SOLUCIONES - REPASO PROBLEMAS DE ALGEBRA 1ª EVALUACIÓN Ejercicio nº 1.- En un eamen tipo test, que constaba de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de 3,5 puntos, cuántas preguntas acertó? Llamamos al número de preguntas que acertó. Acertó Falló 40 Como cada acierto vale un punto, y cada fallo resta medio punto, la puntuación total fue:. Ejercicio nº.- En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envío que hacen; pero si el envío es defectuoso, pierden por él 8 euros. En un día hicieron 100 envíos, obteniendo 9 688 euros de beneficio. Cuántos envíos válidos y cuántos defectuosos hicieron ese día? 6 Llamamos al número de envíos válidos e y al número de envíos defectuosos. y 100 y 100 8y 9 688 6 8 100 9 688 16 800 8 9 688; 14 6 488; 1 89 y 1001 89 08 Por tanto, el número de envíos válidos fue de 1 89 y el de envíos defectuosos, 08. Ejercicio nº 3.- Se mezcla cierta cantidad de café de 6 euros/kg con otra cantidad de café de 4 euros/kg, obteniendo 8 kg de mezcla. Sabiendo que el precio del café mezclado es de 4,5 euros/kg, cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase? Llamamos a la cantidad de café (en kg) del primer tipo e y a la cantidad de café (en kg) del segundo tipo. y 8 6 4y 4, 5 8 y 8 6 4y 36 40 3 5 0, 5, 1, 5 0 0, 5 3, 5 0, 5 1, 5 5 0, 5 Por tanto, acertó 5 preguntas 6 y 8 6 4 8 36 6 3 4 36; 4; y 8 6 Se han mezclado kg de café de 6 euros/kg con 6 kg de café de 4 euros/kg. Departamento de Matemáticas
Ejercicio nº 4.- Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerseys tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 0% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, cuánto ha tenido que pagar por cada jersey? Llamamos a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos. Los que tienen un 15% de descuento valdrán ahora 0,85. El que está rebajado un 0% costará 0,8. Por tanto, el total que ha pagado es: 3 0,85 + 0,8 + = 108,75,55 + + =108,75 4,35 = 108,75 108, 75 5 4, 35 euros Por el que no tiene descuento ha pagado 5 euros. El que tiene un 0% de descuento cuesta ahora 0 euros. Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 15% ha tenido que pagar 1,5 euros. Ejercicio nº 5.- Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 1,5 euros menos. Cuántos amigos son? 500 Llamamos alnúmerode amigos.cada uno tienequepagar euros. Si fueran amigos y 500 15, euros ( 1,5 eurosmenos) 500 1, 5 500 Como entotalson 500euros, 1000 5001,5 5 500 1 000 1,5 5 0 1,5 1000 5 0 1,5 5 1000 0 5 65 50000 5 5065 5 5 5 5 5 8 10 (no vale) Son, por tanto, 8 amigos.
Ejercicio nº 6.- Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace años tenía el doble de edad que él. Cuántos años tiene actualmente cada uno? Llamamos a la edad que tiene actualmente Carlos y hacemos un cuadro que resuma la información: La edad de Cristina hace años era el doble que la de Carlos, es decir: 6 6 4 10 = Por tanto, Carlos tiene 10 años y Cristina, 18. Ejercicio nº 7.- Alberto compró 3 bolígrafos y cuadernos, pagando en total,9 euros. Una semana después, los bolígrafos tenían un 0% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar,4 euros. Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno? Llamamos al precio de cada bolígrafo e y al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja. 3 y,9 3 y,9,9 3 y 0,8 3 0,85 y,4,4 1,7 y,4, 9 3 4, 93 5, 1, 4 1, 7, 4, 4, 4 4,8 4,93 5,1 4,84 0, 3 0, 09 0, 3 y 1 Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0,3 euros y cada cuaderno, 1 euro. Ejercicio nº 8.- El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 5.000 (sin impuestos). El valor del vino es de 600 menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que por los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza de un 1% y por el vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 594, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida. Si llamamos,y, z a las cantidades invertidas respectivamente en refrescos, cerveza y vino: y z 5000 z y 600 0.06 0.1 y 0.3z 94 100 en refrescos, 1600 en cerveza y 00 en vino En la tercera ecuación sumamos solamente el IVA pagado por las tres bebidas que corresponde a la diferencia entre la factura con impuestos (594 ) y la factura sin impuestos (5000 )
Ejercicio nº 9.- La suma de los radios de dos círculos es 70 cm y la suma de las áreas de éstos es igual al área de un tercer círculo de 50 cm de radio. Cuál es el radio de los dos primeros círculos? Llamamos r y R a los radios de las dos circunferencias: r R 70 r R 50 r R 70 r R 500 Los radios son de 30 y 40 cm. Ejercicio nº 10.- La suma de las edades de tres personas es, en el momento actual, 73 años. Dentro de diez años la edad de la mayor de ellas será el doble de la edad de la persona más joven. Hace doce años la persona con edad intermedia tenía el doble de años que la más joven. Halla las edades de las tres personas. Llamamos a la edad de la persona mayor, y a la de la mediana y z a la de la pequeña: y z 73 10 ( z 10) y 1 ( z 1) y z 73 z 10 y z 1 Las edades son 40, 18 y 15 años respectivamente. Ejercicio nº 11.- Una autoescuela tiene abiertas tres sucursales en la ciudad. El número total de matriculados es 35, pero los matriculados en la tercera son tan sólo una cuarta parte de los matriculados en la primera. Además, la diferencia entre los matriculados en la primera y los matriculados en la segunda es inferior en unidades al doble de los matriculados en la tercera. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar el número de alumnos matriculados en cada sucursal y resuélvelo. Si llamamos, y, z al número de alumnos matriculados respectivamente en la primera, segunda y tercera sucursal: y z 35 z 4 y z y z 35 4z 0 y z Los alumnos matriculados son 00, 10 y 50 respectivamente. Ejercicio nº 1.- Tenemos dos números, uno de dos cifras y otro de una. El primero aumentado en el cuadrado del segundo da 111 y si colocamos el de una cifra delante del de dos obtenemos un número que ecede al quíntuplo del primero en 61 unidades. Calcúlalos. Si llamamos al número de cifras e y al de una cifra: y 111 100y 5 61 y 111 4 100y 61 Sistema no lineal con dos soluciones, una válida (47 y 8) y una no válida (-978 y -33).
Ejercicio nº 13.- Se juntan 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y las mujeres duplican el número de niños. También se sabe que entre los hombres y el triple de las mujeres eceden en 0 al doble de niños. Plantea un sistema de ecuaciones que permita averiguar el número de hombres, mujeres y niños. Resuelve el sistema planteado. Si llamamos al número de hombres, y al de mujeres y z al de niños: y z 30 y z 3y 0 z y z 30 y z 0 3y z 0 Habrá 10 hombres, 10 mujeres y 10 niños. Ejercicio nº 14.- Un estado compra 540 000 barriles de petróleo a tres suministradores diferentes que lo venden a 7, 8 y 31 $ el barril, respectivamente. La factura total asciende a 15,858 millones de $. Si del primer suministrador recibe el 30% del total del petróleo comprado. Cuál es la cantidad comprada a cada suministrador? Si llamamos, y, z suministradores: al número de barriles comprados respectivamente a los tres y z 540000 y z 378000 7 8y 31z 15858000 16000barriles 8y 31z 11484000 0.30540000 Se han comprado 16000 barriles a 7 $, 78000 a 8 $ y 300000 a 31 $. Ejercicio nº 15.- Un almacén distribuye cierto producto que fabrican 3 marcas distintas: A, B y C. La marca A lo envasa en cajas de 50 gramos y su precio es de 100 la caja, la marca B lo envasa en cajas de 500 gramos a un precio de 180 y la marca C lo hace en cajas de 1 kilogramo a un precio de 330. El almacén vende a un cliente.5 kg de este producto por un importe de 890. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema para determinar cuántos envases de cada tipo se han comprado y resuelve el problema. Llamamos, y, z al número de cajas vendidas de las marcas A, B y C, respectivamente. Ordenamos los datos en la siguiente tabla: MARCA A B C Gramos/caja 50 500 1000 / caja 100 180 330 Nº de cajas y z y z 5 50 500y 1000z 500 100 180y 330z 890 y z 5 5 50y 100z 50 10 18y 33z 89 Se han vendido cajas de la marca A, de la marca B y 1 de la marca C.