UNSAM º cuatrimestre 008 I. FUNCIONES C.P.U. MATEMATICA Trabajo Práctico FUNCIONES. FUNCIONES LINEAL, MÓDULO Y CUADRÁTICA. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Y FUNCIÓN INVERSA.. De acuerdo a la siguiente descripción: "Saqué del fuego una cacerola con agua hirviendo. Al principio, la temperatura bajó con rapidez, de modo que a los 5 minutos estaba a 60. Luego fue enfriándose con más lentitud. A los 0 minutos de haberla sacado estaba a 0 y 0 minutos después seguía teniendo algo más de 0, temperatura de la cual no bajó, pues era la temperatura que había en la cocina". a) Hacer un gráfico que refleje la evolución de la temperatura del agua a lo largo del tiempo. b) El siguiente gráfico, corresponde a la situación descripta? º C 00 60 0 0 Coincide con el tuyo? Son ambos posibles? 5 0 0 minutos. La siguiente tabla contiene las temperaturas registradas durante un día de agosto en Buenos Aires: Hora O 6 8 0 6 8 0 Temp. 9 8,5 8 7 5,50 6 8 0,5,5 a) Representar gráficamente los datos. b) Puede saberse a partir de ellos, con eactitud, qué temperatura había a las hs 0 min? c) Si fuera necesario tener un valor estimado de la temperatura a las hs 0 mín, qué valor propondrías? d) Entre qué horas penetró en Buenos Aires un frente frío ese día?. Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función?. Definir una función f que describa la siguiente relación entre e y, f(y, y analizar su dominio. a) y es doble de b) y es el cuadrado de c) el producto de por y es d) la suma de e y es e) y es la raíz cuadrada de f) si >, y es la mitad de, en otro caso y g) f( es al área de un cuadrado de lado
UNSAM º cuatrimestre 008 5. Para cada uno de los siguientes gráficos, hallar la epresión A( que representa el área de la región sombreada en función de la variable. a) b) c) d) 6. En cada caso, hallar: 0 ceros de f, C { Domf / f ( 0} + positividad de f, C { Domf / f ( > 0} negatividad de f, C { Domf / f ( < 0} a) b) - -5-7. Dada f ( ) a) calcular f(), f(5), f(0), f(-), f(,0) y f(-5). b) Decidir si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados: Domf Domf 0 Domf 0 Im( f ) Im( f ) Im( f ) 8. Para cada una de las siguientes funciones calcular su dominio y, si eisten, los puntos de intersección con los ejes. + a) f ( b) f ( + c) f ( d) g) f ( + 6 f ( + e) f ( h) f ( + + 8 f) i) f ( f ( + + 9
UNSAM º cuatrimestre 008 II. FUNCION LINEAL 9. En cada caso, hallar la función lineal f que cumpla lo pedido, hacer el gráfico correspondiente y encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f. a) f ( 0) y f ( ) b) f ( ) y f ( ) 5 c) f ( ) 7 y f ( ) 7 d) ( ) 0, pertenece al gráfico de f. f y el punto ( ) 0. Sea la recta r de ecuación y. a) Hallar tres puntos de r. b) ( 5,7) r? (, ) r? c) Encontrar k para que: i. (, k) r ii. ( k, ) r iii. ( k, k ) r d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados.. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de las siguientes rectas. a) y b) y c) 5y d) y e) / + y / f) y 5. cada caso, dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido y graficar: a) Pasa por los puntos (,) y (-,). b) Pasa por el (,/) y es paralela a y + 5. c) Es perpendicular a y / y pasa por el (-,-) d) Es perpendicular a y + y pasa por el origen de coordenadas. e) Es vertical y pasa por el punto (,-). f) Es horizontal y pasa por (,-5). g) Es perpendicular a la recta y 5 y pasa por el punto (5,8).. a) Probar analíticamente que el triángulos cuyos vértices son: A (,), B (0,) y C (,) es rectángulo. Graficar. b) Decidir cuántos pares de lados paralelos tiene el cuadrilátero ABCD siendo A (-,-5), B (,7), C (,) y D (-,-5).. Decidir analíticamente si los puntos (,) (-,) y (,5) están alineados. 5. Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico. a) b) c) 7 d) e) f) 5 - -7/
UNSAM º cuatrimestre 008 6. a) Graficar la siguientes funciones. si < i. f ( ii. + si 0 + b) Hallar C,C y C. si < f ( iii. + si f ( si si (,) (,) 7. Graficar y hallar la imagen de f en cada caso. a) f : R R dada por f ( + b) f : (, ) R dada por f ( + c) f : (, ] R dada por f ( + d) f : R R dada por f ( 5 e) si < f : R R dada por f ( + si f) si 0 f : R R dada por f ( + si 0 8. Cuál debe ser el dominio de f(. + para que su imagen sea el intervalo [ ; ) 9. Hallar k para que los puntos (-,), (0, -) y (, k-) estén alineados. 0. Hallar la intersección entre los siguientes pares de rectas y graficar. r : y r : + y r : y + a) b) c) : y + : y 9 : y 0? r : y 5 r : y r : y 5 d) e) f) : : + y 9 : 6 y. Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: y y que pasa por el punto de intersección de la recta y / + con la recta y / 9.. Dados los puntos del plano P (,6), Q (,) y R (-,), hallar el punto de intersección de la recta que pasa por P y Q con la recta perpendicular a y que pasa por R.. a) Hallar b de manera que las rectas r : y r : y + b se corten en el punto de coordenadas (,-). b) Para el valor de b encontrado, graficar y describir el conjunto de valores de para los cuales resulta el gráfico de r por encima del gráfico de r.. En cada caso, hallar las coordenadas del punto P. a) r b) r P r r P
UNSAM º cuatrimestre 008 5. Dibujar los gráficos de las funciones lineales f y g y representar sobre el eje el conjunto { R / f ( }. a) f ( + y g ( 5 b) f ( y g ( + 6. a) Dar una ecuación de una recta que no se interseque con la recta r: +y y que pase por el punto (-,). b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto (,). III. FUNCION MODULO 7. A partir del gráfico de f ( ) graficar las siguientes funciones: g ( + h ( i ( + j ( k ( + l ( 8. Sea f ( ). a) Graficar indicando vértice y puntos de intersección con los ejes. 0 + b) Hallar C,C, C e imagen de f. B / f ( c) Hallar { } 9. Idem 8. para f ( +. 0. Sea f [, ) R : dada por f ( + a) Graficarla aproimadamente indicando vértice e intersecciones con los ejes. 0 + b) Hallar C,C, C e imagen de f. IV. FUNCION CUADRÁTICA. En cada caso graficar la función cuadrática f, especificando coordenadas del vértice, eje de simetría y concavidad de la parábola que representa y hallar la imagen, ceros y conjuntos de positividad y negatividad de f. a) f ( d) f ( + + b) f ( e) y + 7 + f). Dar la ecuación de una función cuadrática f que verifique lo pedido: a) sus raíces sean y 5 y (0,) esté en el gráfico de f. b) su vértice sea el (-,), en cero valga. c) Sea cóncava hacia abajo y no tenga raíces reales. d) No tenga raíces reales y el gráfico de f pase por el (,). e) Sus raíces sean y ½ y su coeficiente principal valga f) Sus raíces sean y y cuya imagen sea el conjunto [,+ ). g) El eje de simetría sea la recta 5, (,0) y (-,) están en el gráfico de f. +,0 Im f,5 h) C ( ) e ( ] c) f ( ( ) - y 5
UNSAM º cuatrimestre 008. Sea la función cuadrática f ( ). Describir los conjuntos A { R / f ( 0}, B { R / f ( > 0}, C { R / f ( 0}, R / f ( R / f ( B R / 0 f ( <. D { }, E { } y { }. a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las funciones siguientes y graficar. i. f ( ii. f ( + iii. f ( ( + ) 5 + iv. f ( v. f ( + + + 8 R / f ( y representarlo sobre el eje. b) Hallar { } 5. a) Graficar indicando vértice, eje de simetría, raíces,concavidad e intersecciones con los ejes coordenados, la parábola f ( 6 9 b) Hallar una ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola hallada en a) y por el punto (, f()).graficar. 6. a) Hallar la ecuación de una parábola tenga vértice en (,) y unas de sus raíces sea 0. Graficar indicando cuál es la imagen de la parábola. b) Hallar la intersección de la parábola con la recta r : y.graficar. c) Hallar la ecuación de una recta paralela a r que no corte a la parábola. 7. a) Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje se simetría sea la recta 0, sea raíz y pase por el (0,). Graficar. b) Hallar la intersección de la parábola hallada con la recta y.graficar. c) Hallar los valores de para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta. Señalar en el gráfico. 8. Dada la parábola y a + + a) Hallar el valor de a si el vértice de la parábola es el punto (,). b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad, eje de simetría, vértice e intersecciones con los ejes. A R / y > c) Hallar { } 9. Graficar las siguientes funciones y hallar imagen de f. + si > 0 5 si a) f ( b) f ( + si 0 + si < 0. Hallar a, b R para que la imagen de f ( ( + ) + si + b a si < sea ( ] [ 5; ) ;. 6
UNSAM º cuatrimestre 008 y a b y a + b. Los sistemas S : y S :, con a y b positivos, están representados en y b y b alguno de los gráficos siguientes. Cuál corresponde a cada uno? 5 6. Cada uno de los gráficos de las funciones: f ( a b, f ( a + b, f ( a b, ) ) f ( a + b y f ( a b, con a y b positivos, están representados en alguno de ) 5 ) los cuadros. Cuál es el gráfico que corresponde a cada función? 5 6. Dada f ( ) 5 a) Hallar el dominio de f y graficarlo en la recta. b) Hallar los valores de en el dominio de f para los cuales resulta f(<0. 7
UNSAM º cuatrimestre 008. Dada f ( ) a) Hallar el dominio de f y graficarlo en la recta real. b) Resolver f(>. 5. Dada f ( ) 6 a) Hallar el dominio de f. b) Hallar las intersecciones del gráfico de f con los ejes coordenados. 6. Hallar dominio de f y los puntos de corte del gráfico de f con los ejes. a) + f ( ) b) f ( + c) f ( ) V. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 7. Dadas las siguientes funciones: f ( 5 i( + j( Calcular: a) f( ) b) ) d) f ( )) g) i o f ( e) h) k( h()) + c) h(5) f ( i( ) ( k o g o f )( ) i) j o k( f) h( k( + 6 8. Dadas las funciones f ( ) y g ( ) + se pide: a) Calcular los dominios de ambas funciones. b) Hallar todos los que verifican f( y los z que verifican z). c) Hallar g o f ( y f o 0). 9. Sean f ( y +. a) Hallar el dominio de f y resolver f(. b) Resolver f o ) 0 VI. FUNCIÓN INVERSA 50. Calcular las inversas de las siguientes funciones lineales y graficar las funciones y sus inversas en un mismo par de ejes y comparar. 5 f ( + h( i( + 5. Hallar la función lineal f si se sabe que f ( ) y f (5). 5. Sea f : R R la función que tiene como función inversa a f - ( a. + + b. Hallar a y b reales si se sabe que f - (7) y f ( ) 0. 8