Colegio Portocarrero Curso 0-0 CUADERNO DE VERANO MATEMÁTICAS º ESO ALUMNO: Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Antes de realizar el refuerzo, repasa los apuntes tomados en clase, pásalos a limpio y complétalos si es necesario Si terminas de hacer estos ejercicios, puedes rehacer todos los propuestos en nuestro espacio http://ingeniomatematicowordpresscom Define con tus propias palabras un sistema de numeración, y explica de que se compone Cuántos sistemas de numeración distintos podrías construir? Cuáles son las reglas más habituales de un sistema de numeración? Descríbelas brevemente Expresa los siguientes números, escritos en las bases que se indican, en base 0: i ii iii iv v vi vii viii = Expresa los siguientes números, escritos en base diez, en base : ix x xi xii xiii xiv xv xvi Cómo se escribirá el número 8 9 en base 8? 6 El número 9 puede estar escrito en base 9? en qué base puede estar escrito? Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 OPERACIONES COMBINADAS: En estas operaciones en caso que haya paréntesis o corchetes, deberás realizar primero las operaciones indicadas dentro de ellos Seguirás con las multiplicaciones y divisiones y, después, las sumas y las restas Calcula: : :9 0: 0: (6 ) + :7 (7 ) : (- 8) + : ( 8) + : [ (7 )] : + 60 6 + 0 [ (60 + 80) 7] : [(60 + ) : 7] + [(7 )] + (0 : 9) (60 : 8) + () [(7 ) :] + [(7 ) ] 00 [(0 8) (7 ) 000] (00 + ) [(8 0) (0 + 7) (7 9)] : Resuelve aplicando la propiedad distributiva: (8 + + ) 7 ( + ) 0(8 + + ) 9(7 + 8 + 0) (9 + + 7) Saca factor común y resuelve: 8 + 6 + 9 + 8 7 + + 9 7 + 7 + 7 7 0 + 90 + 0 0 Un NÚMERO es PRIMO si tiene como únicos divisores el y él mismo Un NÚMERO es COMPUESTO si admite más de dos divisores MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: Llamamos máximo común divisor ( m c d ) de dos o más números, al mayor de los divisores comunes de todos esos números Para su cálculo, descomponemos los números en factores primos y los expresamos como producto de factores, y a continuación tomamos sólo los factores comunes con su menor exponente Llamamos MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M C M) DE DOS O MÁS NÚMEROS, al menor de los múltiplos comunes de todos esos números Para cálculo, descomponemos los números en factores primos y los expresamos como producto de factores, y a continuación tomamos los factores comunes y los no comunes (que aparecen en todos los números) con su mayor exponente Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Halla el m c d De los siguientes números: 60 y 8 60, 8 y 00, 6 y 08 8, 6, 96 y Halla el m c m de los siguientes números: 60 y 60, y, 8, y y 9 Halla el m c d y m c m de los siguientes números: 0 y 0 0, 90, y 8 000, 0 y 00 78, 0 y 76 Dos FRACCIONES son EQUIVALENTES cuando expresan el mismo número Se comprueba si sus productos cruzados coinciden Averigua si son equivalentes las siguientes fracciones: Halla tres fracciones equivalentes a cada una de las siguientes: y 0 y 7 8 6 y 6 y 8 0 9 8 0 Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Para SIMPLIFICAR UNA FRACCIÓN, se divide su numerador y denominador por algún divisor común, o bien se divide numerador y denominador por el m c d de ambos, o bien se descomponen numerador y denominador en sus factores primos simplificando aquellos que sean comunes Simplifica todo lo que puedas las siguientes fracciones: 600 000 0 80 777 68 6 76 60 00 Para SUMAR (O RESTAR) FRACCIONES DE IGUAL DENOMINADOR se suma ( o restan) los numeradores y se deja el mismo denominador Para SUMAR ( O RESTAR) VARIAS FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR, se reducen a común denominador y luego se suman ( o restan) los numeradores 9 8 + 9-7 6 6 7 6 7 0 9 6 8 6 0 6 6 9 6 Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 COMPARACIÓN DE FRACCIONES Dos fracciones que tienen igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador De dos fracciones que tienen igual numerador, es mayor la que tiene menor denominador Cuando las fracciones tienen distinto denominador para hallar cuál es la fracción mayor, se reducen a común denominador y la que tenga mayor numerador es la mayor Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:,, 7 9, 6 6, 9,,,, 9 9 6,,, 7 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES Para multiplicar una fracción por un número entero, se multiplica el numerador por el entero y se mantiene el mismo denominador Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores por los numeradores y los denominadores por los denominadores Para dividir dos fracciones se multiplican la primera por la inversa de la segunda Realiza las siguientes operaciones simplificando los resultados: 6 : 0 : 7 0 : 7 : 0 6 7 7 8 7 8 8 7 87 9 7 6 : 6 0 : 60 77 88 : 8 7 Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Calcula: Los de 8 6 Los de metros Los de 00 litros Calcula, aplicando la propiedad distributiva: ( ) 7 6 6 7 ( ) Factor común Proceso: Expresa los sumandos en forma de producto Identifica el factor común Saca el factor común, dejando entre paréntesis el resto de los factores, sumando o restando Resuelve el paréntesis (agrupando positivos y negativos) Realiza el producto final Resuelve sacando factor común: a 7 + (-) (-) = b 9 (-7) 9 + 9 = c -60 + 8 = d + 7 = e 80 08 + 8 = f 6 96 + 80 = g -0 + + 8 = Saca factor común y resuelve: 7 8 7 7 8 8 7 7 8 6 7 9 7 8 Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Cuaderno de verano º ESO Para realizar OPERACIONES COMBINADAS CON FRACCIONES, debes respetar la jerarquía de las mismas: ª Paréntesis ª Potencias ª Productos y cocientes ª Sumas y restas Calcula el resultado de las siguientes operaciones: : 7 : 6 : 7 : 6 7 : 6 9 6 : 0 6 7 6 8 7 6 7 9 7 : 7
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Se llama VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO, al valor del número prescindiendo de su signo Para sumar dos números enteros de igual signo se suman sus valores absolutos y pone el signo que tienen Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del de mayor valor absoluto Para restar dos números enteros, sumamos al primero el opuesto del segundo Para realizar una suma algebraica (sumas y restas combinadas), transformamos las restas en sumas Ordenar de mayor a menor las siguientes números enteros: -, -, +6, +8, -7, 0, +, +9, -, + -6, +, -, -, +6, 0, + Realiza los siguientes ejercicios: (+) + (+7) (+) + (+) (-) + (-8) (-6) + (-8) (+) + (-7) (+6) + (-8) (-) + (-0) + (-) (-8) + (+6) + (-0) +(-0) + (+) (+) + (-60) + (-) + (+6) (-8) (-) (+) (+6) (+) (-8) (-) (+6) (-9) + (-) (-) + (+6) (+8) (-) (- ) (+6) + (-0) + (+) (+) + (-9) (+6) + (-) (-) + (-6) + (+9) (+) + (-9) + (+) (-7) + (+) + (-) (+) + (-) + (+) + (-) (-0) + (-) (-) + (+9) (+) (-8) (+6) (-0) + (-0) + (+) (+) (-60) + (-) (+6) (-8) (-9) + (-) (+6) (7-+-) + (-+-) (--+) (-+8-) + (6-7-9) (-++9) [(6-0) +(-)] [(7+-) (8- )] [- (--)] + [- + (-)] Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Para multiplicar y dividir números, se multiplican o dividen sus valores absolutos, siguiendo LAS REGLAS DE LOS SIGNOS: + + = + + : + = + + = - + : = + = : + = = + : ˉ = + (-) (+6) (+) (-) (-) (-) (+7) (+) (-)(+)(-)(+)(-)(+) (+)(-)(-)(-) (- + 8 )(-) (- + +)(-) (- +0 6)(7 9) (+ + )(+ ) (+7 + )( 9) + ( 6)(7 9) ( + )(7 9) (0 7) (-)(-) + (-)(+) (+)(-7) (+8)(-) (+)(-6) + (-)(-9) (-)((-) [(-6)](-) [(-)] [7(-)][(-)] {[(-)(-)]}[(-)] {[(-)((-9)}{(-6)[(-)]} (+7) : (+) (-7) : (-) (+7) : (-) (-7) : (+) (-) 6 7 Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 ( + 70 ) : 7 (0 + 7 ) : (66 8) : 6 0 0 6 P0TENCIAS Realiza los siguientes ejercicios: 0 7 - (-) (-8) 0 ( ) + 7 9 : 7 ( ) : 6 ( 6 ) 0-0 (-) (-) (- (-6) 8 : (-6) (-8) (-) + (-) + (-) 6 8 : (-6) + 7 : 7 (-6) 6 : (-6) [(-) (-) ] (-) (-) (-) (-) 0 (-7) 0 6 + (0) (-) [(-) ] : (-) 9 + - (-) (-) (-) Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 [(-) ] ( ) [(-) (-) ] : (-) 8 : 6 [(-0) ] 00 0 [9 (9 : 9 )(8 ) ] : [( ) ( 6 : ] [ ( ) ] : [ ( ) ] [6 (6 : 6 )(6 ) ] : [(6 7 :6 ) : 6 ] [(-) (-) (-)(-)(-) ] : (-) 6 [(-) (-) ] : {[(-8) (-8) 6 (-8) ] : [(-8) ] } Practica y resuelve los siguientes ejercicios Convierte a metros las siguientes unidades de longitud: a) 8 dam b),8 hm c),8 km d) cm e) 6700 mm Convierte las siguientes cantidades: a) 8 dm a dam b) cm a hm c) 00 m a km d), m a mm e) hm a dm f) 0,0 km a cm Convierte a kg las siguientes cantidades: a) 00g b) 0 hg c) 00mg d), T e), Qm f) T Convierte las siguientes cantidades: a) kg a dg b) 8 hg a g c), g a mg d) 80 cg a g e) 00 mg a g f) 000 mg a kg Convierte a litros las siguientes cantidades: a) dal b),7 hl c) 0,0 kl d) 0 cl e), dl f) 600 ml Con una tinaja de,6 hl de vino, cuántas botellas de un litro se pueden llenar? Si una botella tiene una capacidad de de litro, cuántos cl tiene? Con una tinaja de,6 hl de vino, cuantas botellas de de litro se pueden llenar? Convierte las siguientes cantidades a las unidades que se indican: a) m 6 dm cm a cm b) kg hg dag a g c) km hm a m d) kg hg 6 dag a hg Convierte a forma compleja las siguientes cantidades: a) m b) 00 cg c), g d) 6 l e),6 hm f) 00 dl Cuál es el perímetro de un decágono regular de 0 cm de lado? Cuaderno de verano º ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Si un octógono regular tiene un perímetro de 7 cm, cuánto mide cada lado? Cuántos cm hay en, m? Si una casa tiene una superficie de 00 m, cuántos mm son? Si el m construido de una casa cuesta 00, cuánto cuesta una casa de 0 m? Un campo de fútbol mide 9 m de largo y 70 de ancho, cuál es su superficie? Halla el área, en m, de un pentágono regular de 0 cm de lado y 6,88 de apotema Calcula el área de hexágono regular sabiendo que el lado mide cm, y su apotema,,cm La apotema de un hexágono regular se halla multiplicando la longitud del lado por 0,866 Cuál es su área? Calcula el área de un octógono regular de cm de lado y 6 cm de apotema Calcula el área y perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 8 y 90 mm, respectivamente Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 ÁLGEBRA Expresiones algebraicas: Es un conjunto de números y letras unidos por los signos de operaciones aritméticas Ejemplo: x + x 6 Valor numérico de una expresión algebraica- Es el valor que se obtiene al sustituir las letras por los números y operar Ejemplo: Halla el valor de x x, para x =, x = - = 8 = (-) (-) = - 8 = - 6 Cuando dos monomios tienen la misma parte literal, se llaman semejantes Los monomios semejantes se pueden sumar o restar Suma (o resta) de dos monomios semejantes- Se realizan sumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parte literal Ejemplo = 7x x + 8x = x Expresa en lenguaje algebraico las siguientes expresiones: * El cuádruplo de un número * El doble de un número menos tres * Un número aumentado en tres unidades * Un número disminuido en siete unidades * El triple de sumar uno a un número * La cuarta parte de un número * El doble de un número * El cubo de un número Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas: * 7 a * x y * x y * a b * (a b) x * * x y * (a + b) Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 8x = x b) + x = c) 7x 7 = x + d) x 0 = x +8 e) x + = x f) (x ) (x ) = (x + ) g) (x ) (x ) = h) (x ) = 6 i) x ( x) = 6 j) x (x ) = 7 (x 6) 7x x 7 k) 9 l) x = x 6 m) x x x x x n) x x p) 6 q) x x x 6 9 Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones: - La suma de dos números consecutivos es Cuáles son los números? - Dos amigos tienen 67 cromos entre los dos Si uno tiene el doble que el otro Cuántos cromos tienen cada uno? - El perímetro de un rectángulo es cm Sabemos que la base mide cm más que la altura Cuánto miden la base y la altura? - Descompón el número en dos sumandos tales que la tercera parte del primero más la quinta parte del segundo sea igual a 7 - En un partido de baloncesto un jugador anotó la mitad de los puntos de su equipo más Si anotó puntos Cuántos puntos anotó su equipo? 6- Javier tiene años más que su hermana Elena Hace seis años Javier tenía el doble de edad que entonces tenía Elena Calcula la edad actual de cada uno Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Resuelve los siguientes problemas por regla de tres: - Cuatro lápices cuestan,0 Cuánto cuestan seis lápices? Si tres hombres necesitan días para realizar un trabajo Cuánto tardarán 8 hombres en hacer el mismo trabajo? - Una fuente vierte en 8 minutos 0 litros de agua Cuánto verterá en una hora? - Una piscina se llena en horas empleando un grifo que arroja 80 litros de agua por minuto Cuánto tardaría en llenarse la piscina si el grifo arrojara 0 litros por minuto? - Miguel y su hermana Luisa compran, en una frutería, 8 kilos de manzanas por,6 Cuántos kilogramos pueden comprar con 6,7? 6- Un barco marcha a una velocidad de 0 km/h y tarda 9 días y horas en recorrer una distancia entre dos puertos Cuánto tardará otro barco en recorrer la misma distancia si va a una velocidad de 6 km/h? Halla el valor numérico de la siguientes expresiones algebraicas: a) x x + x -, para x =, x = -, x =, x = - b) 7(a b), para a = -, b = - c) (b c), para b = -, c = - d) x y, para x = -, y = Reduce las siguientes expresiones: a) 9x x + x x b) x x +8x + x + x c) 7b b d) z 8z + 9z e) 9xy xy f) x z + 9x z x z Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Calcula las dimensiones de un campo de fútbol, sabiendo que el largo es el doble del ancho y que el perímetro mide 9 metros Calcula dos números enteros consecutivos, cuya suma sea 7 Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad es igual a 9 En un triángulo isósceles cada uno de los lados iguales mide 6 metros más que el desigual Si el perímetro mide 6 metros, cuánto mide cada lado? Calcula tres números pares consecutivos cuya suma sea 6 Los tres ángulos de un triángulo son números enteros consecutivos cuánto mide cada uno? 7 Encuentra un número tal que el cuádruple de dicho número más veinte unidades sea igual a 68 8 De un depósito lleno de agua, se saca primero la mitad del agua que contiene, y después, un quinto del resto Si en el depósito quedan aún 600 litros, cuál es la capacidad del depósito? 9 La edad de un padre es cinco veces la del hijo Si dentro de dos años la edad del padre será cuatro veces la del hijo, cuál es la edad actual de cada uno? 0 Pablo tiene años y su madre Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el doble de la de Pablo? En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide la cuarta parte del valor de los ángulos iguales Calcula el valor de los tres ángulos La altura de un trapecio mide cm, y la base mayor es 6cm, más larga que la menor Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que el área del trapecio mide 6 cm Si al triple de un número se le suman unidades y el resultado se divide entre cuatro, da 9 Cuál es dicho número? Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Clasifica los siguientes triángulos según sus lados y ángulos 6 Define los siguientes conceptos: Mediana: Mediatriz: Altura: Bisectriz: Ortocentro: Incentro: Baricentro: Circuncentro: Teorema de Pitágoras: Cuaderno de Veranoº ESO
Completa la siguiente tabla: Colegio Portocarrero Curso 0-0 NOMBRE FIGURA DATOS PERÍMETRO ÁREA Triángulo Dependerá del tipo de triángulo () l Rectángulo d D l D = diagonal mayor d = diagonal menor l = lado p = l, pero para calcular el lado, tenemos que aplicar () (pentágono, hexágono,) A = p ap Romboide b a B r = radio Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 Lee y comprende la siguiente tabla -D: Nombre Dibujo Desarrollo Área Volumen Cubo o Hexaedro A = 6a V = 6a Paralelepípedo u ortoedro A = (ab+ac+bc) V = abc Prisma A T = A B + A L V = A B H Cilindro Pirámide A T = A B + A L Cono Tronco de pirámide A T = A B + A B + A L Tronco de cono esfera Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 La suma de los lados de un cuadrado es cm Cuánto mide su diagonal? (Aproxima el resultado hasta las décimas) El lado de un rombo mide, cm y una de sus diagonales mide cm Cuánto mide la otra diagonal? La base mayor de un trapecio isósceles mide 0, cm, la base menor 0 cm y la altura mide cm Cuánto mide cada uno de los lados no paralelos? Observa la figura Si a 0 cm, cuánto mide el lado b? Una escalera de metros de largo está apoyada en una pared vertical de forma que su pie se encuentra a un metro de distancia de la pared Qué altura alcanza el punto más alto de la escalera? 6 a) Los catetos de un triángulo rectángulo miden y 7 cm respectivamente, cuánto vale su hipotenusa? b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo vale cm y uno de sus catetos 0 cm, cuánto vale el otro cateto? 7 Calcula el área de rombo, sabiendo que su perímetro mide 0 cm y su diagonal mayor 6 cm 8 El ángulo A de un triángulo vale 0º y el B º 9, cuánto vale el ángulo C? b) Halla el número de lados de un polígono que tenga como suma de sus ángulos 60º 9 La base mayor y menor de un trapecio miden y 8 dm respectivamente Su altura dm y los lados oblicuos dm cada uno Averigua su área y perímetro 0 Calcula el área de un hexágono sabiendo que su lado mide 0 cm Cuánto vale su apotema? (Recuerda que un hexágono está formado por triángulos equiláteros) La longitud de una circunferencia es 0, cm Cuánto vale el área del círculo que encierra? En un jardín rectangular de 8 m de largo y 0,6 dam de ancho, hay colocada justo en el centro una fuente circular de m de diámetro Cuál es la superficie ajardinada? Un círculo tiene de radio cm, calcula su área y perímetro Un estanque de forma circular de m de radio tiene en su centro una isleta, también circular, de 7 m de radio Qué superficie está cubierta por el agua? La longitud de una circunferencia es de 8, 8 cm Cuánto vale el área del círculo que encierra? Cuaderno de Veranoº ESO
Colegio Portocarrero Curso 0-0 6 Calcula la superficie de un trapecio rectángulo de bases y 6 cm y altura cm 7 Calcula la superficie y longitud de un círculo de radio cm 8 Calcula la superficie del pentágono regular de cm de lado y 0,dm de apotema 9 Halla el área de un cuadrado de lado cm 0 Si un rectángulo tiene por base cm y altura 6 cm, calcula su superficie y perímetro Una sombrilla se construye con una tela circular de, m de diámetro Qué superficie de tela sobrará si recortamos la sombrilla de un cuadrado de, m de lado?, m Una vivienda de forma cuadrada tiene una superficie de 7 69 m Cuánto mide su lado? Halla el área y el volumen de un cubo sabiendo que su arista vale cm Halla el área de un prisma pentagonal sabiendo que el lado del pentágono vale 7 cm, su apotema cm y tiene una altura de 0cm Cuál es su volumen? Cuaderno de Veranoº ESO