Álgebra y Matemática Discreta

Congruencias Definición Congruencia Módulo n Sea n 1 un número entero. Diremos que dos números enteros a y b son congruentes módulo n si a b es un múltiplo de n. Esta relación se denotará a b(n). Todo número es congruente módulo n con el resto de divirlo por n, puesto que a = qn+r implica que a r = qn. Cuando tengamos un número a, hablaremos de su reducido módulo n como el resto de dividirlo por n. Si él mismo está entre 0 y n 1 ya está reducido. Denotaremos Z n al conjunto {0,1,...,n 1} y tal y como hemos visto, todo número tiene a uno congruente con él dentro del conjunto. Se puede ver fácilmente que ninguno de estos números {0,1,...,n 1} son congruentes módulo n.

Congruencias en Z n El conjunto Z n lo dotaremos de las operaciones de suma, resta y multiplicación con la siguiente regla: Operamos los números como si fueran enteros, y si el resultado se sale del conjunto, lo reducimos módulo n. Las propiedades aritméticas de estos conjuntos es lo que se denomina aritmética modular. Pongamos por ejemplo Z 5, si sumamos 3+1 obtenemos 4, que no tenemos que reducir porque está ya dentro del conjunto. Sin embargo si sumamos 3+4 obtenemos 7, que dividimos por 5 para dejar su resto, que es 2, por lo tanto diremos que 3+4 es 2 en Z 5. Los negativos son un poco más complicados, por ejemplo 2 reducido módulo 5 será su resto, que recordemos que es 3 puesto que el cociente es 1. En el producto, tenemos que 2 3 es 1 módulo 5.

Congruencias Tabla de sumar Z 5 + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 0 2 2 3 4 0 1 3 3 4 0 1 2 4 4 0 1 2 3

Congruencias Tabla de multiplicar Z 5 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1

Congruencias Divisores de Cero Fijémonos en la tabla de multiplicar de Z 6. 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 En ella podemos observar que hay números que multiplicados entre sí nos dan el 0, sin que ninguno de ellos sea el 0. Cuando en un conjunto tengamos esa propiedad, diremos que esos números son divisores de cero. En Z 5 no existían.

Ecuaciones en Congruencias Sistemas de Congruencias Supongamos que nos piden encontrar los valores x tales que satisfacen al mismo tiempo estas dos ecuaciones: x a 1 (m 1 ) x a 2 (m 2 ) Eso es lo que llamaremos un sistema de congruencias, y para su resolución se utiliza el conocido como Teorema Chino de los Restos (o con sus siglas en inglés CRT). Podríamos plantearnos el problema con diversos niveles de generalidad. Nosotros vamos a imponer una condición adicional, y es que el máximo común divisor de m 1 y m 2 sea 1, es decir, que los módulos sean coprimos. En esas condiciones el sistema siempre tiene solución.

Ecuaciones en Congruencias Resolución de Ecuaciones en Congruencias Resolución de Ecuaciones en Congruencias Sea x a 1 (m 1 ) y x a 2 (m 2 ) un sistema de congruencias con módulos coprimos. Entonces el sistema tiene solución, que es única módulo m 1 m 2. La solución es x = a 1 u 2 m 2 +a 2 u 1 m 1 siendo 1 = u 1 m 1 +u 2 m 2 el resultado de aplicar el Algoritmo de Euclides Extendido a los módulos coprimos m 1 y m 2 Es fácil comprobar que este valor es solución, únicamente hay que aplicar la definición: x a 1 = x a 1 1 = a 1 u 2 m 2 +a 2 u 1 m 1 a 1 (u 1 m 1 +u 2 m 2 ) = (a 2 u 1 a 1 u 1 )m 1 es decir, un múltiplo de m 1, por lo tanto x a 1 (m 1 ). De forma similar se prueba para m 2. El hecho de que el resultado sea único módulo m 1 m 2 también es sencillo, pero no lo vamos a probar.

Ecuaciones en Congruencias Vamos a resolver el sistema de congruencias: x 12(76) x 5(55) Conviene poner nombres: m 1 = 76,m 2 = 55,a 1 = 12,a 2 = 5. Ahora tenemos que calcular el máximo común divisor de m 1 y m 2, que deben ser coprimos, y los coeficientes que nos dan 1 = u 1 m 1 +u 2 m 2. Lo haremos en la siguiente transparencia, pero vamos a poner los valores u 1 = 21 y u 2 = 29. Con esos valores la solución es: x = a 1 u 2 m 2 +a 2 u 1 m 1 = 12 55 ( 29)+( 5) 76 21 = 27120 Como la solución es única módulo m 1 m 2 = 4180 calcularemos el reducido de x módulo m 1 m 2, que resulta x 2140(4180). Si queremos comprobar el resultado, podemos ver que efectivamente 2140 = 12+76 28 y 2140 = 5+55 39.

Ecuaciones en Congruencias El Máximo común Divisor Aplicamos la tabla del máximo común divisor extendido a b r v t q 76 55 21 0 1 1 55 21 13 1 1 2 21 13 8 1 3 1 13 8 5 3 4 1 8 5 3 4 7 1 5 3 2 7 11 1 3 2 1 11 18 1 2 1 0 18 29 2 1 0 29 Eso nos da v, que en este caso es u 2. Para despejar u 1 calculamos u 1 = 1+55 29 76 = 21

Ecuaciones en Congruencias Sistemas con Más de dos Ecuaciones Supongamos que nos plantean el problema similar, pero con tres ecuaciones: x a 1 (m 1 ) x a 2 (m 2 ) x a 3 (m 3 ). Aunque se pueden aplicar fórmulas generales, lo más sencillo es agrupar las ecuaciones, por ejemplo resolver el problema para las dos primeras y obtener un valor b tal que b a 1 (m 1 ) b a 2 (m 2 ) ese valor será único módulo m 1 m 2 y entonces el resultado que buscamos será la solución del sistema: x b(m 1 m 2 ) x a 3 (m 3 ). Es indiferente el orden que sigamos en la agrupación. El resultado final será único módulo m 1 m 2 m 3. Así podemos hacer cualquier cantidad de ecuaciones, por pasos, agrupando de dos en dos.