LOS NÚMROS RALS n matemáticas, la palabra conjunto es fundamental ya que podemos mencionar una infinidad de estructuras que ejemplifican a este concepto. s por eso que es menester dar una definición de dicha palabra, antes de adentrarnos al estudio de los números reales. CONJUNTO s la reunión, colección, asociación, amontonamiento, etc., de elementos con una característica determinada que nos permite decidir si un elemento pertenece o no a dicho conjunto. Los conjuntos se denominan con letras mayúsculas y sus elementos se escriben entre llaves separados mediante comas. (Ver ejemplo) jemplo: l conjunto de las vocales P or otra parte, cabe mencionar, que para llegar a definir al conjunto de los números reales, será necesario abordar otras estructuras más simples de números, que finalmente juntas conformaran a los números reales. l primer conjunto que estudiaremos es el conjunto de los números naturales los cuales componen, una de las estructuras más simples y conocidas por el hombre desde épocas muy remotas. NÚMROS NATURALS: s el conjunto de todos aquellos números que empleamos para contar. A este conjunto de números se le simboliza con la letra N; y se escribe así: ste conjunto es infinito, los puntos suspensivos indican precisamente esto. Dentro de este conjunto podemos citar a otros conjuntos que se derivan a partir de este. Como por ejemplo:
LOS MÚLTIPLOS D UN NÚMRO NATURAL Dado un número natural, sus múltiplos son todos aquellos números que resultan de multiplicar el número por cada uno de los números naturales. NÚMROS PRIMOS Son aquellos números naturales que únicamente admiten dos divisores, ellos mismos y la unidad. l número uno a pesar de cumplir estas condiciones no se considera primo. LOS DIVISORS D UN NÚMRO NATURAL Dado un número natural, sus divisores son todos aquellos números que dividen exactamente al número dado. NÚMROS COMPUSTOS Son aquellos números que admiten más de dos divisores. DSCOMPOSICIÓN PRIMA n Aritmética existe un teorema que menciona que todo número compuesto puede expresarse como un producto de números primos en una y solamente una forma, sin tener en cuenta el orden de los factores, a este teorema se le conoce como : TORMA FUNDAMNTAL D LA ARITMÉTICA
jemplo: xpresa, un producto de números primos al número 72. l mecanismo es muy sencillo, consiste en construir una tabla como la que se muestra y dividir al número dado, entre un número primo por el cual sea divisible, luego el resultado se divide, entre otro primo por el cual este sea divisible (segunda fila), así sucesivamente hasta llegar a obtener la unidad, que es donde el proceso termina. a) Máximo Común Divisor (mcd) s el divisor común más grande de todos aquellos divisores comunes de dos o más números. jemplo: Calcula el máximo común divisor de 16 y 24. *Para hallarlo se debe hacer simultáneamente la descomposición prima de ambos números, después se, multiplican todos los divisores que se hayan obtenido. mcd (16,24) = (2)(2)(2) = 8 (Se multiplican todos los divisores comunes).
b) Mínimo Común Múltiplo (mcm) s el múltiplo común, más pequeño de todos los múltiplos comunes de dos o más números. jemplo: Calcula el mínimo común múltiplo de 8 y 12. Para hallarlo se debe hacer simultáneamente la descomposición prima de ambos números y luego se multiplican todos los divisores obtenidos. NÚMROS NTROS NÚMROS RACIONALS Son todos los números naturales, sus inversos (negativos de los naturales); además el cero. A este conjunto se le denota con letra Z. A los números enteros se les puede clasificar entre grupos: enteros positivos, el cero y enteros negativos. Además es importante observar que todo número natural, forma parte del conjunto de los números enteros, esto es, todo número natural es entero. Son todos aquellos números que pueden ser expresados como el cociente (fracción), de dos números enteros, en donde el denominador siempre debe ser distinto de cero. s decir, es el conjunto de todos los números de la forma a, donde a y b son b enteros y b es distinto de cero. A este conjunto se le simboliza con la letra Q. Son ejemplos de números racionales:
Además, es necesario observar que a los números esteros también se les puede llamar: número racional; puesto que cualquier número entero puede ser representado como el cociente de dos números enteros. l conjunto de los números racionales queda bien expresado mediante la siguiente simbología: Se*lee: l conjunto de los números racionales igual a los números de la forma tal que a y b son enteros y b es distinto de cero. jemplos: Otra característica importante de los números racionales es que se puede escribir como decimales infinitos periódicos. sto es que al efectuar la división de una fracción llaga un momento en que sus cifras decimales se repiten en el mismo orden hasta infinito.
NÚMROS IRRACIONALS s on aquellos números que constan de una expresión decimal infinita no periódica. ste conjunto de números es infinito y se representa mediante el símbolo I. A diferencia de los racionales, estos números tienen una expresión decimal infinita, en la cual es imposible definir un periodo de números. NÚMROS RALS Y LA RCTA RAL Llamamos número real a cualquier número racional o irracional. s decir, al unir los números racionales con los irracionales se originan los números reales. l conjunto de los números reales se representa mediante la letra R. Los números reales se relacionan con puntos en una recta numérica de tal manera, que a cada número real le corresponde un punto de la recta y viceversa. A esta relación que se establece se conoce como una relación biunívoca o uno a uno y a la recta numérica se le llama recta real o eje real. Obsérvese que a la derecha del cero se encuentran todos los números positivos o mayores que cero y a la izquierda del cero están ubicados todos los números negativos o menores que cero. También es importante señalar que, para ubicar cualquier fracción en la recta real, simplemente se debe calcular la división del numerador entre el denominador y verificar si la fracción es positiva o negativa.