Geometría en Puntos y Vectores Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 16 de Marzo de 2012
Introducción En Geometría analítica plana las relaciones y las propiedades geométricas se expresan por medio de ecuaciones que contienen, en general, dos variables. En Geometría analítica d, en cambio, tales ecuaciones contienen, en general, tres variables, y, es evidente, que la presencia de esta variable adicional traerá una mayor complicación analítica que las relaciones con el plano. Además, la tercera dimensión de la Geometría analítica d exigirá más trabajo para poder de visualizar las figuras en que el que requiere para figuras en el plano.
Sea R 3 el conjunto de ternas ordenadas de números reales, esto es, R 3 = R R R = {(x, y, z); x R, y R, y z R}. Dadas dos ternas ordenadas (x, y, z), (x, y, z ) R 3 son iguales si, y sólo si x = x, y = y y z = z. Como veremos, cada terna ordenada (x, y, z) R 3 se puede asociar de manera única con un punto d, y cada punto d se puede asociar en forma única con una terna ordenada de números reales mediante un sistema de coordenadas cartesianas rectangular en tres dimensiones.
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares que se cortan en el punto común 0, tal como se indica en la siguiente figura:
Como el punto en va a localizarse con referencia a estos elementos, los planos se llaman planos coordenados, las rectas de intersección de estos planos se llaman ejes coordenados. El punto de intersección de los tres planos 0 = (0, 0, 0) es el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Teniendo lo anterior estamos en libertad de designar los ejes coordenados como queramos. Un convenio es el indicado en la figura anterior; se dice entonces que el sistema de coordenadas es un sistema de mano derecha. Los ejes coordenados son: 1 El eje x es la recta determinada por 0 y x. 2 El eje y es la recta determinada por 0 y y. 3 El eje z es la recta determinada por 0 y z. Su dirección positiva está indicada en cada uno de los ejes por una flecha.
Cada plano coordenado se designa por los dos ejes coordenados que contiene. Así, el plano coordenado que contiene al eje x y al eje y se llama plano xy; análogamente, tenemos los planos xz y yz. Los tres planos coordenados dividen en ocho regiones llamadas octantes. El octante determinado por las partes positivas de los ejes coordenados se llama primer octante; no se acostumbra asignar ningún número a los siete octantes restantes, sin embargo se identifican mediante los signos de las componentes de ls ternas coordenadas a las que están asociados, como (+,, +). En la práctica, no es necesario representar el sistema de coordenadas trazando los planos coordenados como aparecen en la figura anterior; será suficiente trazar solamente los ejes coordenados, además marcamos una unidad, como se indica en la siguiente figura:
Sea P un punto cualquiera d. Su posición puede determinarse haciendo pasar por P planos paralelos a los tres planos coordenados y considerando los a, b y c en que cortan a los ejes x, y y z, respectivamente. Estos planos, juntos con los planos coordenados forman un paralelepipedo rectangular recto, como muestra la siguiente figura:
Evidentemente, la posición de P con relación al sistema de coordenadas está determinada por sus distancias a los planos coordenados. Estas distancias están dadas por las longitudes de los segmentos dirigidos 0a, 0b y 0c, llamados a, b y c respectivamente. Entonces los tres números reales a, b y c constituyen la coordenada x, la coordenada y y la coordenada z de P. Cada coordenada se mide, a partir del origen 0 sobre el eje coordenado correspondiente, y es positiva o negativa según sí su dirección es la misma o la opuesta a la de la dirección positiva del eje. En este caso decimos que P tiene coordenadas (a, b, c). Reciprocamente, si consideramos coordenadas (a, b, c) podemos asignar un punto P en construyendo un paralelepipedo usando los planos s y los planos paralelos a estos por los a, b y c marcados sobre los ejes x, y y z respectivamente.
Resumiendo, podemos decir: Observación: Un punto P en tiene una y solamente una terna de coordenadas (x, y, z) relativa a un sistema coordenado rectangular especificado. Reciprocamente, una terna de coordenadas (x, y, z) determina uno y solamente un punto P en con respecto a un sistema coordenado fijo. Por tanto, podemos decir que un sistema de coordenadas rectangulares en establece una correspondencia biunívoca entre cada punto d y una terna ordenada de números reales.
La distancia que separa a dos en se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras dos veces, si S(x 1, y 1, z 1 ) y T (x 2, y 2, z 2 ) son dos en, entonces la distancia de S a T, que denotaremos d(s, T ) está dada por d(s, T ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2.
Si S(x 1, y 1, z 1 ) T (x 2, y 2, z 2 ) y consideramos los auxiliares U(x 2, y 1, z 1 ) y V (x 2, y 2, z 1 ) al considerar el triángulo rectángulo SUV tenemos que d(s, V ) = d(s, U) 2 + d(u, V ) 2 por otra parte, si consideramos el triángulo rectángulo SVT, entonces d(s, T ) = d(s, V ) 2 + d(v, T ) 2 es decir d(s, T ) = = d(s, U) 2 + d(u, V ) 2 + d(v, T ) 2 (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
Ejemplo Los S(3, 5, 2), T (2, 3, 1) y U(6, 1, 1) son los vértices de un triángulo rectángulo, ya que: d(s, T ) = = d(s, U) = = d(t, U) = entonces ya que = (3 2) 2 + (5 3) 2 + (2 ( 1)) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14. (3 6) 2 + (5 1) 2 + (2 ( 1)) 2 3 2 + 4 2 + 3 2 = 34. (2 6) 2 + (3 1) 2 + ( 1 ( 1)) 2 4 2 + 2 2 + 0 2 = 20 d(s, U) 2 = d(s, T ) 2 + d(t, U) 2 34 = 14 + 20.
División de un segmento en una razón dada De manera análoga a la realizada en R 2 tenemos: Propiedad 1 Si P l (x 1, y l, z 1 ) y P 1 (x 2, y 2, z 2 ) son los extremos de un segmento dirigido P 1 P 2, las coordenadas (x, y, z) de un punto P que divide a este segmento en la razón r = P 1 P : PP 2 son para r 1 x = x 1 + rx 2 1 + r, y = y 1 + ry 2, y + z = z 1 + rz 2 1 + r 1 + r La demostración se deja como ejercicio.
Como consecuencia de la propiedad anterior tenemos que las coordenadas del punto medio del segmento que une los P 1 (x 1, y 1, z 1 ) y P 2 (x 2, y 2, z 2 ) son ( x1 + x 2 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 2 2 ). Por ejemplo, el punto medio de S(1, 3, 5) y T ( 5, 7, 1) está dado como ( 1 5 M = 2, 3 7 2, 5 + 1 ) = ( 2, 2, 3). 2
Cada terna ordenada de números reales (v 1, v 2, v 3 ) se puede asociar a una traslación en, tal como a cada par ordenado de números reales se le puede asociar una traslación en el plano. Si S(x 1, y 1, z 1 ) y T (x 2, y 2, z 2 ) son dos en R 3 el vector geométrico v = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) representa a la traslación del punto S al punto T. Se dice que S es el punto inicial del vector geométrico v, y que T es el punto final del vector geométrico v. Si el punto inicial de un vector geométrico es el origen O(0, 0, 0), entonces se dice que el vector está en posición ordinaria, y que es la representación ordinaria del vector correspondiente.
Norma de un vector La norma v de un vector v = (v 1, v 2, v 3 ) en R 3 se define como v = v1 2 + v 2 2 + v 3 2. La norma de un vector en R 3 se puede interpretar como la longitud de cualquiera de sus representaciones geométricas, es decir, la distancia que hay entre el punto inicial y el punto final del vector.
Operaciones entre vectores Si v = (v 1, v 2, v 3 ) y u = (u 1, u 2, u 3 ) son dos vectores en R 3 y λ R entonces se definen: 1 La suma de vectores v + u := (v 1 + u 1, v 2 + u 2, v 3 + u 3 ), 2 El producto de un vector por un escalar: λ v := (λv 1, λv 2, λv 3 ). 3 El producto punto (o producto interior) de dos vectores v u := v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3.
Propiedades Si v = (v 1, v 2, v 3 ), u = (u 1, u 2, u 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ) R 3, λ, µ R entonces se satisfacen las siguientes propiedades: 1 u + v R 3. La suma es cerrada. 2 u + v = v + u. La suma es conmutativa. 3 u + ( v + w) = ( u + v) + w. La suma es asociativa. 4 0 tal que v 0 + v = v. Existe neutro aditivo. 5 v R 3 v R 3 tal que v + ( v) = 0. Existe inverso aditivo. 6 λ v R 3. El producto por escalares es cerrado. 7 λ( u + v) = λ u + λ v. El producto por escalares distribuye con respecto a la suma de vectores. 8 (λ + µ) v = λ v + µ v. El producto por escalares distribuye con respecto a la suma. 9 (λµ) u = λ(µ u). Asociatividad. 10 1 u = u. Idéntico multiplicativo.
Propiedades del producto punto Si v = (v 1, v 2, v 3 ), u = (u 1, u 2, u 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ) R 3, λ R entonces 1 v v = v 2. 2 u v = v u. 3 λ( u v) = (λ u) v. 4 λ v = λ v. 5 u ( v + w) = u v + u w. 6 u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v. 7 u v 2 = u 2 + v 2 2 u v. 8 u v u v. (Desigualdad de Schwartz). 9 u + v u + v. (Desigualdad del triángulo). 10 u v cos θ = u v, donde θ es el ángulo formado por los vectores u y v.
Cosenos directores Si v R 3 y λ R, entonces v y λ v tienen la misma dirección y el mismo sentido si λ 0 pero tienen sentidos opuestos si λ < 0. En ambos casos se dice que v y λ v son vectores paralelos. Se ha visto que la dirección de un vector en R 2 \ { 0} queda determinado por la medida del ángulo que forma la parte positiva del eje x con la representación geométrica ordinaria del vector. La dirección de un vector v R 3 \ { 0} queda determinada por tres ángulos de dirección, cada uno de los cuales separa a la representación geométrica ordinaria de una de las partes positivas de los ejes de coordenadas. Estos ángulos de dirección se denotan normalmente mediante las letras griegas de la siguiente manera: α es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje x; β es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje y; γ es el ángulo de dirección con respecto a la parte positiva del eje z.
En particular, si v 0 entonces los cosenos directores de v están dados por cos α = v 1 v, cos β = v 2 v, cos γ = v 3 v si restringimos α, β y γ al intervalo [0, π], los ángulos de dirección quedan determinados en forma única por los cosenos directores. Además, es fácil verificar que Consecuentemente cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. (cos α, cos β, cos γ) = v v, es un vector unitario en la dirección de v.
Si los vectores no nulos u, v son paralelos, es decir λ R \ {0} tal que u = λ v, entonces los vectores tienen o bien los mismos cosenos directores, o los cosenos directores de u son los negativos de v. Reciprocamente, si los vectores no nulos u, v tienen los mismos cosenos directores, o bien los cosenos directores de uno de ellos son los negativos de los del otro, entonces u es un múltiplo escalar de v, es decir, u y v son paralelos. Si u = λ v = (λv 1, λv 2, λv 3 ), los cosenos directores de u están dados por cos α = λv 1 λv = ± v 1 v, cos β = λv 2 λv = ± v 2 v, cos γ = λv 3 λv = ± v 3 v en donde el signo se toma positivo si λ > 0, y negativo si λ < 0. Pero estos son los cosenos directores de v o sus negativos.
Reciprocamente, si los vectores no nulos u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) tienen cosenos directores iguales, o bien, los cosenos directores de uno son los negativos del otro, entonces es decir, u 1 u = ± v 1 v, u 2 u = ± v 2 v, u 3 u = ± v 3 v de donde u 1 = ± u 1 v v 1, u 2 = ± u 2 v v 2, u 3 = ± u 3 v v 3 u = ± u v v. Como u y v son vectores no nulos, entonces λ = ± u v es un escalar no nulo, por lo que u es un múltiplo escalar no nulo de v.
Concluimos así que Propiedad Los vectores no nulos u y v son paralelos si y sólo si u y v tienen los mismos cosenos directores, o bien, los cosenos directores de u son los negativos de los cosenos directores de v. Si los cosenos directores son iguales, u y v tienen el mismo sentido; si los cosenos directores son los unos el negativo de los otros, u y v tienen sentidos opuestos.
Por ejemplo, podemos obtener un vector u con u = 8 y que tiene el mismo sentido que el vector v = (1, 2, 5). Notamos que v = 1 2 + 2 2 + 5 2 = 1 + 4 + 25 = 30, por lo que (cos α, cos β, cos γ) = de donde u = u (cos α, cos β, cos γ) = ( v 1 v =, 30 ( 8 30, 2 30, 16 30, ) 5, 30 ) 40. 30 Mientras que el vector w de norma 8 y que tiene sentido opuesto a v es ( w = w (cos α, cos β, cos γ) = 8, 16, 40 ). 30 30 30
Vectores paralelos y perpendiculares Si u y v son dos vectores no nulos en R 3, entonces el ángulo que forman se puede especificar de la misma manera que el ángulo que forman dos vectores en R 2. Consideremos las representaciones geométricas ordinarias de los vectores u y v
Si u y v no son paralelos, entonces los vectores u, v y u v tienen representaciones geométricas que forman un triángulo. Empleando la ley de los cosenos se tiene que de donde u v 2 = u + v 2 u v cos θ 2 u v cos θ = u + v u v 2 = 2 u v esto es cos θ = u v u v.
Como consecuencia de lo visto anteriormente, podemos concluir lo siguiente: Propiedad Sean u, v R 3 \ { 0} en posición ordinaria. Los vectores u y v son paralelos si y sólo si forman un ángulo de 0 o π radianes, es decir, si y sólo si cos θ = ±1. Los vecotres u, v son perpendiculares si y sólo si la medida del ángulo comprendido entre ellos es de π/2 radianes, esto es, si y sólo si cos θ = 0, si y sólo si u v = 0. Este último resultado puede extenderse al vector cero, así dos vectores son perpendiculares cuando u v = 0, sean o no u y v el vector cero.
La definición de los términos proyección vectorial, componente vectorial, proyección escalar, componente escalar de vectores en R 3 es análoga a la que se hace para vectores en R 2 Consideremos dos vectores no nulos u, v R 3 y el segmento que pasa por el punto final V (x, y, z) de v y que es perpendicular a la recta que contiene al vector u. El vector cuya representación geométrica va del punto inicial de v al pie de la perpendicular antes mencionada recibe el nombre de proyección vectorial de v sobre u, o bien, se dice que es la componente vectorial de v paralela a u. La distancia dirigida formada por la longitud de esta proyección vectorial es la proyección escalar de v sobre u, o la componente escalar de v paralela a u, y se denota con el símbolo Comp u v.
Es evidente que Comp u v = v cos θ donde θ es el ángulo formado por u y v. Como cos θ = u v u v entonces Comp u v = v cos θ = v u v u v = u v u
Por ejemplo, la componente escalar de v = (1, 3, 5) paralela a u = (1, 2, 2) está dada por Comp u v = u v u = (1, 3, 5) (1, 2, 2) (1, 2, 2) = 1 6 + 10 1 + 4 + 4 = 5 3
El producto vectorial de dos vectores Como consecuencia de lo visto anteriormente, si u = (u 1, u 2, u 3 ) R 3 es un vector no nulo, existe una infinidad de vectores v = (x, y, z) perpendiculares a u, esto es, tales que 0 = u v = u 1 x + u 2 y + u 3 z, para una infinidad de (x, y, z). Por ejemplo, los siguientes vectores son perpendiculares a u y, en general, no son paralelos: (0, u 3, u 2 ), ( u 3, 0, u 1 ), ( u 2, u 1, 0) Por lo que no existe un único vector perpendicular como en R 2 (salvo múltiplos escalares). Cabe entonces preguntarnos, si u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ) son las representaciones geométricas ordinarias de dos vectores no paralelos habrá un vector no nulo w que sea perpendicular tanto a u como a v? Es decir, si w = (x, y, z), Qué condiciones se deben cumplir para que u w = v w = 0?
Claramente, esto nos plantea un sistema homogéneo de dos ecuaciones con tres incógnitas, a saber: u 1 x + u 2 y + u 3 z = 0 v 1 x + v 2 y + v 3 z = 0 o equivalentemente, escribiendo a x y y en términos de z tenemos el sistema no homogéneo 2 2: u 1 x + u 2 y = u 3 z v 1 x + v 2 y = v 3 z
Si u 1 u 2 v 1 v 2 0 se puede aplicar la regla de Cramer para obtener la única solución del sistema de ecuaciones anterior, esto es: u 3z u 2 v 3 z v 2 u 1 u 3 z v 1 v 3 z x = u, y = 1 u 2 v 1 v 2 u 1 u 2 v 1 v 2 Como el multiplicar a cada elemento de una columna (o renglón) de un determinante por un escalar es equivalente a multiplicar el determinante por ese escalar, y el intercambiar dos columnas de un determinante es equivalente a multiplicar el determinante por 1 las ecuaciones anteriores se pueden escribir como:
u 2 u 3 v 2 v 3 u 3 u 1 v 3 v 1 x = u z, y = 1 u 2 v 1 v 2 u z 1 u 2 v 1 v 2 haciendo z = k u 1 u 2 v 1 v 2, donde k R es una constante arbitraria, podemos escribir esta solución en forma simétrica como ( ) u (x, y, z) = 2 u 3 v 2 v 3, u 3 u 1 v 3 v 1, u 1 u 2 v 1 v 2 Si u 1 u 2 v 1 v 2 = 0 pero uno de los otros determinantes que aparece en esta expresión es diferente de cero, se puede despejar a x y z, o bien, a y y z en términos de la tercera variable, y se obtiene nuevamente la forma simétrica. Por lo tanto
Propiedad u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ) son vectores no nulos, y no todos los determinantes u 2 u 3 v 2 v 3, u 3 u 1 v 3 v 1, u 1 u 2 v 1 v 2 son cero, entonces el vector w = (x, y, z) es perpendicular tanto a u como a v si y sólo si existe λ R tal que (x, y, z) = λ( u v) donde u v = ( u 2 u 3 v 2 v 3, u 3 u 1 v 3 v 1, u 1 u 2 v 1 v 2 )
Para cualesquiera dos vectores u = (u 1, u 2, u 3 ) y v = (v 1, v 2, v 3 ) en R 3, el vector u v recibe el nombre de producto vectorial o producto cruz de u y v. Si i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1), entonces u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i + u 3 u 1 v 3 v 1 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3
Propiedades Si u, v, w, r, s sn vectores en, entonces: 1 u v = v u. 2 u ( v + w) = u v + u w Propiedad distributiva. 3 u (λ v) = (λ u) v = λ( u v) para cada λ R. Propiedad asociativa escalar. u 1 u 2 u 3 4 u ( v w) = v 1 v 2 v 3. Este número es el triple w 1 w 2 w 3 producto escalar. 5 ( u v) ( u v) = ( u u)( v v) ( u v) 2. 6 u v = u v sen θ, donde θ es el ángulo formado por u y v. Por lo tanto, si u y v no son paralelos, u v es el área de la región acotada por el paralelogramo la cual dos de sus lados adyacentes son las representaciones geométricas de los vectores u y v. 7 ( u v) ( r s) = ( u r)( v s) ( u s)( v r) Identidad de Lagrange.
A continuación demostraremos que las identidades (5) y (6), las demas identidades se dejan como ejercicio: Para cada u, v, w R 3 sabemos que de donde u ( v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 u v 2 = ( u v) ( u v) u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) u 2 u 3 v 2 v 3 (u 3v 1 u 1 v 3 ) u 1 u 3 v 1 v 3 +(u 1 v 2 u 2 v 1 ) u 1 u 1 v 1 v 2. = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) 2 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) 1 + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) 2 = ( u u)( v v) ( u v) 2
es decir, u v 2 = ( u u)( v v) ( u v) 2. u v 2 = ( u u)( v v) ( u v) 2 = u 2 v 2 ( u v cos θ) 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 sen 2 θ Concluimos de aquí que u v = u v sen θ
Sabemos que el área A del paralelogramo es A = base altura = u h, pero sen θ =, de donde A = u v sen θ. h v