MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 Funciones y ecuaciones eponenciales y arítmicas por Oliverio Ramírez Juárez Las funciones eponenciales sirven de apoyo en distintos campos del conocimiento como: bioía, química o ingeniería en las que ayudan a analizar y resolver problemas de crecimiento (o decrecimiento) de distinta índole, algunos ejemplos de aplicación son: poblaciones de bacterias, desintegración de materiales radiactivas. magina que cierta población de bacterias duplica su población cada minuto, si la población inicial es de 1 bacteria cuál será la población de bacterias en, y 4 minutos? El diagrama del árbol muestra el crecimiento de esta población. t La epresión matemática que representa este tipo de relación es ( t), en donde es la población de bacterias, t es el tiempo dado en minutos y que implica el hecho de que se duplique la población por cada minuto que pasa. Con esta epresión matemática es posible predecir la población de bacterias en 10 minutos, esto es, (10) 10 104 bacterias. 1
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 Stewart (007, p. 8) menciona que una función eponencial está definida para todos los números f a reales por: ( ) en donde: a > 0 y a 1 De la propia definición se observa que el dominio de una función eponencial son todos los números reales. Otro punto importante es que las leyes de los eponentes también rigen a las funciones eponenciales. Con ayuda de un software especializado en trazar gráficas, puedes dibujar la gráfica de distintas funciones eponenciales, la siguiente figura muestra ejemplos de algunas gráficas. Figura 1. Grafica de Funciones y ecuaciones eponenciales y arítmicas. Observa el comportamiento de las gráficas para valores de a > 1 y para valores de a < 1. or qué el valor de a debe ser distinto de 1?, por qué no está permitido un valor negativo? Con ayuda de un software especializado en trazar gráficas, analiza la gráfica de las siguientes ± k funciones: f ( ), f ( ) ± k en donde k es un número real. De acuerdo con Swokowski & Cole (001, p. 15), una función eponencial es biunívoca, si para todo su dominio cumple con las siguientes propiedades:
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 1 1, entonces a a. 1, entonces a a. 1. Si. Si 1 La propiedad anterior implica que si 5 4 +, entonces 5 + 4, por lo que. Resuelve la ecuación 4 4 + 5 + Solución. Debido a que las bases de las dos funciones eponenciales son distintas, es necesario cambiarlas a una base común, esto se consigue considerando que 4, es decir: 4+ ( ) + 5 m mn Y aplicando la ley de los eponentes ( ) n a a al lado derecho de esta ecuación queda: 4 + 10 + Ahora que las bases de ambas funciones son iguales, y tomando en cuenta que son biunívocas, tienes: 4 + + 10 4 10 8 4 ara comprobar este resultado, con ayuda de una calculadora, sustituye el valor encontrado en la ecuación inicial. Un caso especial de las funciones eponenciales es la función: ( ) e f en donde la base es la constante e, cuyo valor aproimado es de 718818.. Observa el siguiente ejemplo.
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 La población inicial de una ciudad en Méico, era de 56, 489 habitantes en 1986, si la población se incrementó a razón de % anual, cuántos habitantes habría en el año 01? Solución. De acuerdo con Swokowski & Cole (001), si una población inicial ( ) cambia rt instantáneamente a una razón proporcional a su valor actual, entonces t e o, en donde o es la población inicial, r es la tasa de crecimiento si es mayor que cero (o decrecimiento si es menor que cero). Considerando: o56489 r0.0 (%) t6 (años transcurridos desde 1986 a 01) rt ( ) y sustituyendo en la epresión t e o tienes: 0.0( 6) ( ) 56489e ( ) 19 56489e Esto significa que en el 01, el número de habitantes será de 1 9 aproimadamente. 0.78 Las Funciones arítmicas Ahora que has estudiando las funciones eponenciales, es posible definir otro tipo de funciones eponenciales: las funciones arítmicas. Larson (008, p. 9) dice que una función arítmica está definida por: y a si, y solo si y a para > 0, a > 0 y a 1, y se denomina función arítmica de base a. Verifica que f ( ) 5. Solución. De acuerdo con la definición de una función arítmica, 5 5 porque 4
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 Entre las funciones arítmicas más utilizadas se encuentran las de base, 10 y e. Las funciones arítmicas de base, se utilizan en informática; las de base dos se conocen como funciones arítmicas comunes y son utilizadas en acústica, y las de base e en matemáticas avanzadas llamadas funciones eponenciales naturales. La siguiente figura muestra la gráfica de las funciones arítmicas de base, e, y 10. Figura. Grafica de Funciones arítmicas de base. Al igual que la función eponencial, y debido a que son funciones inversas, la función arítmica también es biunívoca. Esta propiedad se utiliza para resolver ecuaciones en las que aparecen aritmos. Ejemplos: ( 6 1) ( 5 ) Resuelve la ecuación +. Solución. Aplicando que las funciones arítmicas son biunívocas, para que la ecuación anterior sea cierta se tiene que cumplir que: 6 1 5 + 6 5 + 1 4 Sustituyendo 4 en la ecuación original para evaluar su validez, tienes: 5
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 or lo que se verifica la solución encontrada. ( 6 1) ( 5 + ) (( 6)( 4) 1) ( ( 5)( 4) + ) ( 4 1) ( 0 + ) ( ) ( ) La escala de Richter epresa la magnitud R de la intensidad de un terremoto, en relación a una intensidad de referencia, y permite traducir la lectura de un sismógrafo en una forma más sencilla de comprender. Las lecturas de un sismógrafo están dadas en milímetros y epresan la amplitud de las ondas medidas. Se epresa como sigue: R 0 Si se considera que la intensidad de referencia es igual a temblor de 6 grados Richter? 0 10 mm, qué intensidad ( ) tiene un Solución. De la ecuación anterior, es necesario despejar para determinar su valor en función de los datos conocidos. Esto lo puedes hacer aplicando la definición de aritmo, esto es: R 0 10 R 0 Aplicando la definición de aritmo. y despejando queda: Sustituyendo los valores tienes: R ( ) 10 0 6 ( 10 )( 10 ) 1000 10 Cuál será la intensidad (dada en milímetros) de un temblor de 5 grados Richter? Solución. Aplicando la fórmula del ejemplo anterior y el mismo procedimiento, tienes: 6
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 R 0( 10 ) 5 ( 10 )( 10 ) 100 10 Los ejemplos anteriores muestran que un temblor de grado 6 es 10 veces más intenso que uno de grado 5. Leyes de los aritmos Al igual que los eponentes, los aritmos también tienen ciertas reglas que sirven para simplificar o resolver ecuaciones o problemas con aritmos. 1. ( A B) A+ B. A A B B A n n. ( ) A Las leyes de los aritmos son aplicables a cualquier base. Resuelve la ecuación + ( + 6) 4. Solución. Aplica la ley de los aritmos que dice que el aritmo de un producto es igual a la suma de sus aritmos independientes, obtienes: [( )( + 6) ] 4 Aplicando la definición de aritmo para cambiar a forma eponencial, queda: 4 16 ( )( + 6) + 6 + 6 16 0 ( + 8)( ) 0 gualando con cero los factores lineales encontrados, obtienes: 7
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 + 8 0 8 0 Verifica la validez de las dos soluciones encontradas. ara 8, tienes: + ( + 6) 4 ( 8) + ( 8 + 6) 4 Como no eisten aritmos de números negativos, 8 no es una solución válida. ara, tienes: () + ( + 6) 4 () + (8) 4 4 + ( + 6) 4 [( )( 8) ] [ 16] 4 16 4 16 16 or lo que, sí es solución de la ecuación dada. Resuelve la ecuación! 4 + Solución Usando las leyes de los aritmos, tienes:! 4 + Aplicando la definición de aritmo (de base diez), queda: 10!!!"#!!!! 4 + Si se aplica la ley de los eponentes!!!!!!, al lado izquierdo de la ecuación, tienes:! 10! 10!"#!!!! 4 + 8
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 100 𝑥! 4 𝑥 𝑥+ ara resolver esta ecuación racional, factoriza 𝑥! 4 en una diferencia de cuadrados y reduce terminos: 100 𝑥 𝑥+ 𝑥 𝑥+ 100 𝑥 𝑥 Multiplicando toda la ecuación por 𝑥 se obtiene: 𝑥! 4𝑥 96 0 Factorizando para hallar las soluciones; queda 𝑥 1 𝑥 + 8 0 De donde se concluye que: 1 y -8 Sustituyendo ambas soluciones en la ecuación original para validarlas, tienes: ara 1 𝑙𝑜𝑔 𝑥! 4 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 𝑙𝑜𝑔 1! 4 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑙𝑜𝑔 1 𝑙𝑜𝑔 144 4 𝑙𝑜𝑔 14 𝑙𝑜𝑔 10 𝑙𝑜𝑔 140 𝑙𝑜𝑔 14 𝑙𝑜𝑔 10 11 Solución valida y correcta. ara -8 𝑙𝑜𝑔 𝑥! 4 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 𝑥 𝑙𝑜𝑔 ( 8)! 4 𝑙𝑜𝑔 8 + 𝑙𝑜𝑔 8 𝑙𝑜𝑔 64 4 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 10 La solución -8 no es válida, ya que se presentan aritmos de números negativos y éstos no eisten. 9
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 decibel se define como 10 veces el aritmo de base diez de la relación entre dos niveles de potencia. El número de decibeles mostrado en la tabla proporcionada por Floria, corresponde con la siguiente epresión matemática: n t 10 0 En donde el nivel de referencia es: 0 0 10 pascales. Verifica que una presión acústica de t 00 10 pascales corresponden con 0 decibeles. Solución. Sustituyendo los datos conocidos en la ecuación anterior, tienes: (00 10 ) 10 n ( 0 10 ) n 10 100 n 10() n 0 ( ) 00 10 or lo que se verifica que una presión acústica equivalente a t, tomando como referencia a 0 0 10 equivale a 0dB. El valor de referencia 0 utilizado corresponde con el valor más bajo que el oído humano puede percibir. Como se puede apreciar en este ejemplo, las escalas arítmicas hacen posible trabajar con rangos de valores menores, en la tabla mostrada en la Clase Virtual, se observa que el rango de valores entre las potencias acústicas es de ( 00,000,000 0), mientras que el rango equivalente en decibeles (que están basados en aritmos) es de ( 140 0). 10
MB000 _MAAL_Eponenciales Versión: Septiembre 01 Referencias Floría,. M. (007). Gestión de la higiene industrial en la empresa. [Versión Electrónica]. Recuperado el 4 de marzo de 010 del sitio Google libros: http://books.google.com.m/books?iddxmm_dq4gdac&printsecfrontcover&dqfloria+ges tion+de+higiene+industrial&cd1#vonepage&qweber&ffalse Larson, R. (008). recálculo. [Versión Electrónica]. Recuperado el 8 de febrero de 010 del sitio Google libros: http://books.google.com.m/books?idkssel4j0vjc&pga05&dqfunciones+aritmica s+definicion&cd5#vonepage&q&ffalse Stewart, J.; Redlin, L. (007). recálculo, matemáticas para el cálculo. [Versión Electrónica]. Recuperado el 8 de febrero de 010 del sitio Google libros: http://books.google.com.m/books?idcihf4fj_ezwc&pga4&dqfuncion+eponencial+ definici%c%bn&lr&cd0#vonepage&q&ffalse Swokowski, E. W. & Cole, J. A. (001). 11