Dinámic de ls otciones Octube 009 Ve clses en: http://video.google.com./videoply?docid48804863890 486&eiX87oSp4NnYpAoq3ucA&qmomento+ngul +clses+video&hles# Físic de ls Tslciones Tiempo t neci m s Posición x(t) Velocidd v(t)dx(t)dt Aceleción (t)dv/dt omento linel p(t)mv(t) Enegí Cinético Ec½m.v Ley Fundmentl Fuez F dp F m dt Físic de ls otciones Tiempo t neci omento de neci Posición θ(t) Velocidd ω(t)dθ(t)dt Aceleción α(t)dω/dt omento linel L(t)ω Enegí Cinético Ec½.ω Ley Fundmentl Fuez τ τ α dl dt
L 0. omento ngul o cinético L v m P omento ngul o cinético de un punto mteil especto de un punto O es el momento de l cntidd de movimiento especto dicho punto O p m( v) L o O Popieddes de L 0 3. omento de ineci El momento de ineci en dinámic de otción, es el nálogo l ms en dinámic de tslción P un sistem de disceto de n ptículs: n i m i i P un sistem de ptículs continuo: dm 3. omento de ineci Densiddes linel, supeficil y volumétic λdm/dl σdm/ds dmλ dl dmσ ds ρdm/dv dmρ dv Densidd linel λ Densidd supeficil σ Densidd volumétic ρ
3. omento de ineci omentos de ineci de cuepos ígidos homogéneos con difeentes foms geométics 4. Teoem de Stenie Teoem ejes Plelos Este teoem pemite clcul el momento de ineci de un sólido especto un eje plelo uno que pse po el cento de mss (C) de dicho sólido temáticmente E Tiple Physics textbook + h E C Copyight (c) 000 by W. H. Feemn nd Compny nd Woth Publishes (Feemn/Woth). El momento de ineci E especto un eje E plelo l eje que ps po el cento de mss es igul l momento de ineci especto l cento de mss C más el poducto de l ms po l distnci de sepción ente mbos ejes l cuddo 5. otción de un sólido ígido lededo de un eje fijo Un sólido ígido es quel que no se defom y que po tnto mntiene su fom y su tmño. El movimiento más genel de un sólido ígido en el espcio se puede nliz estudindo dos tipos de movimiento simultáneos: ) Tslción del cento de mss (C) del sólido b) otción del sólido lededo de un eje que ps po el cento de mss ovimiento genel de un sólido ígido en el espcio 3
5. otción de un sólido ígido lededo de un eje fijo Cundo un objeto únicmente se tsld sus ptículs desciben tyectois plels Cundo un objeto únicmente gi lededo de un eje fijo sus ptículs desciben tyectois cicules lededo de dicho eje 5. otción de un sólido ígido lededo de un eje fijo En dinámic de tslción se cumple que p mv Al se el momento cinético L el nálogo p, en otción se cumpliá que L ω L velocidd ngul ω es un vecto diigido lo lgo del eje de gio m (ms) Tslción v (velocidd linel) p (momento linel o cntidd de movimiento) otción (momento de ineci) ω (velocidd ngul) L (momento ngul o cinético) Copyight (c) 000 by W. H. Feemn nd Compny nd Woth Publishes (Feemn/Woth). 6. Consevción del momento ngul Ecución fundmentl en l dinámic de otción p un sistem de ptículs o sólido ígido exteno dl0 dt Si el sistem está isldo o exteno 0 se cumple que dl dt 0 constnte 0 exteno L0 Po tnto, en un sistem isldo el momento ngul o cinético pemnece constnte (no ví con el tiempo) L inicil L finl 4
6. Segund ley de Newton en l dinámic de otción En dinámic de tslción se tiene que F m En dinámic de otción se h de cumpli que α m (ms) v (velocidd linel) (celeción linel) p (momento linel o cntidd de movimiento) F (fuez) Tslción otción (momento de ineci) ω (velocidd ngul) α (celeción ngul) L (momento ngul o cinético) (momento de un fuez) omento de un fuez especto un punto O omento del vecto v especto l punto O OP v v P Si v ps se un fuez F, el momento ps se momento de un fuez especto un punto F 6. omento de un fuez especto un punto F Si clculmos el módulo del momento se obtiene que F sinφ F pependicul Sólo l componente pependicul de l fuez contibuye l momento y po tnto l otción Oto modo de clcul el módulo del momento F( sin φ) Fd donde d es el bzo del momento 5
7. Tbl esumen x (desplzmiento linel) m (ms) F (fuez) Tslción v (velocidd linel) (celeción linel) p mv (momento linel o cntidd de movimiento) F dp/dt F m (ª ley de Newton) p incil p finl (consevción de l cntidd de movimiento) otción θ ( desplzmiento ngul) ω (velocidd ngul) α (celeción ngul) (momento de ineci) L ω (momento ngul o cinético) (momento de un fuez) dl/dt α (ª ley de Newton) L incil L finl (consevción del momento ngul o cinético) Leyes de consevción El momento linel P (si F ext 0) se consev El momento lngul L (si τ ext 0) se consev Ve: http://www.youtube.com/wtch?vv3usfh4q&fe tueelted Piuel:http://www.youtube.com/wtch?v7y_mlt Wp EL GÓSCOPO 6
NTODUCCÓN Un gióscopo o gioscopio es un dispositivo mecánico que muest el pincipio de consevción del momento ngul. En físic tmbién es conocido como ineci gioscópic. L esenci del dispositivo es un ms con fom de ued gindo lededo de un eje. A su vez está montdo sobe un sistem que pemite que el eje pued tom culquie oientción. Un vez que está gindo tiende esistise los cmbios en l oientción del eje de otción. Ve:http://www.youtube.com/wtch?vcquvA_p EsA CONSEVACÓN DEL OENTO ANGULA L p m v El momento ngul, momentum ngul o momento cinético, de símbolo L, en físic clásic, es igul l poducto vectoil de l cntidd de movimiento p (tmbién llmdo momento linel o momentum) po el vecto de posición,, del objeto en elción l punto considedo como eje de otción. El momento de ls fuezs que ctún sobe un sólido ígido hce cmbi el momento ngul con el tiempo El pincipio de consevción del momento ngul fim que si el momento de ls fuezs exteioes es ceo (lo que no implic que ls fuezs exteioes sen ceo, que se un sistem isldo), el momento ngul totl se consev, es deci, pemnece constnte. τ ex 0 L 0 dl τ dt ex NECA GOSCÓPCA En genel cundo plicmos un fuez un cuepo, este tiende movese en l diección de l fuez. Esto es pticulmente cieto en ls tslciones. En el cso del gioscopio o gióscopo, ocue un hecho pdójico. El movimiento del mismo es pependicul l diección de l fuez que gene el movimiento!!! 7
FUNDAENTOS FÍSCOS L ecución fundmentl que descibe el compotmiento del gioscopio es: d L d( ω) τ α dt dt donde: el vecto τ es el momento de ls fuezs extens sobe el cento de ms del gioscopio el vecto L es su momento ngul L pesesión gioscópic pece cundo se le plic un cupl o p l gióscopo. Po ejemplo si el sopote de un τ ued de biciclet (o gióscopo) no coincide con el cento de ms (ve Fig.) pece un p (τm.xg). El lug de ce l ued, como lo hí si no ot, l ued comienz movese hoizontlmente. Es deci comienz peces. L velocidd ngul de pesesión l designmos po Ω P y tiene diección veticl. PECESÓN d L m g dt Ω p Ve: http://www.youtube.com/wtch?vh9_0gv8ffo Pm.g Pesesión de un ued L 0 Pesesión de un tompo 0 Ω p L 0 τ x P L 0 Ω p 8
NUTACÓN Un obsevción cuiddos del movimiento de un gioscopio evel Asocido l movimiento de pesesión pece un cebeceo u oscilción del eje, est oscilción veticl denomind nutción. Ve:http://www.youtube.com/wtch?v75B O8ytZs HSTOA 87Johnn Bohnenbege (en l Univesidd de Tubingen) descube el gióscopo 85 El científico fncés Jen Bend León Foucult (86-64) fue el pimeo en us el témino gioscopio. Diigió multitud de expeimentos con gioscopios y se le concedió l invención del dispositivo. 85-968 Se ce un nuevo estilo de gioscopio que us el esfuezo de tosión gvitcionl p consegui que el gioscopio ote lededo de un bse centl. 909 Elme A. Spey constuye el pime piloto utomático p eonves usndo gioscopios. Bohnenbege Foucult Spey Tipos de Gioscopios 9
Ve Gioscopios en cción http://www.youtube.com/wtch?v75bo8ytzs http://www.youtube.com/wtch?vcquva_pesa Ve clses en: http://video.google.com./videoply?docid48 804863890486&eiX87oSp4NnYpAoq3ucA &qmomento+ngul+clses+video&hles# Poblems esueltos Ejemplos Tbjo y Enegí Tbjo hecho po un toque τ ctundo po un desplzmiento ngul θ : W τθ Potenci: P dw d τ θ τω dt dt 0
Poblems: Poles Un ms m cuelg de un pole de dio unid un disco. El momento de ineci de l pole +disco es Ptiendo del eposo, cul de l velocidd v f cundo el cuepo desciende un distnci L. α T m mg L Poles... Aplicndo Digm de cuepo libe: F m ---- sobe ms m mg - T m Pole +disco τ α τ T α α (conexión ente celeciones) Encontmos v f v.. L 0 + T α m T mg m g m + m g m + v f L L Poblem: oto tslción Un objeto de ms, dio, y momento de ineci ued po un plno inclindo (ángulo θ con especto l hoizontl. Cuál es l celeción? Considemos tslción del C y otción lededo del C sepdmente. θ
oto tslción... Ficción f cuses otción. Digm de cuepo libe F NET C En x otción C usmos τ α τ f y C α g sin θ - f C f C f C x y θ g f oto tslción... C despejndo: g sinθ - f y f sin θ g + C m C Cso de un Esfe mciz C 5 sin θ 5 g gsin θ 7 + 5 θ cm quin Atwood Cul es l celeción? Digm de cuepo libe (tes cuepos) P ls mss que cuelgn: F m +m g -T m m g - T -m P l Pole τ α P un disco: ( T + T ) α α T m m g + y x T m m g
quin Atwood Despejmos. m g - T +m () α y x -m g -T m () T T T T m m m + m + g (3) m m g m m g 3