Introducción a la Matemática Discreta

Introducción a la Matemática Discreta Recursión Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 15

Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole. Tema 3. Técnicas de contar. Tema 4. Recursión. Tema 5. Aritmética entera. Tema 6. Aritmética modular. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 2 / 15

Tema 4. Recursión Sucesiones. Recurrencias. Recurrencias lineales y homogéneas (RLH). Recurrencias lineales no homogéneas (RLnH). Métodos de los coeficientes indeterminados. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 3 / 15

Recursión. Sucesiones. Sucesiones Una sucesión de números reales es una función f : N R. Si a n = f(n), se dice que a n es el término general de la sucesión. Para determinar una sucesión es necesario y suficiente conocer el valor de a n para todo número natural n. Dando su término general mediante una o más fórmulas. Ejemplos: (a) a n = n 2, n N; (b) a n = 1 si n es impar, a n = 0 si n es par. Dando un término en función de los anteriores. Recurrencia o Relación de recurrencia Ejemplos: (a) a 1 = 1, a n+1 = 1 + a n 2, n 1; (b) a 1 = 2, a 2 = 3, a n+1 = (a n + a n 1)/2, n 2. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 4 / 15

Recursión. Ejemplo Sea n un número natural, definimos el factorial de n como una sucesión finita dada por la recurrencia: b 1 = 1, b k+1 = (k + 1)b k, 1 k n 1 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 5 / 15

Recursión. Recurrencias lineales homogéneas Recurrencia lineal homogénea Una recurrencia en la que un término viene dado en función de los k términos anteriores, u n 1, u n 2,... u n k u n + a 1 u n 1 + a 2 u n 2 + + a k u n k = 0, n k donde a 1, a 2,..., a k son constantes reales conocidas, recibe el nombre de recurrencia lineal homogénea de orden k. Teorema Dada una recurrencia lineal homogénea de orden k u n + a 1 u n 1 + a 2 u n 2 + + a k u n k = 0, n k siempre existe una sucesión que verifique dicha recurrencia, y ésta es única, si se dan las k condiciones iniciales u 0 = c 0, u 1 = c 1,..., u k 1 = c k 1. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 6 / 15

Recursión. Recurrencias lineales homogéneas. Teorema Sea u n una sucesión que satisface la recurrencia lineal u 0 = c 0, u 1 = c 1 u n+2 + a 1u n+1 + a 2u n = 0, n 0 y sean α y β las raíces de la ecuación característica t 2 + a 1t + a 2 = 0. Si α β, entonces existen A y B tales que u n = Aα n + Bβ n, n 0 Si α = β, existen constantes C y D tales que u n = (Cn + D)α n, n 0 Las constantes A y B, (o bien C y D) están determinadas por c 0 y c 1. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 7 / 15

Recursión. Recurrencias lineales homogéneas Definición Llamaremos ecuación característica de la recurrencia lineal homogénea de orden k u n + a 1u n 1 + a 2u n 2 + + a k u n k = 0, n k a la ecuación dada por Teorema t k + a 1t k 1 + a 2t k 2 + + a k = 0 Sea u n la sucesión definida por: { u0 = c 0, u 1 = c 1,..., u (RLH) : k 1 = c k 1, u n + a 1u n 1 + a 2u n 2 + + a k u n k = 0 y sean α 1, α 2,..., α s las raíces de la ecuación característica con multiplicidades m 1, m 2,..., m s. Entonces, u n = P 1(n)α n 1 + P 2(n)α n 2 + + P s(n)α n s (1) donde P i(n) = A mi 1n m i 1 + A mi 2n m i 2 + + A 1n + A 0, es un polinomio en n de grado una unidad menos que la multiplicidad de α i y A i son constantes. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 8 / 15

Recursión. Método de resolución de recurrencias lineales homogéneas. P 0. Escribir la recurrencia en la forma estándar. P 1. Hallar las raíces de la ecuación característica asociada. P 2. Por cada raíz de la ecuación característica, α i de multiplicidad m i se añade un sumando a la solución general de la recurrencia lineal homogénea (u n) de la forma producto de un polinomio de grado m i 1 por α n i. P3. Se sustituyen los valores iniciales en (1) para encontrar los valores de las constantes A i. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 9 / 15

Recursión. Recurrencias lineales no homogéneas. Recurrencia lineal no homogénea Una recurrencia en la que un término viene dado en función de los k términos anteriores, u n 1, u n 2,... u n k y cuyo término independiente es no nulo, siendo, en general, una función de n: u n + a 1 u n 1 + a 2 u n 2 + + a k u n k = f(n), n k donde a 1, a 2,..., a k son constantes reales conocidas, recibe el nombre de recurrencia lineal no homogénea de orden k. Ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada Dada una recurrencia lineal no homogénea, llamaremos ecuación de recurrencia lineal homogénea asociada, a la recurrencia lineal homogénea asociada resultante de sustituir por cero el término independiente de la recurrencia, u n + a 1 u n 1 + a 2 u n 2 + + a k u n k = 0, n k Camacho Introd. a la Matemática Discreta 10 / 15

Recursión. Solución general de una recurrencia lineal no homogénea. Teorema Dada una recurrencia lineal no homogénea de orden k u n + a 1u n 1 + a 2u n 2 + + a k u n k = f(n), n k siempre existe una sucesión que verifique la recurrencia, y ésta es única, si se dan las k condiciones iniciales u 0 = c 0, u 1 = c 1,..., u k 1 = c k 1. Teorema Una recurrencia lineal no homogénea tiene como solución general u n = u (h) n + u (p) n, (1) siendo u (h) n la solución general de la recurrencia lineal homogénea asociada y u n (p) una solución particular. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 11 / 15

Recursión. Método de resolución de recurrencias lineales no homogéneas. P0. Escribir la recurrencia en la forma estándar. P1. Resolver la recurrencia lineal homogénea asociada. P2. Encontrar una solución particular de la recurrencia no homogénea. No existe un método general para encontrar una solución particular de la no homogénea. Sin embargo el método de los coeficientes indeterminados nos va a proporcionar esta solución en función de la forma que tenga f(n). P3. Sustituir la solución particular en la recurrencia para obtener los valores de las variables. P4. Se construye la solución general (1), es decir, se añade la solución general de la recurrencia lineal homogénea asociada (con los coeficientes por determinar) y se sustituyen los valores iniciales. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 12 / 15

Recursión. Método de los coeficientes indeterminados. Si f(n) = P (n), un polinomio de grado k, u (p) n = Q(n)n m donde m representa la multiplicidad de la raíz 1 en la ecuación característica de la recurrencia lineal homogénea asociada y Q(n) es un polinomio de grado k. Si f(x) = P (n)α n donde k es el grado el polinomio P (n), u n (p) = Q(n)n m α n donde m representa la multiplicidad de la raíz α en la ecuación característica de la recurrencia lineal homogénea asociada y Q(n) es un polinomio de grado k. Obsérvese que para α = 1 obtenemos el caso anterior. Si f(x) = P (n)α n y α no es raíz de la ecuación característica asociada, u (p) n = Q(n)α n. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 13 / 15

Recursión. Ejemplo. Ejemplo Se trata de encontrar la relación de recurrencia correspondiente al total de tiras o ristras de números binarios de longitud n que no posean dos unos consecutivos. a n tiras Para n 3 se sigue esta regla: n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 0 00 000 0000 1 01 010 0100 10 100 1000 001 0010 101 1010 0001 0101 1001 a 1 = 2 a 2 = 3 a 3 = 5 a 4 = 8 a) Añadir 0 al final de la tira con n 1 dígitos. b) Añadir 01 al final de la tira con n 2 dígitos. a n = a n 1 + a n 2, a 1 = 2, a 2 = 3 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 14 / 15

Recusión. Bibliografía. 1 I. Anderson, Introducción a la combinatoria. Editorial Vicens-Vives, 1993. 2 N. L. Biggs, Matemática discreta. Editorial Vicens Vives, 1994. 3 E. Bujalance, J. A. Bujalance, A. F. Costa, E. Martínez, Elementos de matemática discreta. Editorial Sanz y Torres, 3 a Edición. 2005. 4 F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2 a Edición, 2005. 5 R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997. 6 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications. Editorial McGraw-Hill, 2003. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 15 / 15