5.1. Concepto de diagonalización y ejemplo de aplicación. Supongamos que queremos calcular una potencia elevada de una matriz cuadrada, por ejemplo,

Apuntes de Álgebra Lineal Capítulo 5 Diagonalización 51 Concepto de diagonalización y ejemplo de aplicación Supongamos que queremos calcular una potencia elevada de una matriz cuadrada, por ejemplo, calcular 75 7 2 3 8 Si fuese un exponente pequeño como 2, 3 o 4 no sería muy pesado hacer los productos de matrices necesarios, pero a medida que el exponente se hace más y más grande el número de operaciones necesarias se hace excesivamente grande Y esto es aún más grave si el tamaño de la matriz fuese mayor Pero supongamos que por alguna razón hemos calculado el producto 7 2 1 2 3 8 1 3 5 20 5 30 y observamos que esto es igual a 7 2 3 8 1 2 1 3 1 2 : 1 3 5 0 0 10 Aquí hay que observar que al multiplicar una matriz por una matriz diagonal, se reescalan las columnas de la matriz de la izquierda: 1 2 5 0 5 20 1 3 0 10 5 30 Así pues, tenemos, por un lado 7 2 1 2 1 2 5 0 3 8 1 3 1 3 0 10 1 2 y, por otro lado, la matriz es claramente inversible ya que sus dos columnas no son 1 3 múltiplo una de la otra, en consecuencia: 1 7 2 1 2 5 0 1 2 51 3 8 1 3 0 10 1 3 Esto se conoce como una diagonalización de la matriz 7 2 3 8 Diagonalizar una matriz A es hallar una matriz inversible P y una matriz diagonal D esto es, que tenga nulos todos los elementos fuera de la diagonal tales que A PDP 1 1 Versión de 30 de noviembre de 2016, 21:03 h

51 Concepto de diagonalización y ejemplo de aplicación 5 Diagonalización Esto es equivalente a decir que A es diagonalizable si existe P tal que P 1 AP es una matriz diagonal Ahora bien, si sabemos que A PDP 1 entonces y análogamente A 2 PDP 1 PDP 1 PD 2 P 1 A 3 PD 2 P 1 PDP 1 PD 3 P 1 y así sucesivamente, de forma que nuestro problema se ha simplificado: 75 7 2 3 8 1 2 1 3 75 1 5 0 1 2 0 10 1 3 1 2 5 75 0 1 3 0 10 75 1 1 2 1 3 Esto significa que podemos calcular la potencia 75 de nuestra matriz haciendo solamente el cálculo de una inversa y dos multiplicaciones de matrices! 1 Ejercicio de tarea Termina los cálculos de la potencia 75 de la matriz 7 2 3 8 Solución: 3 5 74 + 4 10 74 2 5 74 + 4 10 74 3 5 74 + 6 10 74 2 5 74 + 6 10 74 Un ejemplo de aplicación a los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Diagonalizar una matriz es la clave para resolver muchos problemas de Física e Ingeniería En el siguiente ejemplo, supongamos que se buscan dos funciones x 1 t y x 2 t cuyas derivadas cumplen las ecuaciones: x 1 ax 1 + bx 2 x 2 cx 1 + dx 2 52 Esto es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que es difícil de resolver porque cada incógnita influye en la derivada de la otra, lo cual hace que la resolución sea más complicada que el caso de una función cuya derivada solo depende de la propia función, como por ejemplo: y αy En este caso la solución es de la forma yt Ce αt, a lo cual se puede llegar dividiendo ambos miembros entre y e integrando respecto a la variable independiente t: y y α, y y dt αdt, ln y αt + c, y e αt+c e c e αt Ce αt En contraste con esta situación sencilla, sistemas como el 52 constituyen una situación frecuente en problemas de geometría, mecánica y electricidad y suele reflejar el hecho de que se ha representado el sistema mediante variables que no son las variables naturales del sistema físico Cuando esto ocurre se dice que las ecuaciones se encuentran acopladas Esto es similar a lo que ocurre cuando escribimos la ecuación de una elipse referida a un sistema de referencia cuyos ejes no coinciden con los de la elipse Afortunadamente, la diagonalización de la matriz de coeficientes del sistema 52 nos permite desacoplar el sistema y hallar rápidamente su solución Para ver cómo se hace esto, sea A la matriz de coeficientes, y sea x el vector cuyas componentes son las funciones incógnitas x 1, x 2 de forma que: a b x1 A, x, x x 1 c d x 2 x 2 y el sistema 52 es: x Ax 2

5 Diagonalización 52 Diagonalización de una matriz cuadrada Suponiendo que pudiésemos encontrar una diagonalización de la matriz de coeficientes: A PDP 1, es decir: 1 a b p q λ1 0 p q, c d r s 0 λ 2 r s entonces tendríamos que x Ax es equivalente a x PDP 1 x y multiplicando por la izquierda por la inversa de P: P 1 x P 1 PDP 1 x DP 1 x y1 Esto significa que el vector variable y, definido por y 2 y P 1 x o bien Py x y con y y 1 y 2 P 1 x cumple el sistema y Dy, es decir, y 1 λ1 0 y1 λ1 y y 2 1 0 λ 2 y 2 λ 2 y 2 o bien: { y 1 λ 1y 1 y 2 λ 2y 2 un sistema desacoplado! Ahora la solución es muy sencilla: y 1 C 1 e λ 1t y 2 C 2 e λ 2t de donde x Py, es decir: y hemos hallado la solución del problema: x1 x 2 x 1 t pc 1 e λ 1t + qc 2 e λ 2t x 2 t rc 1 e λ 1t + sc 2 e λ 2t p q y1 py1 + qy 2 r s y 2 ry 1 + sy 2 Conviene hacer énfasis en el hecho de que, más allá de haber encontrado la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas, el proceso de diagonalización nos ha permitido encontrar las variables naturales o modos normales de nuestro sistema, que son las componentes y 1, y 2 del vector y, las cuales se caracterizan porque evolucionan sin interferir una con la otra, al contrario de lo que ocurre con las variables artificiales x 1 y x 2 El método descrito sirve para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con cualquier número de incógnitas siempre que la matriz de coeficientes sea diagonalizable Con frecuencia, en las aplicaciones, tales sistemas tienen una matriz de coeficientes simétrica, en cuyo caso se puede asegurar que es diagonalizable Enlaces a todos los ejercicios de tarea de esta sección Usa los siguientes enlaces para visualizar cada uno de los ejercicios de tarea que aparecen en esta sección: Enlaces: Ejercicio 1 52 Diagonalización de una matriz cuadrada Para descubrir cómo conseguir hallar una diagonalización A PDP 1 de una matriz dada, vamos a analizar las consecuencias de la existencia de esa diagonalización y vamos a ver que ello nos llevará a descubrir la forma de encontrar esa diagonalización 3

52 Diagonalización de una matriz cuadrada 5 Diagonalización Lo primero que deducimos de A PDP 1 es que A debe ser una matriz cuadrada Existen descomposiciones similares para matrices no cuadradas, las cuales se estudiarán en el próximo tema, pero en éste nos limitaremos al estudio de la diagonalización, la cual se aplica estrictamente a matrices cuadradas En segundo lugar, hay que observar que P, al ser inversible, está formada por columnas que constituyen una base de R n o de C n en el caso de una matriz compleja, suponiendo que n es el número de filas y columnas de la matriz A Evidentemente, ninguna columna de P ni ninguna fila puede ser nula, ya que si alguna lo fuera P no tendría inversa En tercer lugar, observamos que de la descomposición A PDP 1 se deduce AP PD 53 Supongamos ahora que las columnas de P son los vectores p 1,, p n y que los elementos de la diagonal de D son los números d 1,, d n, es decir: D d 1 0 0 d n Por 53 la primera columna de AP es igual a la primera columna de PD, pero, por la definición de producto de matrices, la primera columna de AP es igual a A por la primera columna de P, que hemos llamado p 1 ; por otro lado, la primera columna de PD es P por la primera columna de D, la cual es igual a d 1 por la primera columna de la identidad n n, así que Ap 1 d 1 p 1 El mismo razonamiento se aplica a cada columna de AP PD y deducimos que para todo i 1,, n se cumple Ap i d i p i Esto significa de acuerdo a la siguiente definición que toda columna de P es un vector propio de A: Definición: Se llama vector propio o autovector de una matriz A a todo vector x tal que: a x 0, y b Ax λx para algún escalar λ El escalar λ se llama el valor propio o autovalor de A correspondiente al vector propio x Resulta evidente el siguiente teorema: Teorema: Una matriz cuadrada A real compleja de tamaño n n es diagonalizable si y sólo si existe una base de R n C n formada por vectores propios de A La matriz P es la que tiene por columnas los vectores de dicha base y la matriz D es la que tiene en la diagonal los autovalores asociados con las correspondientes columnas de P Cálculo de los vectores propios de una matriz La clave para calcular los vectores propios de una matriz es hallar primero los posibles autovalores Por la definición de autovector que tiene autovalor λ, este número tiene la propiedad de que la ecuación Ax λx tiene solución no trivial Esto es decir que el sistema homogéneo 4

5 Diagonalización 52 Diagonalización de una matriz cuadrada A λix 0 tiene alguna variable libre, lo cual implica y es equivalente a que la matriz A λi tiene determinante igual a cero Por lo tanto, los posibles autovalores de A son las soluciones de la ecuación en λ: deta λi 0, llamada la ecuación característica de A Obsérvese que al desarrollar el determinante de A λi se obtiene siempre un polinomio en λ de grado n el orden de la matriz A Ese polinomio se llama el polinomio característico de A y por tanto, los posibles autovalores de una matriz son las raices de su polinomio característico Por ejemplo, si A a b, el polinomio característico de A es: det c d a b 1 0 a λ b λ det a λd λ bc λ c d 0 1 c d 2 a + dλ + ad bc λ En este caso, la ecuación característica de A es: λ 2 a + dλ + ad bc 0 54 y los posibles autovalores de A son las soluciones de esta ecuación: λ 1 a + d a d 2 + + bc, λ 2 a + d a d 2 + bc 2 2 2 2 En el caso particular de que A sea simétrica, b c y el radicando en ambas soluciones es una suma de cuadrados y por tanto no negativo, quedando: λ 1, λ 2 a + d a d 2 ± + b 2 2 2 En consecuencia: Toda matriz simétrica real 2 2 tiene autovalores reales, los cuales son distintos a menos que A sea un múltiplo de la identidad Observación: El coeficiente de λ y término independiente de la ecuación característica 54 de una matriz 2 2 son, respectivamente, la traza cambiada de signo y el determinante de la matriz A Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos de su diagonal En Definición de general: traza TrA a 11 + + a nn y se cumple la siguiente propiedad general del polinomio característico de cualquier matriz cuadrada de orden n: El coeficiente de grado n 1 es la traza de A cambiada de signo si n es par y el término independiente es el determinante de A Así que el polinomio característico de A es de la forma: p A λ λ n + TrA λ n 1 + + deta De lo dicho anteriormente se deduce que todo autovalor de una matriz es solución de su polinomio característico, pero además también se deduce que Toda solución λ i de la ecuación característica de una matriz es un autovalor de esa matriz Los vectores propios que tienen ese autovalor son todas las soluciones no triviales del sistema homogéneo A λ i Ix 0, es decir, todos los vectores no nulos del espacio nulo de la matriz A λ i I Este espacio nulo se llama el subespacio propio del autovalor λ i De todo esto se deduce el siguiente método para hallar la diagonalización de una matriz A si existe: 5

53 Caracterización de matrices diagonalizables 5 Diagonalización a Resolvemos la ecuación característica de A, hallando el conjunto de todas sus soluciones: SpA {λ 1,, λ p } Este conjunto se llama el espectro de A y es el conjunto de todos los autovalores de A Definición de subespacio propio b Para cada autovalor λ i, hallamos una base de su subespacio propio E λi NulA λ i I Definición de multiplicidades geométricas de los autovalores Si la unión de todas esas bases es una base de R n o de C n en el caso complejo entonces A es diagonalizable y la matriz P que la diagonaliza tiene como columnas los vectores de todas esas bases Evidentemente el autovalor de un vector propio es único y por tanto subespacios propios correspondientes a autovalores diferentes tienen intersección cero En consecuencia: A es diagonalizable si y sólo si la suma de las dimensiones de sus subespacios propios es n Estas dimensiones reciben el nombre de multiplicidades geométricas de los correspondientes autovalores y se denotan mgλ i, de forma que mgλ i dim E λi dim NulA λ i I Estos números no deben confundirse con las multiplicidades que los autovalores tienen como raíces del polinomio característico, las cuales, en este contexto, se llamarán las multiplicidades algebraicas y se denotarán maλ i 53 Caracterización de matrices diagonalizables Propiedad: Todo conjunto {v 1,, v r } de autovectores de una matriz A que corresponden a autovalores diferentes, λ 1,, λ r es un conjunto libre Demostración: Supongamos que el conjunto {v 1,, v r } de autovectores de A no es libre Sea v i+1 el primer vector que es combinación lineal de los anteriores: v i+1 c 1 v 1 + + c i v i no todos los c son cero, 55 siendo los primeros i vectores {v 1,, v i } independientes Entonces, multiplicando A por los dos miembros de esta ecuación obtenemos: λ i+1 v i+1 c 1 λ 1 v 1 + + c i λ i v i, y restando a esta ecuación la 55 multiplicada por por λ i+1, 0 c 1 λ 1 λ i+1 v 1 + + c i λ i λ i+1 v i Como los vectores {v 1,, v i } son independientes, todos los coeficientes de esta combinación lineal son cero y como algún c j es distinto de cero, el correspondiente λ j λ i+1 es cero Esto demuestra que si el conjunto {v 1,, v r } de autovectores de A no es un conjunto libre entonces sus autovalores λ 1,, λ r no son todos diferentes Propiedad: Para cualquier matriz cuadrada A, si B es una matriz inversible del mismo orden entonces AB y BA tienen el mismo polinomio característico y por tanto los mismos autovalores con las mismas multiplicidades algebraicas Demostración: p AB λ detab λi detab λb 1 B det A λb 1 B det BA λb 1 detba λbb 1 detba λi p BA λ 6

5 Diagonalización 53 Caracterización de matrices diagonalizables Corolario: Para cualquier matriz cuadrada A, si Q es una matriz inversible entonces A y Q 1 AQ tienen el mismo polinomio característico y por tanto los mismos autovalores con las mismas multiplicidades algebraicas Demostración: Por la propiedad anterior las matrices Q 1 AQ y QQ 1 A tienen el mismo polinomio característico Propiedad: Si {v 1,, v n } es una base de R n tal que los primeros k vectores son autovectores de A con el mismo autovalor c y Q es la matriz cuyas columnas son los vectores v 1,, v n entonces la matriz Q 1 AQ es, por bloques, de la forma: Q 1 cik C AQ 0 B y su polinomio característico es de la forma pλ c λ k detb λi Demostración: Sabemos que para 1 i k, Av i cv i Por tanto, las columnas de AQ son cv 1,, cv k, Av k+1,, Av n Por otro lado, por definición de matriz inversa, los vectores Q 1 v 1,, Q 1 v k son las k primeras columnas de la matriz identidad n n, es decir: [Q 1 v 1,, Q 1 Ik v k ] de donde [Q 1 cv 0 1,, Q 1 cv k ] cik 0 Por tanto, Q 1 AQ Q 1 [cv 1,, cv k, Av k+1,, Av n ] donde las últimas n k columnas son: C [Q 1 Av B k+1,, Q 1 Av n ] cik C 0 B Según esto, el polinomio característico de Q 1 AQ tiene una raíz igual a c con multiplicidad al menos igual a k Pero, según la propiedad anterior, la matriz A tiene el mismo polinomio característico que Q 1 AQ, por lo tanto llegamos a la siguiente conclusión: Corolario: La multiplicidad algebraica de un autovalor es al menos tan grande como la multiplicidad geométrica y por tanto la multiplicidad geométrica está comprendida entre 1 y la multiplicidad algebraica 1 mgλ maλ Corolarios: 1 Una matriz es diagonalizable si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada autovalor coincide con su multiplicidad algebraica 2 Todo autovalor con multiplicidad algebraica 1 tiene multiplicidad geométrica 1 3 Toda matriz n n con n autovalores distintos es diagonalizable Ya que cada uno de los n autovalores tiene multiplicidad algebraica igual a 1 y por tanto multiplicidad geométrica igual a la algebraica 7

54 Propiedades de los autovalores 5 Diagonalización 54 Propiedades de los autovalores Autovalor cero: El escalar cero es un autovalor de una matriz A si y sólo si el determinante de A es cero Por tanto, A es inversible si y sólo si ningún autovalor de A es cero Potencias de autovalores: Si λ es un autovalor de A y p es un entero positivo, λ p es un autovalor de A p y todo autovector de A es un autovector de A p : Si Ax λx entonces A 2 x AAx Aλx λax λλx λ 2 x; A 3 x AA 2 x Aλ 2 x λ 2 Ax λ 3 x; y, en general, A p x λ p x Si A tiene inversa, esta propiedad se cumple también en el caso de que p sea un entero negativo En ese caso, los autovalores de A 1 son los inversos de los autovalores de A Matrices triangulares: Los autovalores de una matriz triangular son los elementos de su diagonal Propiedad del producto de autovalores: El producto de los autovalores de A incluidas las repeticiones es igual al determinante de A λ 1 λ n det A Esto es debido a que, por un lado, el término independiente de un polinomio cualquiera de grado n con coeficiente principal igual a 1 es igual a 1 n multiplicado por el producto de sus n raíces: px x n + términos de grado entre 1 y n 1 + a 0 x λ 1 x λ n luego a 0 λ 1 λ n 1 n λ 1 λ n, mientras que, por otro lado, el polinomio característico de una matriz n n tiene coeficiente principal igual a 1 n y término independiente igual al determinante de la matriz, luego det A λ 1 λ n Este razonamiento general demuestra la propiedad del producto de los autovalores para todas las matrices Sin embargo, si sólo estuviéramos interesados en demostrar esta propiedad en el caso especial de que la matriz A sea diagonalizable, se podría dar un razonamiento muy sencillo que demuestra esa propiedad para las matrices diagonalizables: Si A PDP 1 entonces det A detpdp 1 detp detd detp 1 1 detp detd detp detd y en el caso, más especial todavía, de una matriz triangular, la demostración es lo más sencilla posible ya que en ese caso el determinante de la matriz es el producto de los elementos de la diagonal, y esos elementos de la diagonal son justamente los autovalores Propiedad de la suma de autovalores: La suma de los autovalores de A incluidas las repeticiones es igual a la traza de A λ 1 + + λ n TrA Esto es debido a que, por un lado, el coeficiente del término de grado n 1 de un polinomio mónico cualquiera de grado n, es igual a menos la suma de sus raíces: px x λ 1 x λ n x n + x n 1 λ 1 + + x n 1 λ n + términos de grado menor que n 1 x n λ 1 + + λ n x n 1 + términos de grado menor que n 1, 8

5 Diagonalización 54 Propiedades de los autovalores mientras que, por otro lado, el polinomio característico de una matriz n n tiene coeficiente principal igual a 1 n y coeficiente del término de grado n 1 igual a 1 n 1 multiplicado por la traza de la matriz Para el caso especial de que la matriz A sea diagonalizable, se puede dar un razonamiento muy sencillo que demuestra la propieda de la suma de los autovalores como consecuencia de la propiedad fundamental de la traza, que es la siguiente: Propiedad fundamental de la traza: Para cualesquiera matrices A y B tales que A se puede multiplicar por B y B se puede multiplicar por A esto es, tales que cada una es del tamaño de la traspuesta de la otra entonces ambos productos AB y BA son matrices cuadradas y tienen la misma traza: TrAB TrBA Como consecuencia de esta propiedad se deduce la propiedad de la suma de autovalores para todas las matrices diagonalizables: si A PDP 1 entonces TrA TrPDP 1 TrP 1 PD TrD λ 1 + + λ n De nuevo, en el caso muy especial de una matriz triangular, la demostración de esta propiedad es trivial ya que en ese caso los elementos de la diagonal son justamente los autovalores y su suma es la traza de la matriz Autovalores de AB y de BA: Si A es una matriz m n y B es una matriz n m entonces AB y BA tienen los mismos autovalores no nulos Esto se debe a que si λ es un autovalor de AB y x 0 es un autovector de λ, de la igualdad ABx λx se deduce que Bx sólo puede ser cero si λ 0 ya que en caso contrario ABx λx no podría ser cero por ser x 0 y por tanto Bx tampoco podría ser cero En conclusión, si λ es un autovalor no nulo de AB con autovector x entonces Bx 0 y deducimos que λ es un autovalor de BA con autovector Bx ya que: BABx BABx Bλx λbx Autovalores de una matriz partida en k k bloques y triangular por bloques: Supongamos que A es una matriz n n partida en k k bloques no necesariamente del mismo tamaño y tal que los bloques de la diagonal, A ii para i 1, k, son cuadrados de tamaño p i p i y los bloques debajo de la diagonal son todos matrices nulas, A 11 A 12 A 1k 0 A 22 A 2k A 0 0 A kk Entonces la matriz característica de A, A λi tiene la misma propiedad, por lo que su determinante es el producto de los determinantes de las matrices características de los bloques de la diagonal: deta λi n deta 11 λi p1 deta kk λi pk En otras palabras: El polinomio característico de A es el producto de los polinomios característicos de las matrices diagonales A ii De esto se deduce que el espectro de A es la unión de los espectros de las A ii y que la multiplicidad algebraica de un autovalor cualquiera de A es la suma de sus multiplicidades como autovalor de cada una de las matrices A ii 9

55 Teorema de Cayley-Hamilton 5 Diagonalización 55 Valor de un polinomio en una matriz y el teorema de Cayley- Hamilton Esta sección está dedicada a enunciar un importante teorema cuya demostración está más allá del alcance de este curso, pero que ha recibido enorme atención por parte de los matemáticos, en parte por las numerosas demostraciones falsas o incompletas que se le han dado Antes de enunciar el teorema necesitamos aclarar en qué sentido se puede evaluar un polinomio en una matriz cuadrada Valor de un polinomio en una matriz Dada una matriz cuadrada cualquiera, A es evidente que se pueden calcular todas sus potencias de exponente entero positivo: A 1 A, A 2 AA, y en general A n AA n 1 Todas las potencias de una matriz n n son matrices n n y lo mismo ocurre al multiplicar cualquiera de esas potencias por un número En consecuencia, los múltiplos de esas potencias de una matriz A se pueden sumar entre sí y, además, se pueden sumar a cualquier escalar c si sustitiumos ese escalar por la correspondiente matriz numérica ci n El resultado de todo esto es que dado cualquier polinomio en una incógnita, px a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n, y una matriz cuadrada A de tamaño n n, podemos evaluar la matriz a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + + a n A n definición de valor de un polinomio en una matriz y el resultado es otra matriz n n Ese resultado es, por definición de valor de un polinomio en una matriz, el valor del polinomio px en la matriz A y se escribe: pa a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + + a n A n Autovalores del valor de un polinomio en una matriz De la misma forma que para cualquier matriz cuadrada A si λ es un autovalor de A entonces λ q es un autovalor de A q con el mismo autovector, también se verifica que cualquiera que sea el polinomio px, pλ es un autovalor de la matriz pa con el mismo autovector Para comprobarlo simplemente elijamos un autovector de A con autovalor λ: Ax λx y tratemos de calcular pax Si entonces px a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x q pax a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + + a n A q x a 0 I n x + a 1 Ax + a 2 A 2 x + + a n A q x a 0 x + a 1 λx + a 2 λ 2 x + + a n λ q x a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + + a n λ q x pλx Cuestión Puede tener la matriz B pa algún autovalor que no sea de la forma pλ para algún autovalor λ de A? 10

5 Diagonalización 55 Teorema de Cayley-Hamilton Cuestión Si p A x es el polinomio característico de A, Se puede afirmar que todos los autovalores de la matriz B p A A son iguales a cero? El teorema de Cayley-Hamilton Definición: Se dice que una matriz n n, A, anula a un polinomio px si el valor de px en A es la matriz nula n n: A anula a px si pa 0 El teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz cuadrada anula a su polonomio característico: Si p A x es el polinomio característico de A, entonces p A A 0 Dado que el polinomio característico de A es igual al producto p A x λ 1 x λ n x donde λ 1,, λ n son los autovalores de A incluidas las repeticiones dadas por las multiplicidades algebraicas, otra forma de enunciar el teorema de Cayley-Hamilton es decir que el producto de las matrices características de A incluidas las repeticiones es la matriz cero: A λ 1 I A λ n I 0 es fácil comprobar que este producto de matrices no depende del orden en que se multipliquen Ejemplo Para comprender el alcance del teorema de Cayley-Hamilton vamos a ver lo que significa en el caso particular de una matriz cuadrada de orden 2 Sabemos que si A a b, el polinomio característico de A es: a λ b det a λd λ bc λ c d 2 a + dλ + ad bc λ Por tanto, lo que afirma el teorema de Cayley-Hamilton en el caso n 2 es que para cualesquiera números a, b, c, d se verifica: 2 a b a b a + d + ad bc c d c d 1 0 0 1 c 0 0 0 0 d o equivalentemente: 2 a b a b a + d c d c d ad bc 0 0 ad bc Esto significa que el cuadrado de cualquier matriz 2 2 es igual a una combinación lineal de esa matriz y la identidad En general tenemos el siguiente corolario del teorema de Cayley- Hamilton: Si A es una matriz cuadrada de orden n entonces A n es una combinación lineal de las potencias de A con exponente menor que n Demostración del teorema de Cayley-Hamilton para matrices diagonalizables Para las matrices diagonalizables es posible dar una demostración sencilla del teorema de Cayley-Hamilton 11

56 Ejercicios adicionales 5 Diagonalización Supongamos que tenemos una diagonalización de A: A PDP 1 Entonces es sencillo comprobar que para cualquier polinomio px, pa P pd P 1 Consideremos el resultado de evaluar el polinomio característico de A en D: p A D ±D λ 1 I D λ n I Este es el producto de n matrices diagonales y el resultado es otra matriz diagonal El elemento diagonal i-ésimo en la matriz resultante es el producto de los elementos diagonales i-ésimos de las n matrices Pero la matriz D λ i I tiene su elemento i-ésimo igual a cero, luego el elemento diagonal i-ésimo en la matriz resultante es cero y así para cada i, luego p A D 0 y por tanto p A A P p A D P 1 0 56 Ejercicios adicionales Vectores propios, autovalores y polinomio característico 1 Es 5 un valor propio de A 6 3 1 3 0 5? 2 2 6 2 Es λ 2 un valor propio de 3 Es λ 2 un valor propio de 3 2? Por qué sí o por qué no? 3 8 7 3? Por qué sí o por qué no? 3 1 En los ejercicios 4 a 7 se da un vector, v, y una matriz cuadrada, A Averigua si v es un vector propio de A Si lo es halla su valor propio 1 3 1 4 v, A 1 + 2 2 1 5 v, A 4 3 8 1 1 4 6 v 4 3, A 3 7 9 4 5 1 7 v 1 2, A 3 6 7 3 3 7 1 2 4 4 1 5 6 5 8 Es λ 4 un valor propio de 9 Es λ 3 es un valor propio de 3 0 1 2 3 1? Si lo es, hállale un vector propio 3 4 5 1 2 2 3 2 1? Si lo es, hállale un vector propio 0 1 1 En los ejercicios 10 a 17, halla una base para el espacio propio correspondiente a cada valor propio indicado 12

5 Diagonalización 56 Ejercicios adicionales 5 0 10 9 10 A, λ 1, 5 11 A, λ 4 2 1 4 2 4 2 7 4 12 A, λ 10 13 A, λ 1, 5 3 9 3 1 14 A 4 0 1 2 1 0, λ 1, 2, 3 15 A 1 0 1 1 3 0, λ 2 2 0 1 4 13 1 16 A 4 2 3 3 0 2 0 1 1 3, λ 3 17 A 1 3 1 0 0 1 1 0, λ 4 2 4 9 0 0 0 4 Halla los valores propios de las matrices dadas en los ejercicios 18 a 20 18 0 0 0 0 2 5 19 4 0 0 0 0 0 20 2 0 0 1 3 5 0 0 1 1 0 3 1 0 1 21 Halla un valor propio para A 1 2 3 1 2 3, sin hacer cálculos Justifica tu respuesta 1 2 3 22 Sin hacer cálculos, halla un valor propio y dos vectores propios linealmente independientes 5 5 5 de A 5 5 5 Justifica tu respuesta 5 5 5 En los ejercicios 23 y 24, A es una matriz n n Indica para cada enunciado si es verdadero o falso Justifica tus respuestas 23 a Si A x λ x para algún vector x, entonces λ es un valor propio de A b Una matriz A es no invertible si, y sólo si, 0 es un valor propio de A c Un número c es un valor propio de A si, y sólo si, la ecuación A cix 0 tiene una solución no trivial d Puede ser difícil encontrar un vector propio de A, pero es fácil comprobar si un vector dado es un vector propio e Para encontrar los valores propios de A, se reduce A a una forma escalonada 24 a Si Ax λx para algún número λ, entonces x es un vector propio de A b Si v 1 y v 2 son vectores propios de A linealmente independientes, entonces corresponden a diferentes valores propios c Todo vector que no cambia cuando se le multiplica por la izquierda una matriz es un vector propio de esa matriz 13

56 Ejercicios adicionales 5 Diagonalización d Los valores propios de una matriz están en su diagonal principal e Un espacio propio de A es un espacio nulo de cierta matriz 25 Explica por qué una matriz 2 2 puede tener, como mucho, dos valores propios distintos Explica por qué una matriz n n puede tener, como mucho, n valores propios distintos 26 Construye una matriz 2 2 que no tenga dos valores propios distintos 27 Si x es un vector propio de A correspondiente a λ, qué es A 3 x? 28 Sea λ un valor propio de una matriz invertible A Demuestra que λ 1 es un valor propio de A 1 Sugerencia: Supón que un vector x diferente de cero satisface Ax λx 29 Demuestra que si A 2 es la matriz cero, entonces el único valor propio de A es 0 30 Demuestra que λ es un valor propio de A si, y sólo si λ es un valor propio de A T Sugerencia: Halla la relación entre A λi, y A T λi 31 Utiliza una propiedad de los determinantes para demostrar que A y A T tienen el mismo polinomio característico 32 Por el ejercicio anterior, toda matriz cuadrada tiene los mismos autovalores, con las mismas multiplicidades algebraicas, que su traspuesta Demuestra que también las multiplicidades geométricas de esos autovalores son las mismas 33 Considera una matriz A de orden n n con la propiedad de que todas las sumas de fila son iguales al mismo número s Demuestra que s es un valor propio de A Sugerencia: Halla primero un vector propio 34 Considera una matriz A de orden n n con la propiedad de que todas las sumas de columna son iguales al mismo número s Demuestra que s es un valor propio de A Sugerencia: Usa los ejercicios 30 y 31 En los ejercicios 33 y 34, sea A la matriz de la transformación lineal T Sin escribir A, halla un valor propio de A y describe el espacio propio correspondiente 35 T es una reflexión de R 2 sobre alguna recta que pasa por el origen 36 T es un giro de R 3 cuyo eje es alguna recta que pasa por el origen 37 Sean y ˇ vectores propios de una matriz A, con valores propios correspondientes λ y µ, y sean c 1 y c 2 números Define a Por definición, qué es x k+1? x k c 1 λ k u + c 2 µ k v, k 0, 1, 2, b Calcula A x k a partir de la fórmula para x k y demuestra que A x k x k+1 Observación: Este cálculo demuestra que la sucesión {x k } definida en el enunciado satisface la ecuación en diferencias x k+1 Ax k, k 0, 1, 2, 14

5 Diagonalización 56 Ejercicios adicionales 38 Sean u y v los vectores mostrados en la figura, y supongamos que son vectores propios de una matriz A de orden 2 2 que corresponden a los valores propios 2 y 3, respectivamente Sea T : R 2 R 2 la aplicación lineal dada por Tx A x para cada x en R 2, y sea w u + v Copia la figura y, sobre el mismo sistema de coordenadas, dibuja cuidadosamente los vectores Tu, Tv y Tw x 2 v u x 1 39 Repite el ejercicio 38, suponiendo que u y v son vectores propios de A que corresponden a los valores propios 1 y 3, respectivamente En los ejercicios 40 a 47, halla el polinomio característico y los valores propios de las matrices dadas 2 7 40 7 2 2 1 44 1 4 5 3 41 3 5 3 4 45 4 8 3 2 42 1 1 5 3 46 4 4 5 3 43 4 3 7 2 47 2 3 Los ejercicios 48 a 53 requieren las técnicas del cálculo de determinantes Halla el polinomio característico de cada matriz, calculando el determinante correspondiente por el método que te parezca más adecuado Nota: No es fácil hallar el polinomio característico de una matriz 3 3 usando sólo operaciones elementales de filas y/o columnas, porque interviene el parámetro indeterminado λ 48 1 0 1 2 3 1 49 0 3 1 3 0 2 50 4 0 0 5 3 2 0 6 0 1 2 0 2 0 2 51 1 0 1 3 4 1 52 6 2 0 2 9 0 53 5 2 3 0 1 0 0 0 2 5 8 3 6 7 2 Para cada una de las matrices de los ejercicios 54 a 56 halla sus valores propios, repetidos de acuerdo con sus multiplicidades 3 0 0 0 0 4 7 0 2 5 0 0 0 54 0 3 4 6 0 0 3 8 55 8 4 0 0 0 7 1 0 56 5 1 0 0 0 3 8 0 0 0 0 7 2 1 0 0 0 0 1 1 5 2 1 4 1 9 2 3 57 Puede mostrarse que la multiplicidad algebraica de un valor propio λ siempre es mayor que, o igual a, la dimensión del espacio propio correspondiente a λ Halla h en la siguiente matriz A de manera que el espacio propio para el autovalor doble λ 5 sea bidimensional: 5 2 6 1 A 0 3 h 0 0 0 5 4 0 0 0 1 15

56 Ejercicios adicionales 5 Diagonalización 58 Sea A una matriz n n y supongamos que A tiene n valores propios reales, λ 1,, λ n, repetidos de acuerdo con sus multiplicidades, de manera que deta λi λ 1 λλ 2 λ λ n λ Explica por qué det A es el producto de los n valores propios de A Observación: Este resultado es válido para cualquier matriz cuadrada cuando se consideren todos los valores propios reales y complejos 59 Indica verdadero o falso: a El determinante de A es el producto de las entradas diagonales de A b Una operación elemental por filas en A no cambia su determinante c det Adet B detab d La multiplicidad de una raíz r de la ecuación característica de A es la multiplicidad algebraica de r como valor propio de A 60 Indica verdadero o falso: a Si A es 3 3, con columnas a1, a2 y a3, entonces det A es el volumen del paralelepípedo determinado por a1, a2 y a3 b det A T 1 det A c Si λ + 5 es un factor del polinomio característico de A, entonces 5 es un valor propio de A d Una operación de reemplazo de filas en A no cambia los valores propios 61 Demuestra que si A QR donde Q es una matriz invertible, entonces A es semejante a A 1 RQRecuerda: A y B son semejantes si existe una matriz invertible, P tal que A PBP 1 62 Demuestra que si A y B son semejantes, entonces det A det B Diagonalización 1 P En los ejercicios 1 y 2, calcula A 4 siendo A PDP 1 5 7, D 2 3 3 Calcula A 8, siendo A 2 0 2 P 0 1 4 3 2 1 2 3, D 3 5 1 0 0 1/2 3 12 3 2 4 Sean A, v 2 7 1 y v 1 2 Comprueba que v 1 1 y v 2 son vectores propios de A y utiliza esta información para diagonalizar A 5 Sea A una matriz 4 4 cuyos distintos valores propios son 5, 3 y 2, y supongamos que el espacio propio para el autovalor 3 es bidimensional Se tiene suficiente información como para determinar si A es diagonalizable? En los ejercicios 6 y 7, utiliza la factorización A PDP 1 dada para hallar una fórmula para cada elemento de A k, donde k representa un entero positivo arbitrario a 0 6 3a b b 1 0 3 1 a 0 0 b 1 0 3 1 16

5 Diagonalización 56 Ejercicios adicionales 7 2 12 1 5 3 4 1 1 2 0 0 1 1 4 1 3 En los ejercicios 8 y 9, la matriz A está factorizada en la forma PDP 1 Usa el teorema de diagonalización para encontrar los valores propios de A y una base para cada espacio propio 8 2 2 1 1 3 1 1 1 2 1 0 1 5 0 0 1/4 1/2 1/4 0 1 0 1/4 1/2 3/4 1 2 2 1 1 0 0 0 1 1/4 1/2 1/4 9 4 0 2 2 0 1 2 5 4 0 1 2 5 0 0 0 5 0 0 0 1 2 1 4 0 0 5 1 0 0 0 0 4 1 0 2 Diagonaliza las matrices de los ejercicios 10 a 23 Los valores propios para los ejercicios 14 a 19 son los siguientes: 14 λ 1, 2, 3; 15 λ 2, 8; 16 λ 5, 1; 17 λ 5, 4; 18 λ 3, 1; 19 λ 2, 1 Para el ejercicio 20, un valor propio es λ 5 y un vector propio es 2, 1, 2 1 0 10 11 6 1 14 18 22 1 4 2 3 4 0 3 1 3 7 4 16 2 5 8 2 2 5 5 3 0 9 0 3 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 15 5 1 0 5 4 2 2 2 4 2 2 2 4 12 16 3 1 1 5 2 2 1 1 3 1 1 2 2 13 17 2 3 4 1 4 0 2 2 5 4 0 0 5 0 4 6 7 16 4 4 0 0 19 1 0 3 20 6 13 2 21 1 4 0 1 2 5 12 16 1 0 0 5 4 0 0 0 23 0 4 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2 En los ejercicios 24 y 25, A, B, P y D son matrices n n Indica para cada enunciado si es verdadero o falso Justifica tus respuestas Sugerencia: Estudia con cuidado el teorema de diagonalización y el que nos da una condición suficiente para que una matriz sea diagonalizable antes de intentar resolver estos ejercicios Repasa también los ejemplos hechos en clase 24 a A es diagonalizable si A PDP 1 para alguna matriz D y alguna matriz invertible P b Si R n tiene una base de vectores propios de A, entonces A es diagonalizable c A es diagonalizable si, y sólo si, tiene n valores propios, contando las multiplicidades d Si A es diagonalizable, entonces es invertible 25 a A es diagonalizable si tiene n vectores propios b Si A es diagonalizable, entonces tiene n valores propios distintos 17

56 Ejercicios adicionales 5 Diagonalización c Si AP PD, con D una matriz diagonal, entonces las columnas de P diferentes de cero son vectores propios de A d Si A es invertible, entonces es diagonalizable 26 Supongamos que A es una matriz 5 5 que tiene dos valores propios distintos Además, el espacio propio de un autovalor es tridimensional y el del otro bidimensional Es A diagonalizable? Por qué? 27 A es una matriz 3 3 con dos valores propios Cada espacio propio es unidimensional Es A diagonalizable? Por qué? 28 A es una matriz 4 4 con tres valores propios Un espacio propio es unidimensional y uno de los otros espacios propios es bidimensional Es posible que A no sea diagonalizable? Justifica tu respuesta 29 A es una matriz 7 7 con tres valores propios Un espacio propio es bidimensional y uno de los otros espacios propios es tridimensional Es posible que A no sea diagonalizable? Justifica tu respuesta 30 Demuestra que si A es tanto diagonalizable como invertible, entonces también lo es A 1 31 Demuestra que si A tiene n vectores propios linealmente independientes, también los tiene su traspuesta, A T Sugerencia: Use el teorema de diagonalización 32 Una factorización A PDP 1 con D diagonal,en general no es única Demuestra esto para 7 2 1 1 5 0 2 1 3 0 la matriz A Pon D 4 1 1 2 0 3 1 1 1 y halla una 0 5 matriz P 1 tal que A P 1 D 1 P1 1 5 0 33 Con A como en el ejercicio anterior y D, halla una matriz P 0 3 2 invertible distinta 1 1 de P, de modo que A P 1 2 2 DP2 1 34 Construye una matriz 2 2 distinta de cero que sea invertible pero que no sea diagonalizable 35 Construye una matriz 2 2 no diagonal que sea diagonalizable pero no invertible Para cada una de las matrices dada en los ejercicios 36 a 39 haz lo siguiente: a Usa una calculadora para comprobar que los valores propios son los siguientes: ejercicio a u t o v a l o r e s 36 2 2 1 5 37 4 4 1 24 38 1 1 3 5 5 39 3 3 5 5 7 b Determina una base para el espacio propio de cada autovalor c Diagonaliza la matriz 18

5 Diagonalización 56 Ejercicios adicionales 6 4 0 9 0 13 8 4 36 3 0 1 6 1 2 1 0 37 4 9 8 4 8 6 12 8 4 4 0 7 0 5 0 4 11 6 4 10 4 4 4 2 3 2 3 5 2 4 1 0 1 2 2 2 38 8 12 3 12 4 39 6 12 11 2 4 1 6 2 3 1 9 20 10 10 6 8 18 8 14 1 15 28 14 5 3 Preguntas de examen 1 Calcula los autovalores de la matriz A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Sugerencia: Realiza en la matriz característica las operaciones C 4 + C 2 y F 4 F 2 Halla una base de los subespacios propios asociados a los autovalores de A Es A diagonalizable? 2 Dada la matriz A 1 α 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, se pide: a Calcular en función del parámetro real α los autovalores de A Sugerencia: Realizar en la matriz característica las operaciones C 1 C 4, F 1 + F 4, F 3 + 1 λf 2 b Estudiar en qué casos es A diagonalizable c En los casos en que A no sea diagonalizable, dar una base de los subespacios propios asociados a los autovalores de A 3 Dada la matriz A 0 1 1 1 2 0 0 2 0 1 1 1 2 1 1 3 se pide: a Calcular los autovalores de A Sugerencia: Realizar en la matriz característica las operaciones F 1 + F 3, C 4 C 2 b Calcular las multiplicidades algebraicas y geométricas de dichos autovalores c Es A diagonalizable? Justificar la respuesta d Obtener, si es posible, una base de R 4 formada por autovectores de A e Hallar, si es posible, una matriz inversible P tal que P 1 AP sea diagonal 19

56 Ejercicios adicionales 5 Diagonalización 4 Sea A 2 2 2 2 2 3 1 1 4 2 4 2 2 1 1 3 a Calcula los autovalores de A, así como sus multiplicidades algebraicas y geométricas Sugerencia: Realiza en la matriz característica las operaciones F 4 + F 2, C 2 C 4, C 2 + C 1 y F 2 F 1 b Justifica que A no es diagonalizable y da una base de cada uno de los subespacios propios asociados a los autovalores de A c Modificamos la matriz A multiplicándola por la izquierda por la matriz elemental 1 0 0 0 E 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Explica razonadamente si A y EA tienen o no los mismos autovalores 5 Sea A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 a Contesta razonadamente: Cuál es el rango de A? Qué se deduce de ello acerca de los autovalores y sus multiplicidades? b Demuestra que la tercera columna de A es un autovector de A Qué se deduce de ello acerca de los autovalores y sus multiplicidades? c Halla el espectro de A y contesta razonadamente: Es A diagonalizable? d Halla una base de cada subespacio propio asociado a los autovalores de A 6 Sea A 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 a Calcula el rango de A b Demuestra que 1, 4, 1, 4, 1, 4, 1 t R 7 es autovector de A c Halla el espectro de A d Halla una base de cada uno de los subespacios propios asociados a los autovalores de A Es A diagonalizable? 20

5 Diagonalización 56 Ejercicios adicionales 7 Dada la matriz A 2 4 2 4 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2, a Calcula el rango de A b Demuestra que 8 es autovalor de A c Calcula los autovalores de A, así como sus multiplicidades algebraicas y geométricas d Da una base de cada uno de los subespacios propios asociados a los autovalores de A Es A diagonalizable? 8 Sea A 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a Calcula el rango de A b Demuestra que 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0 t R 9 es un autovector de A c Sabiendo que A tiene exactamente dos autovalores distintos, calcula el espectro de A d Es A diagonalizable? e Da una base de los subespacios propios asociados a los autovalores de A 9 Sea A la matriz A 5 2 6 1 0 3 h 7 0 0 5 4 0 0 0 1 a Halla el valor de h que hace que la matriz A sea diagonalizable b Utilizando para h el valor que hace que A sea diagonalizable, diagonaliza la matriz A, es decir, halla una matriz inversible P tal que P 1 AP sea una matriz diagonal 10 Sea A una matriz cuadrada cuyo polinomio característico es p A x x 3 + 4x y sea B qa donde q es el polinomio qx x 4 4 a Cuál es el valor del determinante de A? b Cuál es el valor de la traza de A? 21

56 Ejercicios adicionales 5 Diagonalización c Cuál es el valor del determinante de B? d Cuál es el valor de la traza de B? 11 El siguiente enunciado se encontró en una libreta abandonada en un charco: Ejemplo: Una diagonalización de la matriz A 2 2 2 0 0 2 está dada por P 1 AP D siendo P 1 1 0 0, D 2 0 2 1 0 0 0 Lamentablemente, algunos elementos de las matrices han resultado ilegibles Para cada una de las tres matrices indica si hay suficiente información para reconstruirla de forma que el enunciado sea cierto y en caso afirmativo calcúlala 12 De una matriz A M 4 4 R se sabe que exactamente una de las siguientes afirmaciones es falsa, mientras que las cuatro restantes son verdaderas: i Las cuatro columnas de A son iguales ii El polinomio λ 3 λ 2 divide al polinomio característico de A iii A es diagonalizable iv trazaa 2 v rangoa I 3 Se pide: a Explicar, razonadamente y con detalle, cuál es la afirmación que es falsa y por qué es esa la única posibilidad de que haya una afirmación falsa y cuatro verdaderas b Escribir una tal matriz A 22