 560x0. 0001638 5!( 8 5)! 5x4x3xx1( 3xx1) ( 10)( 6) 0.0459 Este es en el caso de la 5a. extracción, sé de bien de hacer todas las extracciones para tener el resultado Respuestas para el Ejercicio. Número de bolas blancas o éxito ** Probabilidad (frecuencia teórica) X ** P. 0 ** 0.1678 1 ** 0.3355 ** 0.936 3 ** 0.1468 4 ** 0.0459 5 ** 0.009 6 ** 0.0011 7 ** 0.0001 8 ** 0.0000. Todos los ejercicios son iguales. Se les debe enseña la forma de hacerlo por medio de tablas y por calculadora. n = Número de pruebas p = probabilidad de éxito en una sola prueba q = 1 - p Media: Varianza Desviación = np s² = npq s = npq
EJERCICIOS 1.- Cuál es la probabilidad de 3 caras en 4 tiros de una moneda? Por fórmula y por tablas: n = 4 x = 3 p =.5 q =.5.- Sí el 50 % de los televidentes ven cierto programa de televisión, Cuál es la probabilidad que más de la mitad de los seleccionados de una muestra aleatoria de 5 personas vean el programa: P = 0.50 Q = 0.50 n = 5 3.- Una parte de cierta máquina es conocida al romperse aleatoriamente una vez cada 5 días, cuantas partes debe haber disponibles para que haya menos de 1 en 100 oportunidades de que se rompa. n = 1 x = 0 p = 0.01 q = 0.99 4.- Un gerente de ventas cree que el 45% de los clientes consumidores prefieren su producto a otros competidores, para que este supere, cuál es la probabilidad de que 54 prefieren su producto en una muestra de 10 consumidores al menos 5 prefieran ese producto. n = 10 x = 5 p = 0.45 q = 0.35 5.- Un comité de 15 personas es seleccionado aleatoriamente en una gran compañía del cuál el 30 % son mujeres. Cuál es la probabilidad de que se encuentre una mujer más en el comité? n = 15 x = 1 p = 0.30 q = 0.70 6.- Cuál es la probabilidad de sacar 3 caras al lanzar una moneda 8 veces obteniendo: a).- 3 caras b).- cuando mucho 3 n = 8 c).- al menos 3 caras p = 0.5 d).- entre 3 y 5 caras x = 7.- obtener en tablas la probabilidad para cada valor N = 8 N = 8 N = 8 p = 0.5 p = 0.5 p = 0.5 x = 0, 1,, 3, x = 3, 4, 5, 6, 7, 8 x = 3, 4, 5.
8.- Sí el 0% de las mujeres que reciben a un vendedor de aspiradoras en sus hogares, terminan por comprar una, Cuál es la probabilidad entre 6 mujeres que admiten una demostración del vendedor en su casa, una a lo más acabe por comprar la aspiradora. p = 0% n = 6 x = 1 xa = 9.- De los alumnos de la Universidad, el 40 % fuman. Se elige seis alumnos para conocer sus opiniones sobre el cigarro: a).- Encuentre la probabilidad de que ninguno de ellos fume. b).- Obtenga la probabilidad de que todos fumen. c).- Determine la probabilidad de que por lo menos la mitad de los seis fumen. 10.- Un vendedor de autos nuevos observa que el 40 % de los autos vendidos son regresa dos al departamento de servicio para corregir diversos defectos de fabricación en los primeros 5 días después de su compra. En los 11 autos que se vendieron en un periodo de cinco días. Cuál es la probabilidad de que: a).- Todos regresen en un lapso de 5 días para recibir servicio? b).- Sólo uno no regrese? 11.- Los registros de una pequeña compañía de servicios indican que el 40% de las facturas que envían son pagadas después de la fecha de vencimiento. si se envían 14 facturas, encuentre la probabilidad de que: a).- ninguna se pague con retraso b).- cuando menos dos se paguen con retraso. c).- cuando menos la mitad se pague con retraso. 1.- Una compañía petrolera observa que en casi el 5 % de los pozos de prueba que perfora, encuentra un depósito de gas natural, si perfora seis pozos, obtenga la probabilidad de que al menos en uno se encuentre gas. 13.- En una encuesta reciente se concluyó que únicamente el 0 % de los médicos de un área rural fuman. Se observó que dos de los ocho médicos seleccionados de una lista suministrada por el directorio médico local, también fuman. Suponiendo que la encuesta este correcta, Cuál es la probabilidad de obtener este resultado?. 14 Las investigaciones médicas señalan que el 0 % de la población general sufre los efectos negativos colaterales al ingerir un nuevo fármaco. Sí un médico receta dicho fármaco a 4 pacientes, cuál es la probabilidad de que: a).- ninguno sufra efectos colaterales? b).- todos los tengan? 15.- Según los archivos universitarios, de los estudiantes de una facultad, el 10% cambia de especialidad por lo menos una vez durante sus primeros dos semestres, si se seleccionan, 11 estudiantes de los grupos de los dos primeros semestres, encontrar la probabilidad de que: a).- Todos cambien de especialidad por lo menos una vez. b).- Por lo menos 9 han cambiado.
(Optativa) Cuando n es grande respecto a N, el número x a favor del producto tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica r N r X n X P C C X C N n N = número de elementos de la población. r = número de elementos que tiene una característica específica, por ejemplo el número de personas a favor de un producto particular. n = número de elementos en la muestra. EJERCICIOS: Un Trailer contenía 0 computadoras electrónicas grandes, de las cuales estaban defectuosas. Si se seleccionan al azar tres computadoras del furgón, cuál será la probabilidad de que dos de ellas tengan desperfectos? N = 0 n = 3 r = (computadoras defectuosas) x = número de computadoras con averías en la muestra. r N r X n X P C C X C N n 0 3 P C C C 0 3 C! 1!( 0!) C 0 3 C 18 18 1! 18! 1!( 0 3)! 1!( 17!) 18! 0! ( 0)( 19)( 18) 1140 3!( 0 3)! 3!( 17!) 6 0 0 C 3 ( 1)( 18) 1140 P 0. 016
EJERCICIOS 1.- Calcule p(x) donde x tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con N = 10, n =, r = 3 y x = 0, 1,, 3,..- Calcule p(x), donde x tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con N = 10, n = 3, r = 3 y x = 0, 1,, 3. 3.- Un problema, encontrado por directores de personal y otros que se abocan a la selección de los mejores elementos entre un grupo finito de éstos, se ilustra mediante la siguiente situación: De un grupo de 0 ingenieros con doctorado, se seleccionan 10 para un empleo, cuál es la probabilidad de que de los 10 seleccionados incluyan a los 5 mejores ingenieros del grupo de 0? 4.- Un almacén contiene 10 máquinas impresoras, cuatro de las cuales están defectuosas. Una compañía selecciona al azar cinco de las máquinas, pensando que todas están en condiciones de trabajar. Cuál es la probabilidad de que las cinco máquinas estén en buen estado? 5.- Un producto industrial particular se envía en lotes de 0. La prueba para determinar si un artículo está defectuoso es costosa; así que el fabricante haga un muestreo la producción en vez de utilizar un plan de inspección de 100%. Un plan de muestreo, diseñado para minimizar el número de artículos defectuosos enviados, se necesita que se muestren cinco artículos de cada lote y el rechazo del mismo si resulta más de un defectuoso. (Si se rechaza se prueba cada artículo del lote) Si el lote contiene 4 defectuosos, cuál es la probabilidad de que sea rechazado? 6.- Un sindicato afirma que 45 de los 80 empleados de una compañía están a favor de la sindicalización, supóngase que tiene razón el sindicato y que el gerente sondea informalmente la opinión de 0 empleados. a).- Cuál es el valor esperado del número x de empleados en la muestra que proponga la sindicalización? b).- Si el sindicato tiene razón, será posible que menos de 9 empleados de la muestra estén a favor de la sindicalización Explique.
(optativa) Si interesa el número x de pruebas hasta la observación del primer éxito, entonces x posee una distribución de probabilidad geométrica. Aquí debemos notar que el número de pruebas podría seguir indefinidamente y que x es un ejemplo de variable aleatoria discreta que puede tomar un número infinito (pero contable) de valores. P X Donde: x = número de pruebas independientes hasta la ocurrencia del primer éxito p = probabilidad de éxito en una sola prueba q = 1 - p P q X1 Media: = 1 p Varianza : = 1- p p Desviación estándar : = 1- p p 1 p p La distribución de probabilidad geométrica es un modelo para el intervalo de tiempo que un jugador ( inversionista?) tiene que esperar hasta ganar. Por ejemplo, la ganancia media en una serie de apuestas idénticas en la ruleta (o en alguna otra serie de pruebas idénticas), no es una buena medida para su perspectiva de ganar. Podría tener una racha de mala suerte y quedarse sin dinero antes de tener la posibilidad de recuperar sus pérdidas. La distribución de probabilidad geométrica también proporciona un modelo discreto para el lapso, digamos el número x de minutos, antes de que un consumidor en una fila o línea de espera (en un supermercado, servicio de reparaciones, hospital, etc. ) reciba la atención [Nótese que el lapso o intervalo de tiempo es una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad geométrica es una analogía discreta de (una aproximación para) una distribución de probabilidad continua particular, conocida como distribución exponencial]. Este modelo discreto para la distribución de probabilidad del tiempo de espera u se basa en la suposición de que la probabilidad de recibir el servicio durante cualquier minuto es idéntica e independiente del resultado durante cualquier otro minuto y que x se mide en minutos "enteros" - es decir, x = 1,, 3....
EJERCICIOS: Los registros indican que una cierta vendedora tiene éxito en formalizar una venta en 30% de sus visitas. Supóngase que una venta en una entrevista es independiente de una venta en cualquier otro momento. a).- Cuál es la probabilidad de que esta vendedora tenga que tratar con 10 personas antes de hacer su primera venta? b).- Cuál es la probabilidad de que la primera venta se realice antes de o en la décima oportunidad? p = 0.3 x = 10 q = 0.7 p( x ) = pqx-1 a).- p(10) = (0.3)(0.7)9 = 0.01 b).- P(x < 10) = p(0) + p(1) + p() +......... + p(10) Es decir: P (x < 10) = 1 - P (x > 10) donde: P (x > 10) = p(11) + p(1) +... = pq10 + pq11 +... pq¹ P(x < 10) = 1 - P(x > 10) = 1 - ----------- = 1 - q ¹ = 1 - ( 0.7 ) ¹ 1 - q = 1-0.08 = 0.97.- La experiencia mostró que, en promedio, solamente uno de diez pozos perforados llega a producir petróleo. Sea x el número de perforaciones hasta tener el primer éxito (encontrar petróleo). Supóngase que las perforaciones representan eventos independientes. a).- Determine p(1), p() y p(3). b).- Encuentre la fórmula para p(x) 3.- En un departamento del Gobierno Federal, una de cada tres llamadas telefónicas hechas por empleados gubernamentales, son por razones personales, suponga usted que es un empleado gubernamental y que tres de cada diez llamadas suyas son por razones personales. Considere también que el gobierno haga un muestreo al azar los números que marcó y que verifica el origen de cada llamada. a).- Obtenga la distribución de probabilidad para x, el número de llamadas verificadas por el gobierno antes de encontrar la primera llamada personal. b).- Calcule la Media. 3.- Una agencia de seguros encontró que de 100 reclamaciones de los seguros de propiedades excede de $1 millón (de Dólares). Sea x el número de demandas archivadas antes de encontrar la primera demanda por más de $1 millón. Encontrar la media y la desviación estándar.
La distribución de probabilidad de Poisson es un buen modelo para la distribución de frecuencias relativas del número de eventos raros que ocurren en una unidad de tiempo, de distancia, de espacio etc. por esta razón se le utiliza mucho en administración de empresas para modelar la distribución de frecuencias relativas del número de accidentes industriales por unidad de tiempo Sus principales usos; Sus características: Llamadas telefónicas. Manchas por metro cuadrado. Defectos por metro cuadrado Ordenes por hora Vehículos por hora. Personas por minuto. Etc. Eventos independientes. Constante su promedio Constante su probabilidad de ocurrencia La media aritmética se expresa = = NP La desviación estándar = Npq La probabilidad debe ser muy pequeña El producto NP debe se < que 5 P( X) x e X! = Media aritmética x = El número de éxitos del experimento e = Base de números neoporeanos. Aquí debe notarse que x es normalmente pequeña.
EJERCICIOS: 1.- Supongamos que el número de manchas ocurra de una por metro cuadrado, cuál es la probabilidad de: su media = 1.0 N = 1 a).- 0 manchas. Xa).- 0.3679 b).- manchas. Xb).- 0.1839 c).- Entre y 4 manchas. Xc).- 0.0.613 d).- Cuando mucho 4 manchas. Xd).- 0.9963 e).- Al menos 5 manchas Xe).- 0.0037.- El número de errores de imprenta en una pagina de periódico tiene una distribución promedio de 1.5 errores por pagina, si se examinan 3 paginas al azar y no encontramos error. Cuál es la probabilidad de resultado? 3.- Sí la central telefónica de un almacén tiene promedio 4 llamadas que entran por minuto hallar la probabilidad de que: a).- No haya llamadas durante un minuto. b).- Haya exactamente dos llamadas durante un minuto. 4.- Para responder a ciertas especificaciones de producción y envasado de dulce una máquina elabora dulces enlatados y cada bote de nuez mezclada debe contener al menos una nuez entera. Si los botes de nuez mezclada proveniente de la máquina de la fábrica los resultados son tales que 0.01% carecen de nuez, cual es la probabilidad entre 300 botes despachados por esta planta procesadora, exactamente no tengan nuez.. p = 0.01% N = 300 m = NP = 300 X.01 = 3.6 m = 3.6 N = 0.1771 X 300 = 53.13 = 53% p= 0.1771 5.- Supóngase que la inspección de lamina metálica producida en rollos continuos, el número de imperfecciones localizadas por un inspector durante un período de 10 minutos tiene una media de 84 imperfecciones por hora, hallar la probabilidad de que durante un período de 10 minutos un inspector encuentre a).- ninguna imperfección. b).- 3 imperfecciones. 6.- Obtenga la probabilidad de encontrar cuatro artículos defectuosos de una muestra de 300 tomada de un enorme lote en que se dice que hay un % de artículos defectuosos. 7.- Los accidentes en una planta industrial particular tiene una media semanal de 3.5% a) Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en una semana dada? b) Es probable que el número semanal de accidentes exceda de 7? Explíquelo.
8.- En una caja de 10 fusibles, dos de ellos están defectuosos. Si se examina una muestra aleatoria de cuatro fusibles. Cuál es la probabilidad de encontrar: a).- Ninguno defectuoso. b).- uno defectuoso c).- uno o menos defectuosos? 9.- La probabilidad de que una casa se incendie en cierta área es de 0.00. El costo del daño promedio, causado por dicho incendio, es de $0,000. Cuánto estaría dispuesto a pagar el propietario de una casa por un seguro contra incendio? JAN