Introducción. a. Lee con atención la siguiente introducción histórica sobre la función logarítmica

Transcripción

1 Identificación de la función logarítmica No todo el cambio es constante, describiendo situaciones con funciones Introducción a. Lee con atención la siguiente introducción histórica sobre la función logarítmica Figura Los logaritmos se inventaron alrededor de 59 por John Napier (5567) y Jobst Bürgi (556) de manera independiente. El enfoque de los logaritmos de Napier, era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones eponenciales. Las tablas de Napier, publicadas en 64, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 67. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 65 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 97, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica.

2 Ahora indica un aspecto importante que hayas notado sobre los logaritmos y su historia. Objetivos de aprendizaje Reconocer la función logarítmica a partir de modelos utilizados en contetos de las ciencias naturales.. Interpretar epresiones algebraicas que tienen logaritmos y representan situaciones de variación.. Interpretar situaciones de variación identificando relaciones de tipo funcional logarítmicas.. Establecer estrategias para representar funciones logarítmicas que caracterizan situaciones de variación.

3 Actividad a. A continuación encontrarás diferentes situaciones, léelas y escribe cómo las resolverías. Situación La intensidad de un terremoto típicamente se mide entre y en la escala de Richter. Cualquier terremoto que se registra por debajo de 5 es un terremoto menor; pueden mover un poco el suelo, pero normalmente no son lo suficientemente fuertes para causar algún daño. Los terremotos que miden entre 5 y 7.9 en la escala de Richter son mucho más severos y cualquier terremoto por encima de 8 causará mucho daño. ( El grado más alto jamás registrado para un terremoto fue de 9.5, durante el terremoto de 96 en Valdivia, Chile.). Un terremoto mide una amplitud de 9 veces más grande que A. Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter, en décimas? Situación El sonido semide en una escala logarítmica usando una unidad que se llama decibel. La fórmula se parece mucho a la de escala de Richter d = log ( P ) p donde P es la potencia o intensidad del sonido y P es el sonido más débil que puede captar el humano. Una bomba de agua caliente tiene un índice de ruido de 5 decibeles. Una lavadora de platos, tiene un índice de ruido de 6 decibeles. Qué tan intenso es el ruido de la lavadora comparado con el ruido de la bomba?

4 Situación La medida de acidez de un líquido se llama ph del líquido. Está basada en la cantidad de iones de hidrógeno (H+) en el líquido. La fórmula del ph es: ph = log[h+] donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno, dada en una unidad llamada mol/l ( moles por litro ; un mol es 6. moléculas o átomos). Líquidos con ph bajo (hasta ) son más ácidos que los que tienen un ph alto. El agua, que es neutral (ni ácida ni alcalina) tiene un ph de 7.. Si el jugo de limón tiene un ph de.7, cuál es la concentración de iones de hidrógeno (in mol/l) en el jugo de limón, en centésimas? b. Con la ayuda de tu docente resuelve los siguientes ejercicios: log 8= 7 7 = log = = 4 log / 8= - (/) - = log / = (/) = 9 4

5 Actividad La función logarítmica a. Observa las siguientes gráficas que representan funciones logarítmicas y analiza el crecimiento o decrecimiento de cada una y si la función es negativa o positiva. log log log. - log.6 Gráfica y 4 Gráfica 5

6 y a Gráfica b. Con ayuda de tu docente responde las siguientes preguntas: Qué números conforman el dominio y qué números conforman el rango? En qué partes son continuas? 6

7 Qué sucede cuando a es mayor que? Qué sucede cuando a es menor que? Por qué puntos pasan siempre las gráficas que observaron? 7

8 Actividad Representando la función logarítmica a. El plano cartesiano representa los datos presentados en la tabla y escribe la epresión algebraica para esta función. f() 6 5,56,7 4 5, Epresión algebraica: f() 6 5,56,7 5, Epresión algebraica: 8

9 f() y Epresión algebraica: Funciones logarítmicas son las que asocian a cada número su logaritmo en una cierta base, a, y= log a Su dominio son los reales positivos y el recorrido es IR Es continua Si a> es creciente y decreciente si <a Corta al eje OX en (,) y pasa por (a,) 9

10 El eje OY es asíntota vertical. 9 Dados dos números reales positivos, a y b (a ), llamados logaritmo en base a de b al número al que hay que elevar a para obtener b. log a b= c equivalente a a c =b f()= 6 4 (.) (.) 4 6 g()=log Pasos para hallar un logaritmo en la calculadora Con la calculadora Para calcular logaritmos log 9,4 Teclea 9. 4 log Aparecerá:.9565 Compruébalo con la tecla Teclea INV X Cambio de base: log 94 Teclea 94 log Aparecerá:.9565 Aparecerá: 9.4 Teclea log Si introduces: log 94, Teclea 94. log Aparecerá:.9565 Aparecerá:.477 Teclea = y sale el resultado: Observa: 94, = 9,4 log94,=log9,4 +

11 a. Completa la tabla Forma Logarítmica Forma Eponencial log 6 4= / = log(.) = - b. Grafica las siguiente funciones: f() log(-9) f()

12 f() = log 6 5 f() c. Resuelve las siguientes situaciones problema La población de un país P(t) en millones de habitantes, t años después de 99, está modelada por P(t) =Pe.r Cuándo se duplicará la población? Realiza aquí tus cálculos

13 La población de un país P(t) en millones de habitantes, t años después de 999, está modelada por P(t) = e.4r Cuándo la población llegará a los 5 millones de habitantes? Suponga que el modelo permanece en el tiempo. Realiza aquí tus cálculos

14 Figura. John Napier (5567) y Jobst Bürgi. Lista de figuras 4