Algunas inerpreaciones económicas del facor de inegración Hécor Lomelí y Beariz Rumbos ITAM Río Hondo #1 Tizapán, San Angel México DF 01000 24 de sepiembre de 2004 Resumen El facor de inegración se uiliza para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Describimos cómo puede usarse un modelo de inversión para moivar la solución de la ecuación lineal. Para ello inroducimos e inerpreamos varios concepos que se usan comúnmene en economía y finanzas. 1. Inroducción Un ema esudiado en la mayoría de cursos de ecuaciones diferenciales es el de cómo resolver una ecuación lineal de la forma ẋ = r()x + q(). (1) El méodo usualmene propueso consise en muliplicar por un facor de inegración de la forma ρ() =e R r(s)ds 0, de al modo que la ecuación se ransforma en d (ρ()x()) = ρ()q(). d 1
Desgraciadamene, en la mayoría de los exos 1 no se explica de dónde surge ese facor inegrane, fuera de una moivación puramene formal. Es cada vez más frecuene que alumnos de economía y ciencias afines esudien ecuaciones diferenciales. Exisen algunos libros que inenan explicar ecuaciones diferenciales desde el puno de visa de emas económicos (ver por ejemplo[sho97],[kle98]). El problema para el profesor de maemáicas es que, en muchos casos, desconoce los modelos económicos con los que puede moivarse el esudio de las ecuaciones. De nuesra experiencia en diversos cursos de licenciaura hemos enconrado que exise una gran variedad de modelos suficienemene simples para un nivel inroducorio. Nos proponemos en ese arículo describir uno de ellos, explicando cómo puede usarse un modelo de inversión para moivar la ecuación lineal. La ecuación lineal (1) iene una inerpreación naural relacionada con el valor de una inversión al iempo. Exisen versiones mucho más elaboradas del modelo que vamos a proponer que incorporan el facor inceridumbre. Esos modelos uilizan ecuaciones diferenciales esocásicas y remiimos al lecor a [?],[?],[?],[Se00] o [BR96] para mayor información. Recordemos que un bono es un conrao en el cual el emisor se compromee a realizar pagos fuuros al beneficiario o dueño del bono. Los pagos se realizan cuando ocurren cieros evenos o fechas, previamene especificados en el conrao. El érmino bono proviene del inglés bond. Susignificado como conrao daa del medievo, cuando se aseguraban los bienes de un individuo hasa que ése cumpliera con cieras condiciones, como el pago de impuesos. De manera similar, los individuos podían salir de la cárcel bajo un conrao que los obligara a aparecer en los ribunales para ser juzgados. Los bonos públicos aparecieron por primera vez en Florencia en el año de 1345 (ver [Hes89]) y son conraos emiidos por los gobiernos. La compra de un bono gubernamenal equivale a presar al gobierno, bajo cieras condiciones de pago, la canidad de dinero especificada en el bono. Hoy en día, disinas enidades públicas y privadas emien bonos para financiar sus acividades; en paricular, los gobiernos emien diversos bonos. (En México los más comunes son los Cees o Cerificados de la Tesorería.) 1 Enre los más usados enemos, por ejemplo [Bra90], [EP01], [NSS01] y [BDH99]. 2
Es al la imporancia de los bonos, que su valor es considerado como la variable fundamenal en finanzas. Para el lecor ineresado en el análisis básico de bonos recomendamos la obra clásica [Fab99]. 2. Definiciones y propiedades básicas Una propiedad que caraceriza a los bonos es que en odo momeno se conoce su valor final. Digamos que enemos un periodo de iempo [0,T] y al finaldeéseelbonovaleb T ; sin embargo, no necesariamene se conoce el valor del bono en insanes inermedios. A coninuación obendremos ese valor. En principio, el valor del bono al iempo, denoado por B(), depende del mercado, es decir, el inercambio de bonos enre los paricipanes en el mercado deermina el precio, B(), para odo [0,T]. Paraanalizarese precio, un concepo crucial es el de rendimieno o asa de inerés. Definición 2.1 Sea B() el precio de un bono al iempo. Elrendimieno del bono en el periodo de iempo [, s] se define como γ(, s) = 1 B(s) B() s B() donde <s, es decir, es el porcenaje de cambio en el valor del bono en el período [, s]. Elrendimieno insanáneo al iempo, r(), es el límie de los rendimienos cuando s + ;esoes, r() = lím γ(, s) s + 1 B(s) B() = lím s + B() s = 1 db() = Ḃ() B() d B(), en donde Ḃ = db d.lafunciónr() ambién es llamada asa insanánea, la cual represena la asa porcenual de cambio (insanáneo) en el valor del bono en el insane. 3
Noemos que B saisface la siguiene ecuación diferencial lineal: Ḃ() r()b() =0. Procedamos ahora a resolverla dada la condición final B(T )=B T. Reescribimos la ecuación como Ḃ() B() = r(). Inegramos enre T y y omamos el logarimo para obener ³ B() =B T e R r(s)ds ³ T = B T e R T r(s)ds. (2) Los límies de inegración se invieren pueso que <T ydeesaformael resulado queda expresado como el valor presene (en ) deb T. De ese modo, se ha demosrado que exise una función β() =e R T r(s)ds = e R T r(s)ds (3) al que el valor del bono al iempo es B() = β()b T. Noar que si la función r() es posiiva, enonces β() es una función creciene. La función β() es llamada el facor de descueno del bono con asa de descueno r(), y claramene iene que saisfacer β(t )=1.Elcasomássimplesepresena cuando r() r, donde r es una consane, ya que enonces se iene B() = B T e r(t ) y por lo ano el facor descueno es β() =e r(t ). La fórmula (2) permie varias inerpreaciones. En primer lugar, vemos que el valor del bono al iempo depende esencialmene de los rendimienos en el inervalo [, T ], es decir, el valor acual es el valor fuuro desconado mediane los rendimienos del periodo. Además, la relación enre el valor acual y el final es lineal. En oras palabras, si se duplica el precio B T, necesariamene se duplicará B(). Puede decirse que en ese caso la ecuación diferencial se resuelve hacia arás ya que se obiene el valor presene del bono a parir de un valor fuuro conocido. La ora posibilidad es resolver hacia adelane, es decir, el valor acual queda expresado en érminos de un valor conocido en el pasado, que normalmene es el valor inicial. Por oro lado, si enemos dos bonos, B 1 () y B 2 (), con asas r 1 () y r 2 () ales que r 1 () >r 2 () y mismo valor final B 1 (T )=B 2 (T )=B T, enonces 4
los precios de los bonos saisfacen B 1 () <B 2 () para odo <T. Eso puede verificarse de la siguiene manera: dado que r 1 () >r 2 (), se sabe que Z T Z T e R T r 1 (s) ds > y al muliplicar por B T nos queda es decir, B 1 () <B 2 (). Z T r 1 (s) ds < Z T r 1 (s) ds <e R T r 2 (s) ds, r 2 (s) ds, r 2 (s) ds, ³ B T e R ³ T r 1 (s) ds <B T e R T r 2 (s) ds, 3. Inerpreación de las ecuaciones lineales El modelo de la sección anerior puede mejorarse. Podríamos considerar, por ejemplo, que a lo largo del periodo de vida del bono se efecúan varios depósios o reiros. Sea Y () el valor de la inversión en bonos al iempo. Para simplificar los cálculos, escribiremos Y en érminos del valor de un bono fijo B(), Y () =Z()B(). (4) La variable Z() represena el número de bonos que se ienen en la inversión. AlacanidadZ() se la conoce, en ocasiones, como la posición yenprincipio puede ser posiiva o negaiva (una posición es negaiva cuando se debe dinero). Suponemos que el cambio en la canidad Z() esá dado por Ż() =δ(), (5) donde δ() es una función que represena la compra o vena de bonos. Nos proponemos ahora enconrar una ecuación que sea saisfecha por Y, para después proceder a resolverla. De las ecuaciones (4) y (5) obenemos Ẏ () =Z()Ḃ()+Ż()B() = r()z()b()+ δ()b(). 5
Nóese que la ecuación anerior dice que el cambio en el valor de una inversión proviene de dos fuenes: del cambio en el valor de un bono y del cambio en la posición. De ese modo, concluimos que el valor de la inversión puede modelarse con la siguiene ecuación: Ẏ () r()y () =δ()b(), (6) donde Y (T )=Y T. Nóese que la anerior es una ecuación diferencial lineal no auónoma y no homogénea que puede resolverse muliplicando por el facor de inegración ρ T () =e R T r(s)ds.deesaforma, (Ẏ () r()y R ())e T r(s)ds = d d (Y R ()e T r(s)ds )=δ()b()e R T r(s)ds. ³ Recordando que B() =B T e R T r(s)ds, la solución de (6) esá dada por µ Z YT Y () = + δ(s) ds B(). (7) B T T Ora manera de inerprear la ecuación (6) es en érminos de asas. Para ello, se dividen ambos lados por Y () y reescribiendo δ()b() como Ż Y () Z se iene Ẏ Y = r()+ż Z, (8) es decir, la asa de rendimieno de la inversión Y es igual a la asa de rendimieno r() de los bonos más la asa de depósios o reiros (compras Ż ovenas). Vale la pena mencionar que para el inversionisa en bonos, la Z asa r() esá dada por el mercado (es un parámero exógeno) y que sólo iene conrol sobre δ(), elcambioenlaposición. Una observación crucial es que el facor de inegración es precisamene el inverso muliplicaivo del facor de descueno (3). Puede suponerse, sin pérdida de generalidad, que B T =1;porloqueB() =β(). Deesemodo, el facor de descueno es un facor de inegración y cumple la relación ρ T () =β() 1. (9) Por lo ano, al muliplicar por el facor de inegración en realidad lo que se hace es obener una ecuación para la posición Z(); eso es Ż() = d d β() 1 Y () = δ(). (10) 6
Al inegrar se obiene la ecuación (7). 4. Facores de descueno generalizados La ecuación (10) puede verse de ora manera. Observemos que, de la ecuación (3), podemos considerar a β() como una función en dos variables y T. Además, si fijamos, laexpresiónβ() 1 Y () represena el valor fuuro (al iempo T ) de la inversión en bonos. La ecuación (10) dice, por lo ano, que si queremos que el valor de la inversión Y () esé fijo de anemano, enonces lo que debemos hacer es comprar o vender bonos hoy (en ) a manera de compensar los cambios en el valor fuuro de la inversión. Como hemos viso, el facor de descueno en realidad depende de dos variables. Definimos, por ende, el facor de descueno generalizado como η(, 0 )=e R 0 r(s)ds. La función η iene dos posibles inerpreaciones: la primera, si < 0, como el facor de descueno al iempo de un bono con plazo 0 y la segunda, si > 0, como el valor fuuro, en, de una inversión que al iempo 0 vale 1. En los mercados financieros exisen, de hecho, insrumenos que reproducen ese facor de descueno que dependen de dos iempos. Esos son los llamados conraos forward y se remie al lecor ineresado a [BR96] o [Fab99] para mayor información acerca de ese ipo de insrumeno. Queremos insisir en que bajo el facor de descueno generalizado saisface la siguiene ecuación η(, 00 )=η(, 0 ) η( 0, 00 ). (11) La ecuación (11) es conocida como la esrucura a plazos del mercado de bonos. Se invia al lecor a pensar en por qué debe ser ciera de forma inuiiva. Nóese que odo facor de inegración es necesariamene de la forma ρ() =Aη( 0,), donde A y 0 son consanes. En paricular, bajo esa perspeciva, la ecuación (9) se explica de la siguiene manera ρ T () =β() 1 = η(, T ) 1 = η(0,t) 1 η(0,). 7
Con esa inerpreación del facor de inegración, la solución de la ecuación lineal (1) puede inerprearse como sigue: primero se muliplica por un facor de descueno η( 0,) para que odos los érminos de la ecuación queden expresados en unidades de un iempo fijo 0 y segundo, inegramos en el periodo de iempo de inerés para el problema. Nóese que esa inegración iene senido ya que odos los érminos esán medidos en las mismas unidades (digamos pesos del año 0 ) y son comparables. 5. Horizones infinios y burbujas especulaivas Supongamos ahora que una inversión no iene iempo final. Sea Y () el valor de una inversión con dividendos X() en cada periodo y sea r() la asa de una inversión alernaiva, siempre disponible, por ejemplo la inversión en algún bono gubernamenal fijo. En ausencia de cosos de ransacción, si la inversión y el bono coexisen en odo momeno ambos deben ofrecer ganancias (o pérdidas) idénicas, es decir, debe cumplirse r()y () =X()+Ẏ (). (12) Esa ecuación dice lo siguiene: en cada insane de iempo es equivalene inverir la canidad Y en bonos, obeniendo ry, o bien conservar la inversión obeniendo dividendos X más el cambio en el valor de la inversión Ẏ (o ganancias de capial). Pensemos, por ejemplo, que Y es el valor de una casa que se rena en una canidad X. En cada momeno, la rena del inmueble más el cambio en el valor del mismo, debe ser igual a comprar bonos con un rendimieno r por una canidad igual a la que se obendría con la vena del inmueble.siuviésemosquery < X +Ẏ,enonces los bonos no exisirían ya que la inversión en el inmueble ofrece mayores rendimienos. Análogamene si ry > X + Ẏ, nadie (al menos nadie racional ) compraría el inmueble con fines de inversión pues la inversión en bonos es superior. Decimos que la inversión es a perpeuidad, si se maniene (o se espera manener) durane un horizone de iempo infinio. La ecuación (12) es, una vez más, una ecuación diferencial lineal de primer orden. Conocemos la rayecoria de los dividendos X() (o al menos creemos 8
conocerla) y la asa r(); sin embargo, dado que la inversión es a perpeuidad, no enemos a mano ningún valor final para ésa. Para resolver la ecuación (12) muliplicamos por el facor de inegración ρ(s) =e R s 0 r(τ)dτ = η(0,s) para obener d (Y (s)ρ(s)) = X(s)ρ(s). ds Inegrando en el inervalo [, ), enemos Y ()ρ() lím s ρ(s)y (s) = Z X(s)ρ(s)ds. De esa úlima expresión concluimos que el valor de la inversión (en caso de esar definido) en es Y ()ρ() = lím s ρ(s)y (s)+ Z X(s)ρ(s)ds. (13) Noemos que Y ()ρ() es igual al valor de la inversión en, desconado al iempo inicial =0. En paricular, el valor inicial de la inversión es Y (0) = lím s ρ(s)y (s)+ Z 0 X(s)ρ(s)ds. Observemos que el érmino R 0 X(s)ρ(s)ds represena el valor presene de odos los dividendos acumulados, conocido como el valor fundamenal de la inversión. El facor de descueno coincide con el facor de inegración ρ(s) de manera que la asa de descueno es r(). Elérmino lím ρ(s)y (s) es conocido s como burbuja especulaiva. Si lím ρ(s)y (s) 6= 0, el valor de la inversión s hoy (en =0) puede ser mayor o menor que el valor presene de los dividendos acumulados. Por ejemplo, la inversión podría ener un valor posiivo Y (0) > 0 a pesar de ener dividendos nulos para odo. Ese fenómeno esaría ocasionado por una burbuja especulaiva mediane la cual esperamos que el precio de la inversión aumene en el fuuro. Las burbujas especulaivas suelen exisir para inversiones cuya pare fundamenal es difícil de deerminar, por ejemplo inversiones en compañías novedosas (un caso reciene es el de las llamadas compañías docom), en mercados emergenes, en obras de are, ec. La condición usual Y (0) = Z 0 9 X(s)ρ(s)ds
no admie burbujas especulaivas; no obsane, para que el valor inicial de la inversión esé definido, la inegral impropia que represena el valor presene de los dividendos acumulados debe converger. Si al es el caso, enonces se cumple Y () = = Z Z X(s)ρ(s)ρ() 1 ds X(s)η(, s)ds Eso es, si no exisen burbujas especulaivas, no las habrá para ningún iempo y además, la inversión en cada insane será el valor desconado de odos los dividendos acumulados. Un requerimieno común para que eso se saisfaga es el asumir que la asa es fija y que X() <M para algún M>0, es decir, que la función de dividendos esé acoada. Esa condición es basane naural ya que difícilmene podemos imaginar que no exisa una coa para los dividendos. El procedimieno uilizado para deerminar el valor inicial de la inversión puede describirse como sigue: la ecuación (12) represena la igualdad de dos flujos alernaivos de inversión para odo. Como primer paso desconamos esos flujos al iempo inicial =0uilizando el facor de descueno η(0,s). Así, odos los flujos esán medidos en las mismas unidades, digamos pesos del año 0. Segundo, consideramos odo el acervo de inversión acumulado a perpeuidad a parir del iempo, es decir, inegramos en el inervalo [, ). Finalmene, obenemos la ecuación (13) que nos dice que el valor de la inversión en (expresado en pesos del año 0) es igual a una burbuja especulaiva más el valor presene de los rendimienos acumulados. 6. Conclusión El esudio de las ecuaciones diferenciales iene su origen en fenómenos físicos. La mayor pare de los exos sobre el ema ofrece, apare de las jusificaciones formales de los méodos de solución, algún ejemplo físico que ilusra el méodo de forma inuiiva. Así, por ejemplo, cada vez que pensamos en una ecuación lineal de segundo orden con raíces complejas, visualizamos el clásico oscilador armónico. 10
Hoy en día, los méodos dinámicos han rascendido a las ciencias exacas y se han converido en una herramiena indispensable denro de algunas ciencias sociales, siendo la economía la principal usuaria. Sin embargo, salvo conadas excepciones, los exos de ecuaciones diferenciales no han incorporado los ejemplos económicos como auxiliares en la jusificación de algunos concepos formales. Esa noa preende ser un avance en esa dirección y es sólo una muesra de algunos ejemplos sencillos. Creemos que los exos fuuros deben incluir ese ipo de ilusraciones con mayor frecuencia ya que el mundo económico es an real e imporane como el mundo físico. Referencias [BDH99] P. Blanchard, R. Devaney, and G. Hall, Ecuaciones diferenciales, Thomson, 1999. [BR96] [Bra90] [EP01] [Fab99] [Hes89] [Kle98] [NSS01] M. Baxer and A. Rennie, Financial calculus, Cambridge Universiy Press, 1996. M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, GrupoEd. Iberoamérica, 1990. C. Edwards and D. Penney, Ecuaciones diferenciales 2/e, Pearson, 2001. Frank J. Fabozzi, Bond markes: Analysis and sraegies, 4ed., Prenice Hall, 1999. Donald D. Heser, Bonds, Money (J. Eawell, M. Milgae, and P.Ñewman, eds.), W. W. Noron and Co., New York, NY, 1989, pp. 56 59. M. Klein, Mahemaical mehods for economics, Addison-Wesley, 1998. K.Ñagle, E. Saff, and A. Snider, Ecuaciones diferenciales, Pearson, 2001. [Sho97] R. Shone, Economic dynamics, Cambridge Universiy Press, 1997. 11
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