1. TEORIA DEL ERROR. En este curso trataremos los problemas que la matemática analítica (usual) no puede solucionar, esto lo tenemos en todos nuestros cursos anteriores, por ejemplo, en matemáticas básicas se presenta la solución de ecuaciones, sin embargo, ecuaciones como ()=0 no presentan una solución analítica aunque sabemos que existe, basta con ver las gráficas de las funciones y () y ver que se cortan. En calculo integral usamos el teorema fundamental del calculo (TFC) como la herramienta mas fuerte para hallar áreas y volúmenes, entre otras aplicaciones de la integral, sin embargo hay situaciones muy comunes en las cuales no es posible su uso (TFC), por ejemplo al hallar una probabilidad de una variable continua que tenga una distribución normal, nos vemos enfrentados a calcular la que corresponde a un área bajo una curva, pero por los métodos usuales no es posible hallarse. En fin, en todas las ramas de la matemática se presentan este tipo de casos. En métodos numéricos, no buscaremos las soluciones exactas de dichos problemas (es imposible) pero trataremos de dar aproximaciones bastante buenas de estas. Aquí ya nos enfrentamos al primer problema de los métodos numéricos, Nunca solucionaremos un problema de manera exacta, es decir, siempre nos vamos a equivocar, las aproximaciones que daremos estarán mal, pero, vamos a medir que tan buenas son estas. Por estas razones antes mencionadas empezaremos el estudio de este curso con estudiar el error, ya que de este no nos podremos deshacer debemos aprender a manejarlo. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseño de la ingeniería.
En estas notas se usara el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en los cálculos numéricos en las imprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los f actores que contribuyen al error. 1.1 TIPOS DE ERROR. 1.1.1 Experimental. Cuando se mide algo debemos tener gran cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos medir. Además, todas las medidas están afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la información. Así, los errores experimentales provienen de los datos o mejor, de la medición de los datos que estén bajo consideración, aunque en nuestro curso aparecen estos errores (no hay forma de quitarlos), no son nuestro tema de estudio. 1.1.2 Error de máquina. Números Maquina En nuestro mundo matemático tradicional permitimos la existencia de números con una cantidad infinita de cifras, por ejemplo π, sin embargo en las computadoras es imposible manejar una cantidad de información infinita. Más aún
el resultado de multiplicar dos números con cuatro cifras decimales es en general un numero con ocho cifras decimales, si tenemos que efectuar varias multiplicaciones sucesivas es imposible manejar una cantidad siempre creciente de cifras decimales. El computador solo utiliza números con una cantidad finita de cifras, de modo que los cálculos se realizan únicamente con representaciones aproximadas de los números verdaderos. En una computadora común, solo se usa un subconjunto relativamente pequeño del sistema de números reales para representarlos a todos. Este subconjunto contiene solo algunos números racionales. Aunque los errores individuales debidos a esta causa sean péquennos, su efecto acumulativo puede en un gran número de operaciones crecer rápidamente, y debemos tener en cuenta que actualmente las operaciones aritméticas, especialmente cuando son muchas, las deben realizar computadoras. Antes de estudiar las causas del error con algo de profundidad empezaremos por conocer otro sistema numérico, común en los computadores actuales: el sistema numérico en base dos (desde luego, esto no impide que la comunicación con el computador se haga en base 10, con la cual estamos familiarizados: el computador debe traducirnos su respuesta!). Luego exploraremos el mundo de la aritmética con un número finito de cifras. Numeración binaria Todas las maquinas trabajan con sistemas binarios, es decir cuando se introduce un número a una máquina, esta o transforma en sistema binario. En este sistema hace sus operaciones y lo devuelve al sistema decimal; el número 6405 se puede descomponer en potencias de diez así: 6 10 +4 10 +0 10 +5 10 Siguiendo con el mismo razonamiento, podemos definir una numeración binaria o en base 2. Así, el número 10110 escrito en base 2 o binaria equivale al siguiente número en base 10 o decimal: 1 2 +0 2 +1 2 +1 2 +0 2 =16+0+4+2+0=22 ()
En todas estas operaciones se cometen los errores y estudiaremos el funcionamiento interno de estas, con una maquina muy sencilla; supongamos una máquina que guarda 10 espacios (bits) en su memoria para almacenar cualquier numero donde el primer espacio es para el signo del numero, el segundo espacio es para el signo del exponente, los siguientes tres espacios son para el exponente y el resto para la mantisa. Así cada número real x puede ser representado en un sistema numérico de base Z, en la forma: = ±0.123... Esta representación se llama de punto flotante de para la base B. L se llama exponente o característica y la cadena 123... se llama mantisa. Signo Numero Signo Exponente Exponente Mantisa Estos números son expresados en notación científica binaria por ejemplo: 93,24 () 1011101,01 () Ya que 93=1011101 () 0,25=0 y 0,25=0,01 2 0,50=0 2 1,00=1 Al pasarlo a notación científica binaria obtenemos 93,25 () =1,01110101 () 2!) 93,25 () =1,01110101 () 2!)+1,01110101 () 2 () (Donde el segundo termino es la mantisa) Supongamos en los signos designamos el cero para positivo y el uno para negativo así el número es escrito en la maquina como 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0
Así el número maquina (punto flotante) correspondiente a 93,25 es 0011001110 () ; luego esta maquina ve a 93,25 () como 0011001110 () ; ahora al hacer el proceso inverso obtenemos: 0011001110 () 1,01110 2 =1,01110 2 =1+ 1 4 +1 8 + 1 16 2 = 23 16 2 = 23 16 2 =23 2 =92 Luego esta máquina la aproximación de 93,25 es 92. Como esta máquina tiene una cantidad finita de espacios entonces tiene una cantidad finita de números máquina, por tanto un número que es más cercano a cero (Epsilon de la maquina) y el más grande; por ejemplo si queremos acercar 0111100000 () a decimal obtenemos; es decir cualquier numero mas pequeño que este, la maquina o tomara como 0; y el mas grande será 0011111111 () que al pasarlo a decimal obtenemos 1,11111 2 =1,11111 2 =1+ 1 2 +1 4 +1 8 + 1 16 + 1 32 2 = 63 2 2 =252 Así cualquier número por encima de este será considerado 252 Por ejemplo para esta maquina 317 + 0,00125 = 252 + 0 = 252 el cual representa un error muy grande. (79,49%) Cada vez que se introduce un numero a una maquina ello lo pasa a un numero maquina y hace una aproximación y por ende cometiendo un error. La representación interna de números doble precisión, norma IEEE utiliza 64 bits: 1) El primer bit es un identificador de signo, denotado como :( 1). 2) Le sigue un exponente de 11 bits, c 3) y una mantisa de 52 bits, f
La base para el exponente es 2. Como 52 dígitos binarios corresponden a entre 16 y 17 dígitos decimales, podemos suponer que un numero representado en este sistema tiene al menos 16 cifras decimales de precisión. El exponente de 11 dígitos binarios proporciona un intervalo de 0 a 2 1=2047. Sin embargo el uso exclusivo de enteros positivos para el exponente no permitiría una representación adecuada de los números con magnitud pequeña. Para garantizar que estos números también sean representables, se resta 1023 de la característica, de modo que el intervalo del exponente es en realidad de 1023 1024:2. 1.1.3 Exactitud. Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. 1.1.3.1 Error absoluto. Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado, mediremos la distancia entre ellos (notemos que el error absoluto es una magnitud así siempre es mayor o igual a cero). Definición 1 Definimos el error absoluto de una aproximación como la distancia entre este y el valor real así, (1) = Donde es el valor aproximado y es el valor verdadero. Ejemplo 1 Supongamos que por medio de un experimento de laboratorio se quiere medir la gravedad, y el resultado nos da 10.1 m/s2 este sería nuestro valor aproximado, tomando el valor real como 9.81m/s2 tenemos que el error es: (2) = 10.1 9.81 =0.29.
Ejemplo 2 Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999cm y 9 cm respectivamente. Si los valores son 10000cm y 10 cm, calcule el error absoluto. Solucion El error absoluto en la medición del puente es: (3) = = 100000 99999 =1 Y para el remache es: (4) = = 10 9 =1. Uno de los problemas al considerar el error absoluto es que este depende de las unidades, así en el ejemplo anterior el error de 1 es igual para los dos experimentos, sin embargo, a pesar que el error absoluto es el mismo, en el segundo experimento la experiencia nos dice que es mas grande con respecto a lo que se mide, por esta razón, es bueno comparar el error con respecto a lo que se está midiendo, además, sería bueno que el error sea independiente de la escala usada. Estas consideraciones motivan la siguiente definición. 1.1.1.1 Error relativo. Definición 2 Definimos el error relativo como la razón entre el error absoluto y la magnitud del valor verdadero y lo denotamos por: (5) = = siempre y cuando el valor real sea no nulo. Ejemplo 3 Calcular los errores relativos de los experimentos del ejemplo 2 de la sección anterior. (El puente y el remache). Solucion El error relativo en la medición del puente es: (6) = =0.0001 =
Y para el remache es: (7) = = =0.1 Observemos que esta medida del error es un escalar (es un numero independiente de las unidades), el cual nos muestra que el error en el experimento del remache es más grande que el del puente en su contexto. Estos valores en realidad son partes de los valores reales, es decir, el error cometido al medir el remache es la 0.1 parte total de lo que mide el remache, lo cual puede ser mejor explicado en términos de porcentajes, lo cual motiva la siguiente definición. 1.1.1.2 Error relativo porcentual. Definición 3 Definimos el error relativo como el porcentaje entre el error absoluto y la magnitud del valor verdadero y lo denotamos por (8) % = 100%= 100% Siempre y cuando el valor real sea no nulo. Ejemplo 4 Solucion Calcular los errores relativos porcentuales de los experimentos del ejemplo 2 de la sección anterior. (El puente y el remache). El error relativo porcentual en la medición del puente es: (9) % = 100%= 100%=0,01% Y para el remache es: (10) % = 100%= 100%=10% A pesar de las definiciones anteriores, estas no pueden ser usadas en nuestro curso ya que ellas recurren al uso del valor real, existen dos problemas con el
valor real, el primero es que no lo tenemos (si lo conocemos no hay necesidad de aplicar métodos numéricos) y el segundo es que lo conocemos pero numéricamente no lo entendemos (por ejemplo raíz de 2). Esto nos crea una necesidad de trabajar de un modo diferente el error, para esto estudiaremos la precisión. 1.1.2 Precisión. Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. En la mayoría de métodos numéricos que desarrollaremos, trataremos de acercarnos a algún valor, (ya sea solución de una ecuación, valor de una integral,), esto lo haremos progresivamente, es decir, daremos una primera aproximación, basándonos en esta daremos una segunda y así sucesivamente, esto nos lleva al estudio de las sucesiones. 1.1.2.1 sucesiones. Definición 4 Por una sucesión finita de n términos entenderemos una función F cuyo dominio sea el conjunto de números 1,2,, e infinita cuando el dominio sea el conjunto 1,2,3, de todos los enteros positivos. El recorrido de F, esto es, el conjunto (1),(2),(3),, se designa tambien por,,,, y el valor se llama el termino n-esimo de la sucesion. La idea de nosotros es que están sucesiones se acerquen al valor buscado, así estudiaremos a las sucesiones convergentes. Definición 5 (Sucesión convergente) Sea ( ) una sucesión en los reales se dice que converge a un valor si y solo si dado ℇ > 0 existe un N N tal que: (11) < Siempre que >.
Para ilustrar esta definición veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 5 Consideremos la sucesión de números reales dada por (12) =. Sabemos por nuestros cursos de cálculo diferencial que (13) lim = lim = Ahora, la definición anterior nos dice que si vamos adelante en la sucesión, estos valores van a ser muy cercanos al valor del límite Tabla 1 n 1 0,3 0,1285714286 2 0,352941176 0,0756302521 3 0,375 0,0535714286 4 0,387096774 0,0414746544 1000 0,428387834 0,0001835948 1000000 0,428571245 0,0000001837 En muchas de nuestras aproximaciones numéricas nos acercaremos a la solución por medio de sucesiones, las cuales esperamos que sean convergentes, la definición de sucesión convergente nos da un criterio para verificar la convergencia, sin embargo, esta recurre al uso del valor límite de la sucesión el cual nosotros no conocemos (ni conoceremos), retomemos el ejemplo anterior, en la Tabla 2 compararemos la distancia de un elemento de la sucesión y el siguiente así;
Tabla 2 n 1 0,3 0,05294117647059 2 0,352941176 2 0,352941176 0,02205882352941 3 0,375 3 0,375 0,01209677419355 4 0,387096774 1000 0,428387834 0,00016523006250 10001 0,428553064 1000000 0,428571245 0,00000000000018 1000001 0,428571245 En la tabla anterior se ve que entre más avanzamos en la sucesión, la distancia entre cada par de términos es más pequeña, esto motiva a la siguiente definición la cual es muy util para nosotros. Definición 6 (Sucesiones de Cauchy) Sea una sucesión se dice de Cauchy si y solo si dado >0 existe N tal que: (14) <ε siempre que,>. Es decir entre mas adelante vaya la sucesión la distancia entre los números va a ser muy pequeña. Esta definición es equivalente a la siguiente: Definición 7 Sea una sucesión se dice de Cauchy si y solo si dado >0 existe N tal que: (15) <ε siempre que,>. Como ilustra en el Ejemplo 5, una sucesión convergente es una sucesión de Cauchy, sin embargo, es bien sabido que el reciproco se tiene, es decir,
Teorema 1 Demostración Toda sucesión de Cauchy en los reales es convergente. Ver Principios de análisis matemático W. Rudin La definición de sucesión de cauchy, en particular, la Definición 7 nos permite determinar cuando una sucesión en los números reales es convergente sin hacer uso del valor del límite, el cual no podemos usar ya que lo desconocemos, esta definición nos permite crear una medicion para el error en una sucesion el cual calcule las distancias entre dos elementos consecutivos de una sucesion, sin embargo, como vimos en el error absoluto, esto no representa una buena cuantificacion del error, haremos uso de las ideas expuestas en la Definición 2 para llegar a una mejor medicion del error dentro de una sucesión. Para esto la idea es comparar las distancias entre dos terminos consecutivos con respecto al valor real, lo que seria pero es ilógico trabajar con el valor real, así el mejor candidato para asumir este papel es el último término calculado en la sucesión, es decir, esto nos lleva a la siguiente definicion. 1.1.2.2 Error normalizado Definición 8 Sea ( ) una sucesión, definimos el error normalizado como la sucesión =( ) dado por: (16) = Para =2,3,. Para que una sucesión sea de Cauchy necesitamos que la sucesión tienda a cero, así por el Teorema 1 anterior la sucesión es convergente
Esto nos da una forma de ver si una sucesión es convergente sin el uso del valor del límite, es decir, si la sucesión será convergente. (17) EN 0 Ejemplo 6 Tabla 3 En el Ejemplo 5 se observa esa situación para la sucesión =, como se muestra en al siguiente tabla n 1 0,3 --------- 2 0,352941176 0,15000000000000 3 0,375 0,05882352941176 4 0,387096774 0,03125000000000 1000 0,428387834 1001 0,428388017 0,00000042795987 1000000 0,428571245 1000001 0,428571245 0,00000000000043 Recordemos que en muchas ocasiones es más claro hablar en términos de porcentajes, por lo cual será más utilizado el error normalizado porcentual, el cual será definido a continuación. 1.1.2.3 Error normalizado porcentual. Definición 9 Sea ( ) una sucesión, definimos el error normalizado como la sucesión =( ) dado por: (18) = *100%
Para =2,3,. Al igual que en la definición anterior, una sucesión es convergente si y solo si (19) ENP 0 Cuando. Ahora ilustramos el uso del error normalizado y normalizado porcentual en una sucesión a fin de ilustrar su convergencia. Ejemplo 7 Consideramos la siguiente sucesión definida por recurrencia (20) = 1 = + ()! Calcularemos los primeros 11 términos de la sucesión junto con los errores normalizado y normalizado porcentual Tabla 4 0 1 1 2 0,5 50,00000000% 2 2,5 0,2 20,00000000% 3 2,66666666666667 0,0625 6,25000000% 4 2,70833333333333 0,015384615 1,53846154% 5 2,71666666666667 0,003067485 0,30674847% 6 2,71805555555556 0,000510986 0,05109862% 7 2,71825396825397 0,0000729927 0,00729927% 8 2,71827876984127 0,0000091240 0,00091240% 9 2,71828152557319 0,0000010138 0,00010138% 10 2,71828180114638 0,0000001014 0,00001014% Como se ve en la Tabla 4 y son sucesiones y van para cero, esto significa que la sucesión ( ) es de Cauchy y por lo tanto converge, pero no sabemos a qué valor, es más nunca sabremos a que valor.
La pregunta natural que debemos hacer es Dónde paro esta sucesión para tener una buena aproximación del límite? Antes de contestar necesitamos dar sentido a la expresión buena aproximación. Comúnmente usamos esta expresión para hablar de cifras decimales, por ejemplo, 3.14 es una aproximación de π con dos cifras decimales, pero, cifras decimales describe bien la magnitud que representa el numero?, para esto consideremos las siguientes cantidades. El precio de un carro en el mercado es 36280000, al quitar el iva del 16% el valor del carro sin iva es =31275862.06896552, otra cantidad conocida es la decima parte de la unidad de masa atómica de un electron que es =0.000054857990946. Si pedimos una aproximación de estos valores con tres cifras decimales tendremos =31275862.069, =0.000, lo cual no es practico en ninguno de los casos, en el primero es excesivo trabajar con tres cifras decimales y en el segundo no aporta nada de información acerca de la magnitud a del valor, esto nos lleva a pensar, como podemos dar una idea clara de la magnitud de un valor. Esto ya no es un problema gracias a la notación científica, en el ejemplo anterior tendremos =3.127586206896552 10 e =5.4857990946 10, esto muestra que las cifras que realmente son significativas (sin importar la posicion de ellas en la representacion decimal) son las primeras que aparecen en la representación científica, esto motiva la siguiente definición. Definición 10 (Dígito Significativo) De un número C ; un digito significativo es cualquier dígito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos significativos. En otras palabras, son los primeros dígitos de un número en la representación científica. De ahora en adelante, buscaremos aproximar los valores por medio de cifras significativas y no de cifras decimales. Ahora cómo sabemos cuándo en una sucesión estamos encontrando cierto número de cifras significativas?, para esto definiremos la tolerancia.
1.1.2.4 Tolerancia. Definición 11 Sea el numero de cifras significativas que se quieren en la aproximacion de cierto valor, definimos y denotamos la tolerancia por (21) =(0.5 10 )% Notemos que la tolerancia es un porcentaje que no depende de ningún tipo de unidades. El siguiente teorema relaciona la tolerancia con las sucesiones que estamos trabajando. Teorema 2 Sea una sucesión convergente, se dice que el termino es una aproximacion de el valor del limite de la sucesion con cifras significativas si <. Demostración La prueba de este teorema se puede encontrar en (Scarborough, 1966). Para ilustrar esto, consideremos el siguiente ejemplo Ejemplo 8 Considere la siguiente sucesión del Ejemplo 7, si queremos una aproximación del valor límite de la sucesión con 5 cifras significativas, calculamos primero la tolerancia, así, (22) =(0.5 10 )%=0.0005% ahora debemos calcular la serie hasta que el sea menor que la tolerancia
Tabla 5 0 1 1 2 50,00000000% 2 2,5 20,00000000% 3 2,66666666666667 6,25000000% 4 2,70833333333333 1,53846154% 5 2,71666666666667 0,30674847% 6 2,71805555555556 0,05109862% 7 2,71825396825397 0,00729927% 8 2,71827876984127 0,00091240% 9 2,71828152557319 0,00010138% Como vemos aquí, el < entonces =2,71828152557319 es una aproximacion del valor real del limite (el cual nunca conoceremos) con 5 cifras significativas, es decir, las primeras cifras exactas de valor real son 2,7182. Ejemplo 9 Solucion Tabla 6 Consideremos la serie () ()!, analizaremos su convergencia por medio () de las sumas parciales dadas por la sucesión =, donde 0!=1. ()! Y buscaremos una aproximacion del limite con 5 cifras signifitivas Para esto lo primero que se debe calcular es la tolerancia, que en este caso es (23) =0,0005% Al realizar los cálculos observamos que se debe detener en la sexta iteración esto se muestra en la siguiente tabla a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a k ( ) 1 0.5 100% 0.541666 7.69 % 0.540277 0.257 % 0.540302579 0.00473 % 0.540302303 0.0000510 %
Como se observa en la sexta iteración se obtiene ( )< ; es decir se garantizan las cinco cifras significativas y la aproximación (De un número que no conocemos) es =0,540302303 1.2 Series de Taylor En vista de la dificultad de trabajar con algunas funciones y dada la facilidad de otras, lo que buscaremos en esta sección es aproximar de alguna manera las funciones difíciles por medio de funciones faciles, las funciones mas sencillas que conocemos son los polinomios, ya que para evaluar estos nunca se tiene problemas de dominio y solo basta con la suma y el producto ususal de numeros reales para evaluarlas. En esta seccion buscaremos dicha aproximacion. 1.2.1 Series de Maclaurin. En vista de la dificultad de trabajar con algunas funciones y dada la facilidad de otras, lo que buscaremos en esta sección es aproximar de alguna manera las funciones difíciles a funciones faciles, para esto empecemos a estudiar lo que creemos son funciones fáciles. Consideremos una recta por ejemplo (24) ()=2+3 Para conocer la ecuación de una recta necesitamos saber un punto y la pendiente de la recta, si reformulamos esto en nuestro caso, por ejemplo podríamos sacar un punto evaluando la función en cero, así (0)=3 y además necesitamos sacar la pendiente (es decir el crecimiento de f en cero) es decir, (0)=2 Ahora es natural pensar en el proceso inverso, que es, si tenemos un punto (0) y la pendiente (0) podemos encontrar la recta? Y en que forma? Para esto podemos ver la recta como (25) ()=(0)+ (0). Ahora si se quiere generalizar esta observación, analicemos un polinomio de grado 2, por ejemplo (26) ()=2+3+7
y saquemos un punto y el crecimiento en este punto, así (0)=2, (0)= 3, con estos dos datos a diferencia del caso de la recta no es posible recuperar la función original, necesitamos un dato adicional que es la segunda derivada (es decir, el crecimiento del crecimiento) veamos, (0)=14 Ahora sera que con estos datos podemos recuperar la función original, y de la misma forma de la recta, es decir el punto mas el crecimiento por mas el crecimiento del crecimiento por por Veamos (27) ()=(0)+ (0)+ (0) cuando analizamos esto vemos que el coeficiente de nos es el original Por qué se afecto? Y notamos que al derivar ese coeficiente fue multiplicado por 2 en la primera derivada, asi para recuperar la función debemos dividir el crecimiento del crecimiento entre 2 y vemos que efectivamente podemos recuperar la función de la siguiente manera (28) ()=(0)+ (0)+ () Tratemos de generalizar este resultado, sea () un polinomio de grado 3 trataremos de recuperarlo si tenemos los datos (0), (0), (0) y (0), Tendremos (29) ()=(0)+ (0)+ () En general un polinomio se puede escribir como (30) ()=(0)+ (0)+ () + ()! + + () () notemos que esta es una suma, donde el numero de terminos depende del grado del polinomio, esto se debe a que si el polinomio es de grado n, las derivadas superiores se anulan (son cero), ahora si tratamos de generalizar este hecho a funciones diferentes a los polinomios, sin embargo, la expresión (30) no sirve ya que las derivadas nunca se anulan a partir de cierto n, por lo tanto lo que construiremos una serie la cual sera llamada serie de maclaurin y es dada por (31) (0)+ (0)+ () + + () ()!! + ahora, como es una serie no podemos garantizar que esta converge, sin embargo si la podemos construir para cualquier funcion donde los valores (0), (0), (0), deben estar definidos, es decir, la funcion debe ser infinitamente diferenciable en una vecindad de cero. Ejemplo 10 Hallar la serie de MacLaurin de ()=.
Solucion Consideremos la funcion ()=, el primer paso es hallar todas las derivadas de la función así, (32) ()= ()= ()= = () ()= después la evaluamos todas en cero. (33) 1=(0)= (0)= (0)= = () (0)= Sustituyendo estos valores en (31) obtenemos (34) 1++! +! + +! + Denotemos esta serie por () así: (35) ()=! Esta es la serie de Maclaurin de la función exponencial, ahora la pregunta natural es qué relación existe entre la función y su serie de maclaurin? Esta pregunta ya fue contestada para los polinomios en ese caso la serie de maclaurin y el polinomio son iguales, es decir, si es un polinomio tenemos que ()=(), si la función no es polinómica se cumple la igualdad? Antes de contestar esta pregunta consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo 11 Solucion Hallar la serie de McLaurin de la función (36) ()=. Al igual que en el ejemplo anterior debemos hallar todas las derivadas de. Se puede ver que (Verificar!) (37) () ()=! () y así evaluando estas derivadas en cero llegamos a (38) () (0)=! Sustituyendo en (31) obtenemos que:
(39) =1++ + Volvamos a la pregunta de qué relación existe entre la serie y la función? para esto vamos a tabular algunos valores de en la función y la serie de Maclaurin de la función Tabla 7 Para esto consideramos algunos valores particulares () () 1 1++ + + + + 1 0 1 1+0+0 +0 + +0 + =1 2 + + + + + =2 + + + + = Estos valores sugieren que la igualdad se tiene, sin embargo al seguir evaluando en valores mas alejados de cero y donde la función pueda tener problemas (valores que no pertenecen al dominio de la función) Tabla 8 () 1 1 1 No esta definida 2 () 1++ + + + + 1+1+1 +1 + +1 + = 1+2+2 +2 + +2 + = Obviamente en estos puntos la funcion y la serie de McLaurin no son iguales, es mas, en el segundo valor no tiene ningun sentido decir que la suma de numeros positivos de un negativo. De lo anterior podemos concluir que, ()=() se cumple para ciertos valores de x, ahora la cuestión es para cuáles? Analicemos que pasa con el dominio de la función (36), esta función tiene problemas de domino en =1, sin embargo recordemos que estamos centrados en =0 así:
0 1 Estamos aquí Problema Al ir hasta el problema, tomaremos un intervalo abierto con centro en cero y cuyo extremo sea el punto mas cercano de los puntos que no pertenecen al dominio de la funcion o al dominio de aluna de sus derivadas. Así tenemos el intervalo ( 1,1). En este intervalo se puede asegurar que f ( x) = STf( x), en los extremos del intervalo no podemos asegurar nada y por fuera son diferentes, aunque este no es un proceso serio para probar la convergencia de la serie, pero nos da una idea de cual debe ser el intervalo donde se tiene la igualdad de la serie de McLaurin, para hallar el intervalo de manera analtica debemos recurrir a criterios de convergencia de series como por ejemplo, criterio del cociente o la raiz, veamos aquí el criterio del cociente aplicado a la serie (39) (40) lim = lim = lim = <1 Así: Y por tanto ( 1,1), es decir f ( x) = STf( x) para los valores de en los cuales se tiene la convergencia absoluta y uniforme de f ( x) = STf( x) Ahora, volviendo a la función ()=, al aplicar CRITERIO DEL COCIENTE: (41) lim = lim ()!! = lim =0 es decir, la serie es convergente para todo valor real x, esto se esperaba ya que la funcion exponencial no tiene problemas de dominio. Con esto se puede asegurar que para todo valor real se cumple (42) =1++! +! + +! + Viéndolo en otra forma, la ecuación (42) dice que podemos aproximar la funcion exponencial por medio de polinomios, tanto como se desee, geometricamente tenemos, A continuación veremos como se presenta la aproximación, alrededor de cero; presentando su representación geométrica:
Como observamos, a medida que avanza el grado de la serie de McLaurin, mejora la aproximación. 1.2.2 Series de Taylor. La serie de McLaurin fue calculada evaluando la función y todas sus derivadas en cero, y este es llamado el centro, hay funciones en las cuales no se puede hacer dicho calculo, por ejemplo la función ()=, ya que esta funcion a pesar de ser definida en cero, sus derivadas no lo son, existen dos formas de arreglar este problema, la primera forma es no evaluar la función y las derivadas en cero sino en otro valor, digamos, para esto estaremos trasladando el centro de la funcion unidades a la derecha, por traslacion de funciones sabemos que esto se obtiene al sustituir por ( ) y asi la serie de McLaurin trasladada, que vamos a llamar de ahora en adelante serie de Taylor centrada en c toma la forma
(43) ()=()+ ()( )+ + () ()() + =! () ()()! Fácilmente se puede ver que este ejercicio es equivalente a dejar fijo el centro como cero y trasladar la función, es decir, redefinir una nueva función ()= (+) y calcular la serie de McLaurin que son mas amigables para la maquina. Asi nuestro ejercicio toma la forma (44) ()=(0)+ (0)()+ ()() + + () () + = () ()!! Con esto ya podemos centrar todas nuestras series en cero, por ejemplo, para calcular la serie de ()= no podemos centrarnos en cero, pero si en cualquier valor real positivo que es equivalente a calcular la serie de McLaurin de ()= +. Esta teoría es vista en manera general, así este valor c es arbitrario, sin embargo, el propósito de nosotros es aplicar las series de Taylor numéricamente, con lo cual vamos a tener algunas restricciones numéricas sobre dichos valores. 1.2.3 Series de Taylor desde el punto de vista numérico. Cuando trabajamos numéricamente las series de Taylor debemos considerar algunas restricciones para la escogencia del centro,por ejemplo, la serie de Taylor de la función exponencial centrada en = 2 se puede calcular analiticamente, sin embargo, como nuestro prpoposito es trabajar numericamente, tenemos dos problemas con dicho centro; el primero es que el valor del centro no es conocido numericamente y el segundo que la función y sus derivadas evaluadas en este centro tampoco se conozca numéricamente, esto nos lleva a considerar varios casos: Caso i Caso ii Al hallar la serie de Taylor de () centrada en aparecen en terminos de la forma ( ), es decir, se deben realizar varias operaciones con el valor numérico, para evitar la propagacion del error en la maquina debido a la aproximcion de (Ver sección 1.1.2) es conveniente que el centro sea un valor que se conozca numéricamente (por lo menos racional). Como tambien es necesario trabajar con los valore () (c), estos deben existir, por ejemplo, si consideramos la funcion ln() y tomamos el centro en =0, es imposible hallar dichos valores, fuera de estos, que existan tampoco garantizan un buen trabajo numérico, ya que si para la misma función tomáramos el centro =2, nos vemos la obligacion de utilizar el valor 2,el cual es un valor desconocido numéricamente.
Asi al escoger el centro de una serie de Taylor de una función () debemos tener en cuenta los casos anteriores. Otro problema que se presenta numéricamente en las series de Taylor; es la misma serie en si, ya que no podemos numéricamente sumar infinitos valores por lo tanto debemos parar la suma en algún termino, esto lo podemos remediar en parte gracias al siguiente teorema llamado el teorema de Taylor. Recordemos nuestro ejemplo de la serie de McLaurin de la funcion exponencial. (45) =1+! +! +! + Como no podemos trabajar con la serie (desde el punto de vista numérico) ya que es una suma infinita, Entonces debemos truncar la serie, es decir, aproximar la serie por medio de una suma finita, la misma forma de la serie de Taylor sugiere que trabajemos con los primeros terminos de esta, y tenemos la forma (46) 1+! +! +! + +! Notemos que se perdió la igualdad, sin embargo el teorema de Taylor nos afirma un poco mas, nos dice que la igualdad la podemos recuperar si sumamos un termino que nos describe el error. 1.2.4 Teorema de Taylor (Truncamiento) Teorema 3 Sea una funcion infinitamente diferenciable en un intervalo abierto que contiene a cero, sea el intervalo de convergencia de la serie de Taylor generada por f para cualquier N se tiene la igualdad (47) ()=(0)+ (0)+ () + + () ()! + () Donde y el termino que describe el error (el cual llamaremos resto) es dado por la formula (48) ()= () () ()!
donde es un valor que esta entre cero y. Nota 1 () nunca será conocido, es mas, el valor de nunca sera conocido. No se puede escribir ( 0,) ya que el valor de esta en un intervalo abierto que tiene centro en cero, es decir, el valor de puede ser negativo. Dado que el resto no podemos medirlo, debemos acotarlo, es decir, buscar un valor real positivo tal que (49) () donde depende unicamente de. Si podemos encontrar este valor, tendremos la desigualdad (50) (0)+ (0)+ + () () () (0)+ (0)+ + () () +!! Ejemplo 12 Solucion Nota 2 Consideremos la función ()= y calculemos una aproximación de con un error no mayor a 10. De la ecuación (32) sabemos que (51) () ()= Por lo tanto el resto toma la forma (52) ()= ()! Observemos que el resto depende de tres variables, y ; el valor de es el punto en el que se evaluara la función que en nuestro caso es =1, el valor de no lo conocemos, así acotaremos todos los factores que dependen del él, (ver anexo 1) usando la restricción sobre, así el resto dependerá únicamente de el cual nos dará el termino donde se trunca la serie. Al acotar la parte que depende de, tenemos (53) 0<<1 1< <<3 Como =1, tenemos =1, y así obtenemos una cota para el resto (54) () < ()!
Buscamos que esta cota a su vez sea menor que 10 es decir, (55) ()! <10 Que es equivalente a 300000<(+1)! Tabla 9 Ahora es necesario que existan valores (por lo menos uno) que haga cierta dicha desigualdad, en este caso, esto se tiene ya que la función factorial es creciente y (56) lim (+1)!= De todos los valores que satisfacen dicha desigualdad tomaremos el menor, esto se hace por comodidad para la máquina, en este caso buscaremos dicho valor por medio de Excel lo cual se muestra en la siguiente tabla (+1)! 0 1 1 2 2 6 3 24 4 120 5 720 6 5040 7 40320 8 362880 Así, tomamos =8, este valor es el mínimo con el cual debemos truncar la serie de Taylor para obtener la aproximación deseada, en este caso el teorema de Taylor, en particular la igualdad (47) toma la forma (57) =1+! +! +! + +! + () Entonces nuestra aproximación es (58) 1+! +! +! + +! Estos cálculos los podemos desarrollar fácilmente en Excel lo que se resume en la siguiente tabla
Tabla 10!! 0 1 1 1 1 2 2 0,5 2,5 3 0,16666667 2,666666667 4 0,04166667 2,708333333 5 0,00833333 2,716666666666670 6 0,00138889 2,718055555555560 7 0,00019841 2,718253968253970 8 2,4802E-05 2,718278769841270 Entonces, el valor aproximado de con un error no mayor a 10 es 2,718278769841270, recordemos que en este caso la cota del resto es (59) = ()! Y como el valor de =8, tenemos =0.000008267195767, además, se encuentra un intervalo en el cual está el valor exacto como vimos en la desigualdad (50) que en este caso podemos afirmar 2,718270502645500<<2,718287037037040. Ejemplo 13 Solucion Se requiere una aproximación de ln (2) con un error no mayor 10 Ya tenemos claro que se debe trabajar con la serie de McLaurin de (+1), Lo primero que debemos hacer; es escoger bien la función, observemos las funciones y analicemos si sirven o no: Al tratar de ubicar el valor de ; observamos que el mejor valor es =1 pero se presenta el problema del ítem anterior, para evitar este problema y asegurar su convergencia en el intervalo ( 1,1); (Analizando el dominio de ()=ln(+1), o utilizando criterio del cociente para series) Es decir, al trabajar directamente es imposible hallar ln2, sin embargo, utilizando n propiedades de la función logaritmo, en particular log b = n. log b podemos a a
1 1 garantizar la aproximación; Calculamos ln(2) = ln, y así tomando x= que 2 2 es lo mismo que calcular ln( 1) ln(2) = ln(2) ; obtenemos la aproximación deseada, cambiando el signo del resultado obtenido: Si ()=ln (+1), obtenemos sus derivadas como (60) () ()= () ()! () Evaluando en cero tenemos (61) () (0)=( 1) ( 1)! Sustituyendo en la ecuación (31) llegamos a (62) (ln(+1))= +! + + () ()! +!!! Simplificando (63) (ln(+1))= + +() + + Es claro que no podemos trabajar con la serie de Taylor, por lo cual recurrimos al teorema de Taylor (64) (ln(+1))= + +() + + () Analizaremos el resto en dicha serie, el cual tiene la forma Tenemos que: (65) ()= () ()! () = () ()! ()! () ()! como el es conocido que lo sustituimos, en este caso la ecuación anterior es (66) ()= () ()! () ()! = () ()! () ()! para acotar la parte que depende de comenzamos por la restricción sobre asi
(67) <(+1) <1 1< () <2 Por lo tanto, el resto dado en (66) queda acotado Nota 3 (68) () = () ()! () ()! En la desigualdad anterior se hizo uso del hecho < () ()! < ()!! = ()! Tabla 11 Ahora, lo que buscamos es que a su vez esta cota sea menor que 10, lo que nos lleva a la desigualdad (69) <10 Despejando tenemos que 99<, con lo cual =100. Esto muestra que la aproximación de la serie de Taylor que nos sirve es tomando =100 en (64) así, (70) (ln(+1))= + + + () Con lo cual nuestra aproximación numérica del valor buscado es (71) ln2 + + Estos cálculos los podemos desarrollar fácilmente en Excel lo que se resume en la siguiente tabla () () 1-0,5-0,5 2-0,125-0,625 3-0,04166667-0,66666667 4-0,015625-0,68229167 5-0,00625-0,68854167 97-6,5061E-32-0,6931471805599450 98-3,2198E-32-0,6931471805599450 99-1,5937E-32-0,6931471805599450 100-7,8886E-33-0,6931471805599450
Entonces, el valor aproximado de ln con un error no mayor a 10 es 0,6931471805599450, con lo cual el valor aproximado de ln2 es 0,6931471805599450. Además, se encuentra un intervalo en el cual está el valor exacto como vimos en la desigualdad (50) dado por el valor de que en este caso es = =0,00990099 de lo cual podemos afirmar (72) 0,683246190460935<ln2<0,703048170658955 Ejemplo 14 Se requiere una aproximación de ln (3) con un error no mayor 10 usando el teorema Taylor. Solución Al igual que en el ejemplo anterior podemos calcular ln(3)= ln usando el teorema de Taylor (73) (ln(+1))= + +() + + () Al igual que en el ejercicio anterior, pero ahora tomando = y realizando un proceso análogo para acotar el resto como en el ejemplo anterior llegamos a (74) ()= () ()! () = () ()! ()! () ()! como el es conocido que lo sustituimos, en este caso la ecuación anterior es (75) ()= () ()! () ()! = () ()! () ()! para acotar la parte que depende de comenzamos por la restricción sobre asi (76) <(+1) <1 1< () <3 Por lo tanto, el resto dado en (75) queda acotado
(77) () = () ()! () ()! < ()! < ()! Ahora, lo que buscamos es que a su vez esta cota sea menor que 10, lo que nos lleva a la desigualdad (78) <10 Sin embargo, estudiemos un poco la parte izquierda en la desigualdad anterior, veamos en la siguiente tabla algunos valores para. Tabla 12 0 2 1 2 2 2,66666667 3 4 5 10,6666667 10 186,181818 La anterior tabla sugiere que la función es creciente para Z y además no es una sucesión acotada, esto es fácil verificarlo. (Ver ejercicio 5) De lo anterior concluimos que no es aplicable el teorema de Taylor para este caso. Como se ve en el ejemplo anterior, existen casos en los cuales el teorema de Taylor, aunque es cierto, no es aplicable para encontrar una buena aproximación del valor que se busca, sin embargo, en el ejemplo pasado sabíamos que la serie de Taylor de ln (+1) para dicho valor de = si es convergente, ya que su intervalo de convergencia es ( 1,1) por esto debemos buscar otra forma de truncar la serie. 1.2.5 SUMAS PARCIALES DE LAS SERIES DE TAYLOR. En vista de que las series de Taylor son convergentes en su intervalo de convergencia, podemos usar la propia definición de serie convergente y así trabajar con la sucesión de sumas parciales y así podemos asegurar que la tolerancia puede ser efectiva en estos casos, es decir, supongamos que tenemos la serie de Taylor de la funcion para algun valor de que pertenece al intervalo de convergencia de esta, por lo tanto la sucesion de sumas parciales,,,,
Dada por (79) =(0)+ (0)+ + () ()! Es convergente; lo que asegura que la sucesión 0, cuando. Esto permite que se pueda usar el criterio de la tolerancia para parar la sucesión de sumas parciales. Ejemplo 15 Por medio de las sumas parciales de la serie de Taylor de ln(+1) halle una aproximación de ln (3) con 3 cifras significativas Tabla 13 Solución Del ejemplo anterior tenemos que la serie de Taylor es dada por (63) de lo cual se puede tomar la sucesión sumas parciales,,, dada por (80) = + +() + Antes de comenzar a evaluar la sucesión de sumas parciales debemos calcular la tolerancia que en nuestro caso es (81) =0,05% Y como en el ejemplo anterior sabemos que el valor que se debe tomar para evaluar la serie es =, lo cual se muestra en la siguiente tabla () 0 1-0,66666667-0,66666667 2-0,22222222-0,88888889 25 3-0,09876543-0,98765432 10 4-0,04938272-1,03703704 4,761904762 5-0,02633745-1,06337449 2,476780186 6-0,01463192-1,0780064 1,357312521 7-0,00836109-1,0863675 0,769637789 8-0,00487731-1,0912448 0,446948776 9-0,00289025-1,09413506 0,264158887 10-0,00173415-1,09586921 0,158244522 11-0,001051-1,09692021 0,09581388 12-0,00064228-1,09756249 0,058518662 13-0,00039525-1,09795774 0,035998521
Así, tenemos que el criterio para parar la sucesión dada por el Teorema 2 se cumple cuando (82) < Así la aproximación de 1,09795774 con lo cual la aproximacion de ln (3) con tres cifras significativas es (83) (3) 1,09795774 Es decir, las tres primeras cifras son exactas. Ejemplo 16 Aproximar el valor de haciendo uso de las sumas parciales de la serie de McLaurin de la función ()= con 5 cifras significativas. Solución: Ver Ejemplo 8. Ejercicio 1 Escriba 1001101 () en base decimal. Ejercicio 2 Muestre que el número 0.2 tiene una expansión binario infinita periódica Ejercicio 3 Obtener la representación binaria del número 5709. Ejercicio 4 Para las siguientes sucesiones determine si son convergentes o no, en caso de serlo; halle una aproximación del límite con 6 cifras significativas. a) = () b) =( 1) c) = (1.1) d) = =1 e) =1 = + =1 f) = + () g) La sucesión (()) es llamada la Sucesión de Padovan, la cual es dada por (0)=(1)=(2)=1 Y la siguiente relacion de recurrencia ()=( 2)+( 3) a partir de esta, definiremos la sucesión ()= () ()
h) La sucesión (()) es llamada la Sucesión de Perrin, la cual es dada por (0)=3 (1)=0 y (2)=2 la siguiente relacion de recurrencia ()=( 2)+( 3), si n>2 a partir de esta, definiremos la sucesión ()= () () Ejercicio 5 Ejercicio 6 Nota 4 Ejercicio 7 Ejercicio 8 Halle por medio de la serie de Taylor adecuada, una aproximación del valor dado con un error no mayor a 10 (si es posible hacer uso del Teorema de Taylor, en caso de no ser posible justifique) a). b) c) ln5 d) ln(0.2) e) ln (0.8) f) sin(1) g) sin (2) h) cos(0,2) i) (1) Ayuda: recuerde que si R entonces se tienen las desigualdades cos() 1 y sin() 1. Considere la función ()= y evalué la ( ), aparte considere la función ()= y halle (). Compare los resultados. El ejercicio anterior nos provee de una forma natural de calcular series de Taylor de funciones compuestas a partir de la manipulación de series conocidas, otras formas son por ejemplo derivando e integrando termino a término las series conocidas, esto se puede hacer dentro del radio de convergencia de la serie el cual no cambia al realizar dichos procesos, el siguiente ejercicio es muestra de ello Considere la serie de Taylor de ()=ln (+1), verificar que la serie obtenida al derivar termino a término es la misma serie de la función (). Hallar una aproximación de 2, con un error no mayor de 10 Ayuda: Trabaje con la función ()= +4, justifique. Verifique que la n-ésima derivada es ()= ().(())! (+4) (). ()! Ejercicio 9 Hallar una aproximación de 5 con un error no mayor a 10. Ejercicio 10 Hallar una aproximación de 10 con un error no mayor a 10. Ejercicio 11 Muestre que la función para Z es creciente (verifique que su derivada es positiva) y no es acotada es decir muestre que lim =. Ejercicio 12 Halle por medio de las sumas parciales de la serie de Taylor adecuada, una aproximación del valor dado con 4 cifras significativas
a) b) 2 c) 5 d) 10 e) f) ln5 g) ln(0.2) h) ln (0.8) i) sin(1) j) sin (2) k) cos(0,2) l) (1) Ejercicio 13 Ejercicio 14 Use la serie dada para encontrar una aproximación de con 5 cifras significativas a) ST(tan )= b) (sin )= () ()! (!) () : Halle primero el intervalo de convergencia de la serie, es decir, para que valores de se cumple ()=(). Luego escoja de manera adecuada un valor de en este intervalo para evaluar la serie. La función de Lambert es definida por la serie ()= () la! cual se tiene para < (porque). Halle con 3 cifras significativas aproximaciones de (0.1), (0.01) y (0.2).