Gráficos X-Bar y S Resumen El procedimiento Gráficos X-Bar y S crea gráficos de control para una simple variable numérica cuando los datos han sido recabados en subgrupos. Crea un Gráfico X-bar para monitorear las medias subgrupales y un Gráfico S para monitorear las desviaciones estándar subgrupales. Las señales fuera-de-control son iluminadas incluyendo los puntos que se encuentran más allá de los límites de control y cualquier racha inusual en los datos. Los Gráficos pueden ser construidos ya sea en el modo Estudio Inicial (Fase ), donde los datos actuales determinan los límites de control, o en el modo Control a Estándar (Fase 2), donde los límites provienen de un estándar conocido o de datos previos. El resultado y las opciones disponibles en el procedimiento Gráficos S y X-bar son similares a aquellos del procedimiento Gráficos X-bar y R. Este documento señalará solamente las diferencias entre los dos procedimientos. Para una discusión detallada de las opciones comunes refiérase a la documentación para Gráficos X-Bar y R. StatFolio de Muestra: xbarschart.sgp Datos de la Muestra: El archivo pistonrings.sf3 contiene las mediciones hechas sobre el diámetro de los anillos de los pistones de los motores de automóviles tomados de Montgomery (2005). Los datos consisten en m = 25 muestras de 5 anillos cada una. La tabla de abao muestra una lista parcial de los datos en ese archivo: Sample X X2 X3 X4 X5 74.030 74.002 74.09 73.992 74.008 2 73.995 73.992 74.00 74.0 74.004 3 73.988 74.024 74.02 74.005 74.002 4 74.002 73.996 73.993 74.05 74.009 5 73.992 74.007 74.05 73.989 74.04 6 74.009 73.994 73.997 73.985 73.993 7 73.995 74.006 73.994 74.000 74.005 8 73.985 74.003 73.993 74.05 73.988 9 74.008 73.995 74.009 74.005 74.004 0 73.998 74.000 73.99 74.007 73.995 73.994 73.998 73.994 73.995 73.990 2 74.004 74.000 74.007 74.000 73.996 STATGRAPHICS se refiere a cada fila del archivo como un subgrupo. El tamaño del subgrupo es n = 5. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S -
Captura de Datos En la captura de datos para este procedimiento el usuario puede introducir:. las mediciones originales 2. las medias de los subgrupos y las desviaciones estándar. STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Caso #: Introduciendo las Mediciones Originales En este caso, los datos que serán analizados consisten en las mediciones originales tomadas de una simple variable. Observaciones: una o más columnas numéricas. Si se introduce más de una columna, cada fila del archivo se asume que representa un subgrupo con tamaño de subgrupo n igual al número de columnas introducidas. Si solamente una columna es introducida, entonces los Números Subgrupales o el campo Tamaño es usado para formar los grupos. Número o Tamaño de Subgrupos: Si cada conunto de n filas representa un grupo, introduzca el único valor n. Por eemplo, introducir 5 implica que los datos en las filas -5 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 2
forman el primer grupo, las filas 6-0 forman el segundo grupo y de esa manera continua. Si los tamaños subgrupales no son iguales introduzca el nombre de una columna numérica o no numérica adicional que contenga identificadores de grupo. El programa examinará esta columna y colocará filas secuenciales con idénticos códigos dentro del mismo grupo. Etiquetas de Subgrupos: etiquetas opcionales para cada subgrupo. Las etiquetas serán aplicadas en secuencia a los subgrupos cuando se grafiquen los gráficos de control. Selección: selección del subconunto. Caso #2: Introduciendo Estadísticos de Subgrupo En este caso, los estadísticos para cada subgrupo han sido calculados en algún lugar e introducidos dentro de la hoa de base de datos como se muestra en la tabla de abao: Sample Mean Sigma Size 74.002 0.04776 5 2 74.0006 0.00750333 5 3 74.008 0.047479 5 4 74.003 0.00908295 5 5 74.0034 0.02288 5 6 73.9956 0.00870632 5 7 74 0.00552268 5 8 73.9968 0.022556 5 9 74.0042 0.00554076 5 0 73.998 0.0062849 5 73.9942 0.00286356 5 2 74.004 0.00429 5 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 3
Estadísticos por Subgrupo: los nombres de la columna que contiene las medias subgrupales y las desviaciones estándar de los subgrupos. Números o Tamaño de Subgrupos: Si todos los subgrupos contienen el mismo número de observaciones, introduzca el único valor n. De otra manera, introduzca el nombre de una columna numérica que contenga los tamaños de los subgrupos. Etiquetas de Subgrupos: etiquetas opcionales para cada subgrupo. Selección: selección del subconunto. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 4
Gráfico X-bar Este Gráfico grafica las medias de los subgrupos x. Gráfico X-bar para X-X5 74.02 74.0 LSC = 74.0 CTR = 74.00 LIC = 73.99 X-bar 74 73.99 73.98 0 5 0 5 20 25 Subgrupo En el modo Fase (Estudios Iniciales), la línea central y los límites de control son determinados a partir de los datos. La línea central está localizada en el promedio cargado de las medias de los subgrupos. x m = = m n = n x () Los límites de control son colocados arriba y abao de la línea central en: σˆ x ± k (2) n donde k es el múltiplo de sigma especificado en la tabulación Gráficos de Control del cuadro de diálogo Preferencias (k = 3 excepto en casos raros), σˆ es la estimación de la sigma del proceso y n es el tamaño subgrupal. Si los tamaños de los subgrupos no son iguales entonces dependiendo de las Opciones de Análisis si n es reemplazado por: () n, el tamaño subgrupal promedio. En este caso, los límites de control son los mismos para todos los subgrupos. (2) n, los tamaños de los subgrupos individuales. En este caso, los límites de control son funciones peldaño. El método para estimar la sigma del proceso también depende de las especificaciones en la tabulación Gráficos de control del cuadro de diálogo Preferencias como se discute en la sección Resumen del Análisis de abao. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 5
Cualquier punto más allá de los límites de control será señalado usando un símbolo de punto especial. Cualquier punto excluido del análisis, usualmente con darle clic en el punto sobre el Gráfico y presionando el botón Excluir/Incluir, será indicado por una X. Si es indicado en el cuadro de diálogo Opciones de Cuadro, secuencias inusuales de puntos pueden ser también señaladas. En el Gráfico actual no hay puntos inusuales o señales de fuera-de-control indicadas. Opciones de Cuadro Límites Externos de Advertencia: verificar este Gráfico para añadir límites de aviso en el múltiplo de sigma especificado, usualmente sigma 2. Límites Internos de Advertencia: verificar este Gráfico para añadir límites de aviso en el múltiplo de sigma especificado, usualmente sigma. Promedio Móvil: verificar este Gráfico para añadir un promedio móvil suavizador al Gráfico. En adición a las medias de los subgrupos, el promedio de las más recientes puntos q será también mostrado, donde q es el orden del promedio móvil. El valor predeterminado es q = 9 dado que los límites de aviso interno sigma para las medias de los subgrupos originales son equivalentes a los límites de control sigma 3 para aquel orden de promedio móvil. Promedio Móvil Exponencialmente Ponderado: verificar este Gráfico para añadir un suavizador EWMA al Gráfico. En adición a las medias de los subgrupos un promedio móvil cargado exponencialmente de las medias de los subgrupos será también mostrado, donde λ es el parámetro de suavizamiento del EWMA. El valor predeterminado es λ = 0.2 desde que los límites de aviso sigma para las medias subgrupales originales son equivalentes a los límites de control sigma 3 para ese EWMA. Cifras Decimales para Límites: el número de lugares decimales usados para mostrar los límites de control. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 6
Marcar Violaciones a Reglas de Secuencias: señala con un símbolo de punto especial cualquier secuencia o racha inusual. Las reglas de las corridas aplicadas de manera predeterminada son especificadas en la tabulación Pruebas de Corridas del cuadro de diálogo Preferencias. Zonas de Color: verificar este Gráfico para mostrar zonas verdes, amarillas y roas. Gráfico S Este Gráfico grafica las desviaciones estándar de los subgrupos s. Gráfico S para X-X5 0.02 0.06 LSC = 0.02 CTR = 0.0 LIC = 0.00 0.02 S 0.008 0.004 0 0 5 0 5 20 25 Subgrupo En el modo Fase (Estudios Iniciales), la línea central y los límites de control son determinados a partir de los datos. La línea central está localizada en: CL = σˆ (3) Los límites de control son localizados arriba y debao de la línea central en los siguientes lugares: kσ CL ± c ( n) ˆ 2 c4 4 ( n) (4) donde k es el múltiplo de sigma especificado en la tabulación Gráficos de Control del cuadro de diálogo Preferencias (k = 3 excepto en casos raros), σˆ es la estimación de la sigma del proceso y n es el tamaño subgrupal. Si los tamaños subgrupales no son iguales, Opciones de Análisis especifica si se usa el tamaño subgrupal promedio o los tamaños subgrupales individuales. El Gráfico S para los datos de la muestra no muestra señales inusuales. Opciones de Cuadro Las mismas opciones existen para el Gráfico X-bar. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 7
Reportes de los Subgrupos Este cuadro tabula los valores graficados en los gráficos de control: Reporte de Subgrupos Todos los Subgrupos X = Excluida * = Fuera de Límites Subgrupo Tamaño X-bar S 5 74.002 0.04776 2 5 74.0006 0.00750333 3 5 74.008 0.047479 4 5 74.003 0.00908295 5 5 74.0034 0.02288 6 5 73.9956 0.00870632 7 5 74.0 0.00552268 8 5 73.9968 0.022556 9 5 74.0042 0.00554076 0 5 73.998 0.0062849 5 73.9942 0.00286356 2 5 74.004 0.00429 3 5 73.9984 0.004547 4 5 73.9902 0.053036 5 5 74.006 0.0073437 6 5 73.9966 0.00779744 7 5 74.0008 0.005688 8 5 74.0074 0.0069857 9 5 73.9982 0.00846759 20 5 74.0092 0.0079823 2 5 73.9998 0.02532 22 5 74.006 0.0074364 23 5 74.0024 0.0929 24 5 74.0052 0.00870057 25 5 73.9982 0.0677 Los puntos fuera-de-control están indicados por un asterisco. Los puntos excluidos de los cálculos están indicados por una X. Opciones de Cuadro Mostrar: especifica los subgrupos para mostrar en el reporte. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 8
Resumen del Análisis El Resumen del Análisis resume los datos y los gráficos de control. Gráficos X-bar y S - X-X5 Número de subgrupos = 25 Tamaño de subgrupo = 5.0 0 subgrupos excluidos Distribución: Normal Transformación: ninguna Carta X-bar Período #-25 LSC: +3.0 sigma 74.038 Línea Central 74.002 LIC: -3.0 sigma 73.9886 0 fuera de límites Carta S Período #-25 LSC: +3.0 sigma 0.096366 Línea Central 0.00939948 LIC: -3.0 sigma 0.0 0 fuera de límites Estimados Período #-25 Media de proceso 74.002 Sigma de proceso 0.00939948 s promedio 0.00939948 Sigma estimada a partir de la s promedio Se encuentran incluidos en la tabla: Información Subgrupal: el número de los subgrupos m y el tamaño subgrupal promedio m n = n = m (5) Si algún subgrupo ha sido excluido de los cálculos, ese número es también mostrado. Distribución: la distribución asumida para los datos. De manera predeterminada, se asume que los datos siguen una distribución normal. Sin embargo, alguna de las otras 26 distribuciones pueden ser seleccionada usando Opciones de Análisis. Transformación: cualquier transformación que ha sido aplicada a los datos. Usando Opciones de Análisis, el usuario puede elegir transformar los datos usando ya sea una transformación común tal como una raíz cuadrada u optimizar la transformación usando el método de Box-Cox. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 9
Gráfico X-bar: un resumen de la línea central y los límites de control para el Gráfico x- bar, el cual grafica las medias de los subgrupos x. Usando Opciones de Análisis, límites separados pueden ser calculados para diferentes periodos (conuntos de subgrupos). Gráfico S: un resumen de la línea central y de los límites de control para el Gráfico S, el cual grafica las desviaciones estándar de los subgrupos s. Estimaciones: estimaciones de la media del proceso μ y la desviación estándar del proceso σ. La media del proceso es estimada a partir del promedio cargado de las medias subgrupales: μˆ = x (6) La sigma del proceso puede ser estimada en alguna de las 4 maneras, dependiendo de las especificaciones establecidas en la tabulación Gráficos de control del cuadro de diálogo Preferencias, accesible desde el menú Edición. Existen 3 opciones: () Del promedio s con corrección no sesgada: la sigma del proceso es estimada del promedio cargado de las desviaciones estándar subgrupales. (2) Del promedio s con correción sesgada: la sigma del proceso es estimada del promedio cargado de las desviaciones estándar subgrupales y después multiplicada por un factor que hace que el resultado sea una estimación insesgada de σ. (3) Del conunto s con corrección no sesgada: la sigma del proceso es estimada del conunto dentro de la varianza del grupo, como en el ANOVA de una vía. En este caso, s 2 es una estimación insesgada de σ 2 pero s es un estimador sesgado para σ. (4) Del conunto s con corrreción sesgada: la sigma del proceso es estimada del conunto dentro de la varianza del grupo y después multiplicada por un factor que convierte el resultado en una estimación insesgada de σ. Promedio s: el promedio de las desviaciones estándar de los subgrupos: m s = s = (7) m 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 0
Opciones de Análisis Tipo de Estudio: determina como los límites de control son establecidos. Para un Gráfico Estudio Inicial (Fase ), los límites son estimados a partir de los datos actuales. Para el Gráfico Control a Estándar (Fase 2), los límites de control están determinados a partir de la información de la sección Control a Estándar del cuadro de diálogo. Normalizar: si es seleccionado todos los estadísticos serán normalizados al calcular los valores Z y los valores Z graficados en los Gráficos. La línea central en ese Gráfico está siempre localizada en 0 y los límites de control están siempre localizados en ± k. Tamaño Promedio de Subgrupo: si es verificado los límites de control serán líneas horizontales basadas en el tamaño subgrupal promedio. Si no es verificado, los tamaños subgrupales individuales serán usados, resultando en límites de control de funciones peldaño si los tamaños subgrupales no son todos iguales. Usar Formato de Zona: si es verificado, los estadísticos serán graficados usando un Gráfico de zona en vez del formato usual. Ver el eemplo de abao. Recalcular en: los límites de control del Gráfico pueden ser recalculados hasta en 4 lugares a lo largo del ee X especificando los números subgrupales en los cuales nuevas estimaciones serán iniciadas. Estimaciones separadas de la media y la sigma del proceso se obtendrán usando los datos en secciones diferentes. En tales casos, los límites de control serán austados al inicio de cada nuevo periodo. Límites de Control para X-bar: especifica el múltiplo k para usar en la determinación de los límites de control superior e inferior en el Gráfico X-bar. Para eliminar un límite completamente introduzca 0. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S -
Límites de Control para Sigma: especifica el múltiplo k para usar en la determinación de los límites de control superior e inferior en el Gráfico S. Para eliminar un límite completamente, introduzca 0. Control a Estándar: para realizar un análisis Fase 2 seleccione Control a Estándar para el Tipo de Estudio y después introduzca alguno de los siguientes: Especificar Parámetros: específica la media y la sigma del proceso estándar establecido (o los otros parámetros si no se asume una distribución normal). Esos valores serán usados para colocar las líneas centrales y los límites de control en los Gráficos. Especificar Límites de Control: especifica la localización de las líneas centrales y los límites de control exactamente donde el usuario desea que sean colocados. Botón de Excluir: Use este botón para excluir subgrupos específicos de los cálculos. Botón de Transformación: Use este botón para especificar una transformación o una distribución no normal. Eemplo: Tamaños de Subgrupos Desiguales Montgomery (2005) ilustra el impacto de tamaños subgrupales desiguales al eliminar algunas de las observaciones del archivo de los anillos de pistones. Lo que queda son 7 grupos con n = 5 observaciones cada una, 4 grupos con n= 4 observaciones y 4 grupos con 3 observaciones. En tal caso, Opciones de Análisis proporciona la elección de modificar las fórmulas de límites de control usando ya sea el tamaño subgrupal promedio n = 4.52 o usando los tamaños subgrupales individuales. Los Gráficos de abao usan los tamaños individuales: Carta X-barra para X-X5 74.02 74.0 CTR = 74.00 LSC = 74.04 LIC = 73.988 X-barra 74 73.99 73.98 0 5 0 5 20 25 Subgrupo 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 2
(X 0.00) 25 20 5 Carta S para X-X5 LSC = 0.020 CTR = 0.00 LIC = 0.000 S 0 5 0 0 5 0 5 20 25 Subgrupo Note cómo aparece la función peldaño en los límites de control. Desde que los estadísticos muestrales de subgrupos más pequeños tienen una variabilidad inherente mayor, se debe permitir que se desvíen más allá de la línea central antes de que una señal fuera-de-control sea generada. Guardar Resultados Los siguientes resultados pueden ser guardados en la hoa de base de datos:. Medias las medias subgrupales. 2. Sigmas las desviaciones estándar de los subgrupos 3. Tamaños los tamaños subgrupales 4. Etiquetas las etiquetas subgrupales. 5. Media de Proceso la media del proceso estimada. 6. Sigma de Proceso la desviación estándar del proceso estimada. 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 3
Cálculos STATGRAPHICS Rev. 4/25/2007 Estimación de la Sigma del Proceso () Del promedio s con corrección no sesgada: k n s = ˆ σ = (8) k n = (2) Del promedio s con corrección sesgada donde k f s = ( ) c4 n ˆ σ = (9) k h = 2 4 h 2 c4 ( n ) ( n ) c = (0) (3) Del conunto s con corrección no sesgada: = = k k ( n ) 2 s ˆ σ () ( n ) = (4) Del conunto s con corrección sesgada: donde k ( n ) s ˆ σ (2) 2 = = m c4 ( d) ( n ) = k ( n ) d = + (3) = 2006 por StatPoint, Inc. Gráficos X-Bar y S - 4