FUNCIONES RACIONALES. Sec. 3.5
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- Belén Juárez Silva
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1 FUNCIONES RACIONALES Sec. 3.5
2 DOMINIO DE FUNCIONES RACIONALES
3 Funciones racionales Una función racional es una función que se puede epresar de la forma p( ) f ( ) g( ) donde f() y g() son polinomios. Ejemplos: f () 3 g() q() 4 3 4
4 Ejemplos: 1 4 ) ( 1 1 ) ( g f Toda función polinómica es una función racional ya que se puede epresar con un denominador igual a ) ( 1 4 ) ( q p Funciones racionales
5 Dominio de funciones racionales Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales una función está definida. Una función, f(), está definida en un valor de si evaluar f() en ese valor produce un valor de y que es un número real. En el caso de las funciones racionales, debemos ecluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.
6 1) Determinar el dominio de una función racional f ( ) 4 1 Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador) cuando Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales eceptuando = ¼. 1 4, 1 1 -,, Dom : 4 4
7 Determinar el dominio de una función racional 5 ) f ( ) 4 Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador). 4 4 Dom : 0 4 Para encontrar los ceros, Por lo tanto el dominio de f() es, el conjunto de los reales eceptuando = y = -.,,, factorizamos.
8 Determinar el dominio de una función racional 9 3) f 10 1 Debemos determinar los valores de que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador) Por lo tanto el dominio es, el ( 5 6) 0 = b ± Dom : b 4ac a 3 -,-3-3,- -, conjunto de los reales eceptuando =-3 y = -. = 5 ± 5 4(1)(6)
9 INTERCEPTOS DE FUNCIONES RACIONALES
10 Interceptos Un intercepto en de f() coincide con los ceros reales de f(). Ambos se define como el (los) valor(es) de para el cual f() es igual a cero. Para una función racional, los ceros reales (o los interceptos en ) ocurren en el valor de que hace que el numerador de la función sea igual a cero. El intercepto en y ocurre cuando el valor de cero. Se puede encontrar evaluando la función para igual a cero.
11 Interceptos 1 Hallar los interceptos de la función f ( ). (a) intercepto y: b) intercepto - f (0) - El numerador de f() es 1. El intercepto en y es (0, - ½ ) Por lo tanto, f() NO tiene interceptos en.
12 Interceptos Hallar los interceptos de la función (a) intercepto y: f (0) El intercepto en y es (0, 0). ( ) b) intercepto - f 3 El numerador de f() es. = 0 cuando = 0. Por lo tanto, f() tiene intercepto en en el punto (0,0) Coincide con el int-y.
13 Interceptos 4 Hallar los interceptos de la función g( ). 3 9 (a) intercepto y: 0 g( 0) 3 (0) 4 9(0) 4 0 g(0) NO está definido. NO eiste int-y. b) intercepto - El numerador de g() es = 0 4 =, = - g() tiene dos int- en los puntos (,0) y (-, 0).
14 Interceptos Hallar los interceptos de la función 3 h( ) 5. (a) intercepto y: h(0) 0 (0) h( 0) 3(0) 5 5 El intercepto en y es (0, - ). 5 b) intercepto - El numerador de h() es +3-5 = 0 (Aplicar la fórmula cuadrática.) 5, 1 h() tiene intercepto en en los puntos 5,0) y (1,0 ) (
15 Práctica Hallar el dominio y los interceptos de cada una de las siguientes funciones. 8 8 ) ( 3 1 ) ( ) ( h g f
16 SOLUCIONES DE FUNCIONES RACIONALES
17 Soluciones de funciones racionales Un par ordenado (a,b) es solución para una función f() si f(a)=b. Dicho de otra forma, (a,b) es solución si al evaluar f para =a el resultado es y=b. Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de (6) f (6) (6) f ( 6) 1 y 1 (6, 1) SI es una solución de la función. f ( ) Conclusión: Si =6, entonces y=1. Por lo tanto 1 5
18 Soluciones de funciones racionales Ej. Determinar si (-, -16) es una solución de 3 f ( ) 3 f f y ( ) ( ) 16 3( ) ( ) ( ) (-, - 16) NO es una solución de la función Conclusión: Si =-, entonces y=16. Por lo tanto
19 Soluciones de funciones racionales Ej. Determinar el valor de tal que y = 4 si (determinar tal que (, 4) es una solución de) f ( ) 5 3 Multiplicar en ambos lados por el denominador. Conclusión: Si y =4, entonces =14. Por lo tanto (14,4) es una solución de f ().
20 Soluciones de funciones racionales Ej. Determinar el valor de tal que y = -3 si (determinar tal que (, -3) es una solución de) f 7 ( ) 3 Multiplicar en ambos lados por el denominador Conclusión: Si y =-3, entonces =0.1. Por lo tanto (0.1, -3) es una solución de f ().
21 Práctica Para las siguientes funciones, hallar el valor de, si eiste, tal que (,1) es una solución de f(). (Hallar el valor de si y =1.) 3 4 ) ( ) ( g f
22 Soluciones 4 f ( ) = 9 (9,1) es una solución de f() (-3,1) y (1,1) son soluciones de f()
23 GRAFICAS DE FUNCIONES RACIONALES
24 Gráficas de funciones racionales Consideremos la función racional: 1 f ( ) Hasta ahora sabemos que: El dominio de f() es D: Intercepto en : Intercepto en y: NO tiene y = - ½. No podemos trazar la gráfica correctamente con un sólo punto.
25 f ( ) 1 Aunque = NO pertenece al dominio podemos observar lo que ocurre con valores que están muy cerca de = (un poco mayor o un poco menor).
26 Grafiquemos algunos puntos Estos puntos los podemos unir con curvas, separadas y suaves, que se etienden en direcciones opuestas.
27 Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, =, por ambos lados, pero etendiéndose en direcciones opuestas. La línea vertical, =, separa la gráfica en dos partes disyuntas. = se llama una asíntota vertical
28 f ( ) 1 Veamos que ocurre con los valores de la gráfica a medida que se hace muy grande o muy pequeño. (Comportamiento en los etremos) Cuando, y 0 Cuando, y 0
29 f ( ) 1 En este caso, la línea y=0 se llama una asíntota horizontal, porque los valores de la función se quedan bien cerca de esta línea a medida que aumenta o disminuye grandemente.
30 Hallar las asíntotas de funciones racionales Asíntotas Verticales Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0. Una función racional está simplificada si NO eisten factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.
31 Determinar la(s) asíntotas verticales f ( ) Igualar el denominador a = 0 Resolver para : = 5 (es la ecuación de la asíntota vertical) 1 g( ) 16 Igualar el denominador a = 0 Resolver para : = -4 y = 4 (son las ecuaciones de las asíntotas verticales)
32 Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones: Caso 1. El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0. Ej. f ( ) g( ) El eje de (y=0) es la asíntota horizontal de las gráficas de f() y g()
33 Asíntotas horizontales Ej. Caso. El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a, donde a es el coeficiente b principal del numerador y b es el del denominador. f ( ) g( ) La asíntota horizontal de la gráfica de f() es g() es 9 y y 1 4
34 Asíntotas horizontales Caso 3: Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función NO tiene asíntota horizontal. Ej. f ( ) g( ) Las gráficas de f() y g() NO tienen asíntota horizontal
35 Gráficas de funciones racionales Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos: Determinar asíntotas verticales. Determinar asíntotas horizontales. Determinar interceptos. Determinar comportamiento alrededor de las asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos puntos adicionales. Unir puntos con curvas suaves que se acercan a las asíntotas y se etienden hacia el infinito.
36 Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) vertical(es) si eiste(n). 1. f 5 Calculamos el valor de que hace el denominador igual a cero: + = 0 = -1 La recta = -1 es la única asíntota vertical de la función.
37 Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) horizontal(es) si eiste(n). 1. f 5 El grado del numerador y del denominador es 1, así que estamos en el caso. an 5 bn La asíntota horizontal de la f() es la recta y 5
38 Trazar la gráfica de funciones racionales f 5
39 f Gráficas de funciones racionales 5 Los interceptos quedan en un mismo pedazo de la gráfica. Podemos unir esto dos puntos con una curva suave que se acerca a las asíntotas.
40 Gráficas de funciones racionales Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica. 5 f 5 f 1 6
41 Gráficas de funciones racionales Debemos evaluar la función en algunos otros puntos para localizar la otra parte de la gráfica. f 5 (, 6)
42 Trazar la gráfica de: f ( ) 3 Intercepto - y: 0 0 f ( 0) Intercepto - 3 (0,0) Asíntota vertical: Calculamos los valores de que hacen el denominador igual a cero: 3 = 0 = 3 (ecuación de la asíntota) Asíntota horizontal(caso ) a y n b 1 y n (ecuación de la asíntota)
43 Puntos adicionales y 3-10/8 = /.5 = 10 No está definido 7/-.5 = /- = -5 0/-7 = /-47= -.13
44 Trazar la gráfica de: f( ) 3 Intercepto - y: f (0) 0 ( 0, 1.5) Intercepto (3,0) 1.5 Asíntota vertical: Calculamos el valor de que hace el denominador igual a cero: 3 = 0 = 3 (ecuación de la asíntota) Asíntota horizontal: y y 1 a b n n (ecuación de la asíntota)
45 Trazar la gráfica de f( ) 3 1. Vertical Asymptote =. Horizontal Asymptote y = intercept (3, 0) 4. y-intercept (0, 3/) 5. f(-4)= 7 = 3.5
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