EJERCICIOS MÓDULO 5. 1) Dadas las siguientes rectas, determinar su pendiente y ordenada al origen y graficar:

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1 Seminario Universitario Matemática EJERCICIOS MÓDULO 5 ) Dadas las siguientes rectas, determinar su pendiente y ordenada al origen y graficar: a) y = + b) y = c) y = d) y = e) y = f ) y = + ) Si st () = t+ describe el espacio recorrido por un móvil que se desplaza con M.R.U, (t en segundos y s en metros) determinar: a) El espacio recorrido a los 5 segundos, a los 0 segundos y a los 5 segundos. b) La ecuación que describe el espacio recorrido por otro móvil que se desplaza a igual velocidad y que está metros adelantado con respecto al primero. c) La ecuación que describe el espacio recorrido por otro móvil que se desplaza al doble de velocidad y en el instante t = 0 se encuentra en el mismo punto que el primero. ) Las ganancias f() obtenidas por la venta de tn de un cereal están dadas por la ecuación f() = Obtener: a) Las ganancias al vender 5 tn, 50 tn y 000 tn. b) Cuántas toneladas es necesario vender para obtener una ganancia de $ ? 4) Observando las siguientes ecuaciones, y sin graficar determinar para cada una en que cuadrantes se ubica: I. y = 7 II. y = III. y = IV. y = V. y = VI. y = VII. y = VIII. y = IX. y = 0, 7 X. y = a) Cuál es la más próima al eje? b) Cuál es la más próima al eje y? 5) Dibujar la recta cuya ecuación es: a) y + 4 = 0 b) y 5 = c) = 0 d)4 + y = 0 e) = y 6) Escribir la ecuación de la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m si: a) P ( ; ) m = b) P ( 0; ) m = c) P ( 4; 5) m = d) P ( ; ) m = 4 59

2 Módulo 5 7) a) Determinar la ecuación del haz de rectas que pasan por (; 5). b) Determinar las ecuaciones eplícitas de las rectas, del punto anterior, cuyas pendientes son respectivamente: m = /; m = 4/5 y m = 5. 8) Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B si: ( ) ( ) ( ) ( ) a) A 0;0 ; B ; b) A ; ; B ;5 9) Indicar si los siguientes puntos están alineados: a) A ( ; ) B ( ;) C (; ) b) A ( ; 0) B ( ; ) C (; ) 0) Dada la ecuación: y = +. Escribir la ecuación de una recta paralela, que pase por el punto (0; ). ) Dada la ecuación perpendicular. 4 y + = 0, hallar la ecuación de una recta ) Escribir la ecuación de una recta paralela y otra perpendicular a y = /5 + que pase por el punto: a) ( ; ) b) ( ; ) c) (0; ) ) Qué clase de cuadrilátero es el determinado por los puntos: A = (6; 0), B = (4; 4), C = (6; 6) y D = (8; )? 4) Se podría afirmar que el triángulo determinado por los puntos P = (; ), Q = (7; ) y R = (; ) es rectángulo? Por qué? 5) Hallar ecuación de la recta perpendicular a la determinada por los puntos ( ; ) y (5; ), que pase por el punto (; ). 6) Hallar el valor de k para que las rectas ( ) y = 0 sean: a) paralelas; b) perpendiculares. k + k + y + = 0 y 7) Una ecuación de la recta r es y + 6 =. Escribir la epresión de una función lineal cuya representación gráfica sea: (i) Una recta paralela a r que pase por (; ). (ii) Una recta que no sea paralela a r pero que tenga la misma ordenada al origen. (iii) Una recta paralela a r que pase por el origen. (iv) Una recta paralela al eje con la mima ordenada al origen que r. 8) Una ecuación de la recta r es 6 y = 4. Escribir la ecuación de una recta tal que: (i) Sea perpendicular a r y pase por (4; ). (ii) Sea paralela a la anterior y corte al eje en 5. (iii) No sea paralela ni perpendicular a r pero tenga la misma ordenada al origen. 60

3 Seminario Universitario Matemática 9) Encontrar la ecuación de la recta que se muestra en el gráfico de la derecha. Determinar su pendiente y ordenada al origen. 0) Dado el triángulo ABC cuyos lados están incluidos en las siguientes rectas: 4 y = y = + y = 5 a) Calcular las coordenadas de sus vértices. b) Qué clase de triángulo es? Por qué? c) Graficar. ) Dados los puntos A ( 5; ) ; B ( ; 4 ) y C ( ;5 ) : a) Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo que determinan b) Calcular abscisa y ordenada al origen de cada recta. c) Escribir la ecuación de la paralela al lado AB que pasa por el punto C. d) Escribir la ecuación de la perpendicular al lado AB que pasa por el punto C. (recta que contiene a la altura correspondiente a la base AB ). e) Escribir la ecuación de la mediana correspondiente al lado AB. Aclaración: la recta que contiene a la mediana es la que pasa por el punto medio del lado AB y por el vértice opuesto. Las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen haciendo la semisuma de las coordenadas de los etremos del segmento. ) En el triángulo determinado por los puntos ( ; ), (; 0) y ( ; ) hallar: a) la ecuación de las rectas que incluyen a cada uno de los lados. b) la ecuación de las mediatrices de cada lado. c) las coordenadas del baricentro. ) Resolver los siguientes sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: y = 5 + y = y = a) b) c) + 7y = 5 y = + = = y 6 + y = y = d) e) f ) 4 + 6y = y = = y 5 6

4 Módulo 5 4) La mitad de un número es igual a la tercera parte de otro. Cuáles son dichos números si su suma es igual a 0? 5) En una juguetería donde se venden bicicletas y triciclos se cuentan 60 ruedas. Sabiendo que hay 5 bicicletas más que triciclos, hallar cuántos de cada uno hay. 6) Los precios de un viaje aéreo, incluido el alojamiento a las Cataratas son $ 400 para una sola persona y $ 700 para una pareja en habitación doble. En uno de los vuelos se recaudaron $.400 y viajaron 6 personas en total. Cuántas parejas y cuántas personas solas viajaron? 7) Dos ángulos suplementarios son tales que la medida de uno de ellos tiene más que el doble de la medida del otro. Cuánto mide cada ángulo? 8) El numerador de una fracción supera en al triple del denominador. Si se sustraen 4 unidades de ambos términos de la fracción, se obtiene otra equivalente a 6. Determinar la fracción dada. 9) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 5, y si se hace la diferencia entre el número que resulta de invertir las cifras menos nueve, se obtiene el número dado. Averiguarlo. 0) Un equipo de fútbol ha jugado 5 partidos de los cuales ha perdido. Totaliza 8 puntos. Cuántos partidos ganó y cuántos empató? ) Obtener las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas y hacer una gráfica aproimada de las mismas: a) y = b) y = c) y = + d) y = + e) y = + f ) y = + g) y = h) y = + 6 i) y = + 4 ) Dar el dominio y recorrido de cada una de las funciones cuadráticas del ejercicio. ) El rendimiento de nafta r en (km/litro) de un automóvil está relacionado con la velocidad v (en km/h) por la función rv ( ) = v + v ( 0 < v < 60 ) a) Hallar la velocidad para la cual el rendimiento es máimo y calcular dicho rendimiento. b) Para qué valores de v aumenta el rendimiento? Para cuáles disminuye? c) Graficar. 4) En una laguna se introdujeron 00 truchas. Al principio el cardumen empezó a crecer rápidamente, pero después de un tiempo, los recursos de la laguna 6

5 Seminario Universitario Matemática empezaron a escasear y la población decreció. Si el número de truchas N(t) a los t años está dado por Nt ( ) = t + t + 00 (t >0) Calcular cuántos años transcurrieron para que la población alcance su número máimo. Cuál es la máima población? Se etingue la población? Si es así, cuándo ocurre esto? 5) Escribir la forma polinómica de la ecuación de la parábola que se muestra en la figura, sabiendo que su coeficiente principal es igual a. 6) Describir sin graficarlas las características de cada una de las siguientes funciones tomando como referencia la parábola matriz: ( ) ( ) a) y = 5 + b) y = + + c) y = + d) y = e) y = + 7) Escribir las funciones que correspondan a las siguientes gráficas: a) de y = trasladada unidades a la izquierda y / unidad hacia abajo. b) de y = /4 desplazada unidades a la izquierda y unidad hacia arriba. c) de y = ( ) desplazada unidades a la izquierda. d) de y = / trasladada, unidades hacia abajo. e) de y = ( ) + 5/ desplazada 5 unidades a la izquierda. 8) Epresar en forma polinómica o canónica según corresponda las parábolas del punto anterior. 9) Determinar la ecuación del eje de simetría, las raíces y las coordenadas del vértice de cada una de las funciones del punto anterior, especificando si hay un máimo o un mínimo. 40) Dadas las raíces de ecuaciones de segundo grado con coeficiente principal unitario, reconstruirlas: a) = ; = b) = ; = c) = ; = 5 5 d) = ; = e) = 0,; = 4) Dada la parábola y = / ( + ) 4. Encontrar las ecuaciones de las siguientes parábolas: 6

6 a) la opuesta por el vértice. b) la simétrica respecto del eje. c) la simétrica respecto del eje y. Módulo 5 d) la simétrica respecto del origen de coordenadas. e) la simétrica respecto de la recta =. f ) la simétrica respecto de la recta y =. g) la simétrica respecto del punto (; ). h) Dibujar en una sola gráfica la parábola original y las obtenidas en los puntos (c), (e) y (g). 4) Se arroja verticalmente hacia arriba una pelota de tenis imprimiéndole una velocidad de 0 m/s. Su altura en metros, sobre el suelo, t segundos después de haber sido lanzada está dada por la función h(t) =, t 5 t (i) Desde qué altura fue lanzada? (ii) Indicar en qué instante alcanza la altura máima y calcular dicha altura. (iii) Para qué valores de t asciende y para cuáles desciende? (iv) Hallar el tiempo que demora en llegar al suelo. 4) Se dispara desde la superficie una bala de cañón que sigue una trayectoria parabólica con un alcance de 00 metros y una altura máima de 5 metros. Hallar la epresión cuadrática que define su trayectoria. 44) Resolver los siguientes sistemas mitos: + = = y 7 0 y 5 y = + a) b) c) y + = 0 y = 8 y = + 45) Dividir el número 4 en dos sumandos positivos tales que la razón de sus cuadrados sea igual a /4. 46) Dos automóviles circulan en el mismo sentido por la ruta 0. Cuando pasan por el puesto policial, se registran los siguientes datos: Auto A Velocidad : 0 km/h Auto B Velocidad : 80 km/h Aceleración: 40 km/h Aceleración: 0 km/h (i) Vuelven a encontrarse los automóviles? (ii) Si se encuentran, determinar en qué momento lo hacen y a qué distancia del puesto policial. 47) Resolver las siguientes ecuaciones: a 4 ) 0 = 8 0 b )6 = 8 ) + + = 4 9 c d) = e) + = f ) + = g) = h) = i) = 0 j) + = k) =

7 Seminario Universitario Matemática = = 6 l) m) n) = o) = p) = q) = ( ) 5 r) = 4 + s) + = + 48) Resolver las siguientes ecuaciones racionales: a) + = b) = : c) : + = d) = : , 5 e) = + f ) = + + ( ) g) = h) + = i) ( ) ( 4 ) = 0 j) = k) + = l) = ( ) 5 49) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales: a) ( ) = b) ( ) = 8 c) + 9 = 6 d) 0 = ( ) ( ) e) 7 = 7 f ) 5 = 8 g) = 5 h) + = i) + = 0 j) + = 7 k) = 0 l) + = + + m) + = 8 n) + 5 = + ñ) ( 4) + ( 4 + ) = 0 o) + ( 6 + ) = 80 ( 6 + ) p) 4 = q) = r) = 0 s) = t) = 9 u) = v) + = 6 w) = ( ) ( ) ( ) ( ) ) + = y) + 9 = 6 9 z) 4 5 = 0 65

8 Módulo 5 50) Graficar las siguientes funciones con un software, y dar sus características: a) y = b) y = c) y = d) y = e) y = d) y = ) Resolver las siguientes ecuaciones: + + a). = 0 b) = 0 c) 5. = 8 d) log log ( ) = 5) Resolver las siguientes ecuaciones eponenciales y logarítmicas: ( ) + = = = a) 6 b)log 5 c) log log 5) En cada una de las siguientes funciones determinar dominio, codominio, recorrido, ecuación de la asíntota, intersección con los ejes coordenados, y los conjuntos de: ceros, positividad, negatividad, crecimiento y decrecimiento: a) f ( ) = b) f ( ) = + 4 c) f ( ) = log ( ) d) f ( ) = log 4 54) Graficar las siguientes funciones y dar sus características: a) y = + b) y = c) y = log + d ) y = log 4 4 ( ) 55) El número Q de miligramos de una sustancia radiactiva que restan después 0,05t de t años está dado por: Q = 00e. a) Calcular cuántos miligramos hay después de 0 años. b) Después de cuántos años habrá 0 mg? Proporcionar la respuesta al año más cercano. 56) La población de una ciudad está dada por la ecuación: donde t es el número de años transcurridos desde 980. a) Cuántos habitantes tenía en 996? b) En qué año, su población será el triple que en 980? 0,0t Pt ( ) = e, 57) En un país, la inflación es del 8% anual. Cuánto costará dentro de 6 años, en ese país, un automóvil que hoy cuesta $.000? 58) Se llama devaluación a la pérdida de valor del dinero. Si en un país la devaluación es del 0% anual. Escribir la función que mide la devaluación D de una suma de dinero S en función del tiempo (medido en años). 59) Determinar el valor de k en la función f ( ) log ( k ) =, para que f () =. 66

9 Seminario Universitario Matemática SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS ) Los gráficos a cargo del alumno. a) m = ; b = b) m = -; b = - c) m = ; b = - d) m = -; b = 0 e) m = ½; b = f ) m = /; b = ) a) s(5) = 7 m, s(0) = m, s(5) = 77 m b) s ( t) = t + 4 c) s ( t) = 6t + ) a) f (5) = $.900 f (50) = $.650 f (.000) = $ b) Es necesario vender.999,40 tn. 4) I. y II. y 4 III. y 4 IV. y V. y VI. y 4 VII. y VIII. y IX. y 4 X. y a) La V) b) La VI) 5) A cargo del alumno. 6) a) y = + b) y = c) y = + d) y = = 5 b) y = y = y = ) a) y m ( ) 8) a) y = b) y = + 4 9) a) Sí b) No. 0) y = ) y = 8 +, o en general: y = 8 + b, b. ) a) = y y = b) y = y = c) y = + y = ) Paralelogramo. 4) Si, los puntos P, Q y R forman un triángulo rectángulo, pues un par de las rectas que incluyen a sus lados son perpendiculares entre sí. 7 5) y = + 6) a) Las rectas dadas nunca pueden ser paralelas (k es un número complejo). ± 7 b) k = 7) (i) + y + = 0 (ii) y + 6 = (iii) y = (iv) y = 6 5 8) (i) y = (ii) y = (iii) y = +, o en general: y = m + m 4 ; m 4 9) y = + 67

10 0) a) ( ) ; ; ; ; ; c) A cargo del alumno. Módulo 5 b) Triángulo rectángulo ) a) AB : y = BC : y = + 4 AC : y = b) recta abscisa al origen ordenada al origen AB 8 5 BC 4 AC c) y = + d) y = + e) y = ) a) y = + 6 y = y = b) y = 5 y = 5 y = c) ;0. ) a) S = {( ; )} b) S = {( ;8 )} c) ; 6 60 d) S = 60; e)compatible indeterminado f )incompatible 49 4) 4 y 6. 5) 5 bicicletas y 0 triciclos. 6) 4 personas solas y 4 parejas. 7) 4 y 56. 8) 7 0) ganó 8 y empató 4 9) ) a) ( 0;0 ) = 0 b) ( 0;0 ) = 0 c) ( ) = d) ( 0; ) = 0 e) g) ( ) 9 ; = 4 0; 0 f ) ; = 4 ; 9 = h) ; = i) = ; ) a) = = [0; + ) b) = = ( ; 0] c) = = [; + ) d) = = ( ; ] e) = = [ 9/4; + ) f ) = = ( ; /4] g) = = [ 9; + ) h) = = [ /; + ) i) = = ( ; ] ) a) v = 80 km/h; r = 6 km/litro. 68 b) Aumenta para: 0 < v < 80; y disminuye para: 80 < v < 60. c) A cargo del alumno.

11 4) a) 0 años y medio; 0 truchas b) a los 5 años. 5) y = ) A cargo del alumno. Seminario Universitario Matemática 7) a) y = + b) y = + + c) y = 4 5 d) y =, e) y = ( + 4) + ( ) ( ) ( ) 6 8) a) y = b) y = + + c) y = d) y =, e) y = ) a) V = ; mínimo en = raíces: ± b) V = ( ; ) mínimo en = raíces: { ± i} c) V = (; 0) mínimo en = raíces: {} d) V = (0;,) mínimo en = 0 raíces: { ± 4, 4} 5 e) V = 4; mínimo en = 4 raíces: { 4± 5i } 40) a) y = b) y = + c) y = d) y = 5 e) y = + 0,8 0, 4) a) y = ( + ) 4 b) y = ( + ) + 4 c) y = ( ) 4 d) y = ( ) + 4 e) y = ( 8) 4 f ) y = ( + ) + g) y = ( 8) + h) A cargo del alumno. 4) (i),05 m (ii) En el máimo: t M = seg, h M = 6,05 m (iii) Asciende durante el primer segundo, y desciende el siguiente, segundo. (iv) Llega al suelo a los, segundos. et ( ) = ) ( ) { } {( )} 44) ( ) ( ) a ) S = ;7 ; ; 8 b ) S = c ) S = ; 45) 8 y 6 46) (i) y A = 0 t 40 t, y B = 80 t ; (ii) t e = h, y e = 80 km 47) a) S = { } b) S = { 6 } c) S = d) S = e) S = ; f ) S = g) S = h) S = 5 { } { } { } { } { } { } { } { } i) S = ± j) S = ± k) S = ± i 4 l) S = 69

12 Módulo m) S = ± i n) S = 0; o) S = 0; p) S = 0; ± i q) S = r) S = ; s) S = { 6 ± } 5 as ) = 5 ; b) S= c) S= d) S= ;8 e) S= f ) S = g) S = 0 h) S =, + 5; 5 i) S = ; 4 9 j) S = k) S = ; l) S = { } 7 48) { } { } 49) Ecuaciones Irracionales: { } { } { } a) = b) = c) = 7 d) = 6 e) = 56 f ) = 79 g) = 7 (etraña = 4) h) = 5 (etraña = 8/) i) = 7 j) = k) = 4 (etraña = ) l ) = m) = 5 (etraña = 5) n) = (etraña = ) ñ) No tiene solución (etraña = 7) o) No tiene solución en. p) = 49 q) = 9 r) = 6/ s) = t) = u) = v) = ( 9 7 ) w) = y = 0 ) = 8 (etraña = 5) y) = 5 z) = 0 = /4 50) a) D = {0; } b) D = { } c) D = {0} d) D = {; 5} e) D = { }. d) D = { ; } 5) a) = b) = c) = 5 d) = 5 5) a) = b) = c) = ; = 00 5) a) = ; = (-;+ ); astt: y = ; corta al eje y en 5/; al eje en,5849. b) = ; = ( ; 4); astt: y = 4; corta al eje y en ; corta al eje en. c) = (; + ); = ; astt: = ; no corta al eje y; corta al eje en. d) = (0; + ); = ; astt: = 0; no corta al eje y; corta al eje en ½. 54) A cargo del alumno. 55) a) 70,47 mg b) 46 años 56) a) habitantes b) 4 años (en el 04) 57) $ ) Dt = S ( ) ( ) 0, 9 t 59) k = 4/ 70