Tema 2. Aplicaciones lineales. Diagonalización de endomorfismos. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes) Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 1
2.1 Aplicaciones Lineales Si V y W son dos e.v. sobre un mismo cuerpo K, llamamos aplicación lineal (a.l.) de V en W a una función f : V W que verifica: f( u + v) = f( u) + f( v) f(λ v) = λf( v) u, v V λ K, v V Si V = W entonces la aplicación lineal se llama endomorfismo. Ejemplo 1. lineales: Estudia si las siguientes funciones son aplicaciones 1. f : R 2 R 3, f(x, y) = (x y, 0, 2x + 5y) 2. f : R 2 R 3, f(x, y) = (x y + 1, 0, 2x + 5y) Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 2
Propiedades Si f : V W es una aplicación lineal, se verifica: 1. f( u v) = f( u) f( v) 2. f( 0 V ) = 0 W Caracterización de una aplicación lineal f : V W es una aplicación lineal si y sólo si, u, v V λ, µ K f(λ u + µ v) = λf( u) + µf( v) Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 3
Núcleo e Imagen de una aplic. lineal Definición 1. Sea f : V W una aplicación lineal. Llamamos Núcleo de f (Kerf) al conjunto de vectores de V cuya imagen es el elemento neutro de W. Kerf = { v V f( v) = 0 W } Definición 2. Llamamos Imagen de f (Imf) al conjunto de vectores de W que son imágenes bajo f de vectores de V. Imf = { w W v V t.q. f( v) = w} Teorema 1. Si f : V W es una aplicación lineal entre dos e.v. sobre un cuerpo K, se tiene que: 1. Kerf es un subespacio vectorial de V 2. Imf es un subespacio vectorial de W Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 4
Ejemplo 2. Calcular núcleo e imagen de las siguientes aplicaciones lineales. 1. f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (z, x + y, z) 2. f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x + y, 0) 3. f : R 2 R 2, f(x, y) = (y, x) 4. f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (y, z) Teorema 2. Dada una a.l. f : V W y un sistema generador de V, { v 1, v 2,..., v p }, se tiene que los vectores {f( v 1 ), f( v 2 ),..., f( v p )} forman un sistema generador de Imf. Teorema 3. Sea f : V W una a.l. donde V es un e.v. de dimensión finita. Entonces se verifica dim V = dim Kerf + dim Imf Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 5
Teorema 4. Sea f : V W una aplicación lineal. Entonces: 1. f es inyectiva si y sólo si Kerf = { 0 V } si y sólo si dim Kerf = 0 2. f es sobreyectiva si y sólo si Imf = W En en caso de que W sea de dimensión finita, f es sobreyectiva si y sólo si dim Imf = dim W Ejemplo 3. Analizar, usando los núcleos e imágenes ya calculados en el ejemplo anterior, si las siguientes a.l. son inyectivas o sobreyectivas. 1. f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (z, x + y, z) 2. f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x + y, 0) 3. f : R 2 R 2, f(x, y) = (y, x) 4. f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (y, z) Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 6
Matriz de una aplicación lineal Sea f : V W una a.l. sobre un mismo cuerpo K. Sea B = { v 1, v 2,..., v n } una base de V en las que las coordenadas de x V son (x 1, x 2..., x n ). Sea B = { w 1, w 2,..., w m } una base de W y sea f( x) = y W de coordenadas (y 1, y 2..., y m ) en B. Supongamos conocidas las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base B expresadas en la base B. Tenemos entonces: f( v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w 2 + a m1 w m f( v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w 2 + a m2 w m...... f( v n ) = a 1n w 1 + a 2n w 2 + a mn w m f( x) = y 1 w 1 + y 2 w 2 + + y m w m f( x) = f(x 1 v 1 +x 2 v 2 + +x n v n ) = x 1 f( v 1 )+x 2 f( v 2 )+ +x n f( v n ) Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 7
Igualando las dos expresiones previas y utilizando f( v 1 )... f( v n ): y 1 w 1 + y 2 w 2 + + y n w m = = (x 1 a 11 + x 2 a 12 + + x n a 1n ) w 1 + + (x 1 a 21 + x 2 a 22 + + x n a 2n ) w 2 +. + (x 1 a m1 + x 2 a m2 + + x n a mn ) w m por tanto: y 1 y 2. y m = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n...... a m1 a m2 a mn que se expresa Y = AX donde A es una matriz m n que se denomina matriz asociada a la aplicación lineal f respecto de las bases B y B y la denotamos por M(f, B, B ), o simplemente M(f). x 1 x 2. x n Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 8
Ejemplos 1. Calcular la matriz asociada a la a.l. f : R 3 R 2, f(a, b, c) = (a + b, a c) en los siguientes casos: (a) Cuando las bases de los e.v. son canónicas. (b) Respecto a las bases B = {(1, 1, 1), (0, 2, 1), (1, 3, 0)} y B = {(0, 1), ( 1, 2)} 2. Hallar el núcleo y la imagen de la a.l. f : R 4 R 3 tal que: f(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 2) ; f(0, 0, 1, 0) = (4, 1, 5) f(0, 1, 0, 0) = (2, 1, 1) ; f(0, 0, 0, 1) = ( 1, 5, 4) 3. Calcular la matriz asociada a la siguiente a.l.: f : P 2 (R) P 1 (R), f(a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) = 2a 2 x + a 1 respecto de las bases B = {1, x, x 2 } y B = {1, x} de P 2 (R) y P 1 (R) respectivamente. Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 9
Cambio de base para ap. lineales Teorema 5. Sea f : V W una a.l.. Consideremos B V y B V dos bases de V, y B W y B W dos bases de W, la matriz P de cambio de base de B V a B V y la matriz Q de B W a B W. Entonces, A = Q 1 AP, siendo A = M(f, B V, B W ) y A = M(f, B V, B W ). B V P A B W Q B V A =Q 1 AP B W Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 10
Ejemplo 4. Dada la aplicación lineal f : R 3 R 2, f(x, y, z) = (x + 2y z, 2x y + 3z) la base canónica de R 3, B 3, la base canónica de R 2, B 2 y las bases: B 3 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}; B 2 = {(1, 3), (2, 1)} Calcular M(f, B 3, B 2 ) a partir de la matriz M(f, B 3, B 2 ). Corolario 1. Dado un endomorfismo f : V V, dos bases de V, B V y B V, y P, la matriz de cambio de base de B V a B V, se tiene que A = P 1 AP siendo A = M(f, B V, B V ) y A = M(f, B V, B V ) Emilio Muñoz-Velasco 2.1. Aplicaciones lineales. 11
2.2. Diagonalización de endomorfismos Definición 3. Dado un e.v. V sobre un cuerpo K diremos que el endomorfismo f : V V es diagonalizable si existe una base de V tal que la representación de f en la base sea una matriz diagonal D. Si la matriz A M n (K) es la representación de f en la base, diremos que A es diagonalizable en K si f es diagonalizable. Definición 4. Sea f : V V un endomorfismo. Un vector v 0 de un e.v. V sobre un cuerpo K se llama autovector o vector propio de un endomorfismo si λ K tal que f( v) = λ v. A este valor λ K se le llama autovalor o valor propio del endomorfismo f asociado al autovector v. A es diagonalizable en K si P M n (K) inversible tal que P 1 AP = D, siendo D es una matriz diagonal formada por los autovalores de A y P contiene por columnas la correspondiente base de autovectores (A y D son matrices semejantes). Emilio Muñoz-Velasco 2.2. Diagonalización de endomorfismos. 12
Definición 5. Sea f : V V un endomorfismo. Al conjunto E λ = { v V f( v) = λ v} de los autovectores asociados al autovalor λ, se le llama subespacio propio del endomorfismo f asociado al autovalor λ. Cálculo de Autovalores Teorema 6. Sea A M n (K). Entonces λ K es un autovalor de A el determinante de la matriz (A λi) es nulo. λ será autovalor de A si y sólo si el sistema homogéneo (A λi)x = 0 tiene solución no trivial. Esto ocurre si y sólo si (A λi) es una matriz singular, es decir su determinante es nulo. Definición 6. Sea A M n (K). Llamamos polinomio característico de la matriz A al determinante de la matriz (A λi). Llamaremos ecuación característica a det(a λi) = 0. Emilio Muñoz-Velasco 2.2. Diagonalización de endomorfismos. 13
Ejemplo 5. De los siguientes endomorfismos reales, hallar los autovalores y sus subespacios propios asociados: (a) f(x, y) = (3x + 2y, 2x) (b) f(x, y, z) = (2x + y, x + z, x + 3y + z) (c) f(x, y, z) = (x, 8x + 4y 6z, 8x + y + 9z) Teorema 7. Sea V un e.v. de dimensión n sobre K y f : V V un endomorfismo. Si f tiene n autovalores λ 1, λ 2,..., λ n K distintos, entonces f es diagonalizable en K Nota: Este teorema no implica que un endomorfismo con autovalores multiples no pueda ser diagonalizable. Emilio Muñoz-Velasco 2.2. Diagonalización de endomorfismos. 14
Teorema de caracterización de los endomorfismos diagonalizables Definición 7. Sea f : V V un endomorfismo en un e.v. V definido sobre K. Si λ K es un autovalor de f, llamamos: 1. Multiplicidad algebraica de λ, m a (λ) al orden de multiplicidad de λ como raíz del polinomio característico de f. 2. Multiplicidad geométrica de λ, m g (λ), a la dimensión del subespacio propio asociado a λ, E λ. Emilio Muñoz-Velasco 2.2. Diagonalización de endomorfismos. 15
Teorema 8. Sea V un e.v. de dimensión n definido sobre un cuerpo K y f : V V un endomorfismo. Si los autovalores distintos de f son: λ 1, λ 2,..., λ p K entonces f es diagonalizable si y sólo si se verifican las dos siguientes condiciones: 1. m a (λ 1 ) + m a (λ 2 ) +... + m a (λ p ) = n 2. m a (λ i ) = m g (λ i ) i = 1,..., p Observaciones: Si K = C entonces, 1. siempre se verifica. Si λ es un autovalor de f, entonces 1 m g (λ) m a (λ) Emilio Muñoz-Velasco 2.2. Diagonalización de endomorfismos. 16