.Inst. Edu JORGE ROBLEDO PLANEACION DEL PRIMER PERIODO Matemáticas grado 6 año 2012 MATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde.
Geometría Geometría (del griego geō, 'tierra'; metería, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las medidas y formas de las figuras Y y Plano (Dos dimensiones) X z X Elementos del plano cartesiano: 2. 3. 4. S Espacio (Tres Dimensiones) En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área, diámetro y perímetros de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. 1. ca. Para nombrarla se utiliza una letra del abecedario. Dicho de otro modo recta significará siempre una línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para enfatizar el hecho de que la recta no termina. ejes principales: son dos rectas que se cruzan perpendicularmente. Una de ellas llamada eje x y la otra llamada eje y pero a paralelas a éstas hay otros ejes que se llaman secundarios. El punto donde se encuentran los ejes principales se llaman origen del plano cartesiano. El punto donde se encuentren los ejes secundarios se llaman coordenadas cartesianas. El punto donde se interceptan 2 ejes secundarios, o un eje secundario y uno principal es llama Coordenadas cartesianas. Las coordenadas se representan como una pareja de valores (x abscisas, yordenada). quiere decir que la primer componente(abscisas) representa el valor de la (x), y la segunda componente(ordenada) es el valor de la (y) Definiciones preliminares en geometría: Postulados Por dos puntos pasa una recta y solamente una. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común Una línea tiene una sola dimensión: longitud Propiedades de la recta: I. II. III. IV. V. VI. 1. Punto, recta y plano son términos no definibles. 1 punto: figura geométrica a dimensional, es decir no tiene dimensión, pero por abuso del lenguaje se define con la huella que deja un lápiz perfectamente puntiagudo al dejarlo caer en una hoja de papel 2. Recta o línea: conjunto de puntos que van desde menos infinito hasta mas infinito de una misma dirección. Comúnmente se usa el sinónimo de Recta para referirse a una línea en geométri- Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno. Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están contenidos en un plano, y sólo en uno. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno. Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos. En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo. Un segmento tiene un punto medio y sólo uno. semirrecta: segmento de recta de la cual conocemos en donde comienza pero no donde termina. A C B 2. segmento de recta: pedazo de recta de el cual sabemos en donde comienza y también en donde termina. Para nombrarlo utilizamos dos letras del abecedario, una al inicio y otra al final.
A B F C 3. Prolongación de un segmento de recta: para prolongar un segmento de recta trazamos líneas punteadas a partir de los segmentos de recta en uno o ambos lados si es el casa. H b. rectas secantes: dos rectas son secantes cuando se interceptan en alguna parte. Ejemplo: A B Vértice Dos o más rectas se pueden relacionar como paralelas o secantes: a. paralelas: dos rectas son paralelas cuando una esta al lado de la otra, es decir a la misma distancia y nunca se juntan ni tampoco se separan. Ejemplo: l1 Actividad en de papel milimetrado Dibujar Puntos Dibujar 5 líneas Dibujar 5 semirrectas Dibujar 5 segmento de R 5 Dibujar 5 Prolonga- Dibujar líneas paraleción de una semirrec- las ta Dibujar Líneas per- Dibujar líneas secanpendiculares tes l2 Figuras geométrica de dos lados Para representar líneas paralelas se utiliza el símbolo. Del ejemplo anterior se puede hacer la anotación l1 l2, que se lee: l1 paralela con l2 Actividad: realizar dos graficas de rectas que se intercepten ellas y dos que se interceptan sus prolongaciones Ángulo: grado de apertura que existe entre dos rectas que se cortan en un punto común llamado vértice Rectas paralelas: rectas que al prolongarse continuamente no llegan a tocarse en ningún punto. Se denota como l1 l2 l1 l2 Las figuras geométricas de dos lados son comúnmente llamados ángulos. Ángulos: Figura geométrica que se forma con la intersección o la prolongación de dos rectas secantes o perpendiculares.. Lado inicial Vértice Lado final Los ángulos tienen las siguientes partes o elementos: 1. 2. Rectas perpendiculares: rectas que se cortan entre sí formando siempre un ángulo recto 3. 4. se conforma por la intercepción de 2 líneas secantes el punto donde se intercepta es el vértice del ángulo tiene un lado inicial tiene un lado final
Un ángulo se puede nombrar de dos formas: una con nuestro alfabeto induarabigo o el alfabeto griego 1. con el alfabeto griego: para nombrar un ángulo con el alfabeto griego se puede utilizar una de las siguientes letras: Ejemplo Alfa Beta Gamma Delta Épsilon Zeta Eta Teta Iota Kappa Lambda Mu α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ 2. Nu Xi Ómicron Pi Rho Sigma Tau Ípsilon Fi Ki Psi Omega ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω negativa: cuando lo hacemos en el mismo sentido de las manecillas de el reloj Medida de un ángulo Para medir un ángulo utilizamos un elemento llamado transportador Para medir un ángulo se utilizamos un instrumento llamado transportador. 2. con el alfabeto induarabigo: para nombrar un ángulo con el alfabeto utilizamos la letra que va en el medio. Colocando el vértice del ángulo en el vértice del transportador de tal forma coincida el vértice del transportador, y el lado inicial del ángulo quede en le punto cero del transportador EJEMPLOS: la siguiente gráfica muestra como efectuar la medida en los ángulos: alfa( ) y el BAC Actividad: dibujar 5 ángulos y nombrarlos Forma de medir un ángulo Para medir un ángulo lo podemos hacer de dos maneras: 1. positivo: cuando lo hacemos al sentido contrario de las manecillas del reloj
A B Cóncavo > 270 C BAC Clasificación de ángulos según su medida Nulo = 0º Ángulo Agudo: Ángulo entre 0º y 90º C o mp l e t o = 3 6 0 Negativo < 0º Ángulo Recto: Ángulo de 90º. Mayor de 360 Ángulo Obtuso: Ángulo 90º. ma y o r de En resumen: Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como: Á n g u l o ma y o r d e 9 0 º. Llano = 180
1. Un ángulo central: Es aquel tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados se intersecan con la circunferencia. Ejemplo A B 0 Actividad2 en hojas de papel milimetrado 2 ángulos agudos Líneas 5 2 ángulos rectos Segmento de R 5 2 ángulos obtusos Líneas paralelas 2 ángulos agudos Líneas secantes Actividad 3 Elaborar la siguiente construcción: sobre un mismo punto construir 5 ángulos. Luego sobre ese mismo punto construir una circunferencia D C Los ángulos AOB y el ángulo COD, son iguales, tiene la misma medida. 2. Ángulo Inscrito. Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y sus lados son secantes a ésta. B 0 D 3. Ángulo circunscrito Ángulo cuyo vértice está por fuera de la circunferencia y sus lados son tangentes a ésta. B Conclusiones: 1. Una circunferencia tiene 360 2. Una circunferencia se compone de muchos ángulos centrales. 3. Una circunferencia se compone de muchos ángulos centrales RELACIONES DE ANGULOS CON LA CIRCUNFERENCIA 0 D RELACIONES ENTRE ANGULOS Ángulos consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando el lado final del primero es el lado inicial del segundo.
Se dice que dos ángulos son congruentes cuando ambos ángulos tienen la misma medida. Actividad 1: Dibujar y nombrar 5 pares de ángulos consecutivos. Los ángulos opuestos por el vértice son un ejemplo de ángulos congruentes. 1. Se denominan: Ángulos complementarios: si suman 90º, Los ángulos y el ángulo, son iguales, tiene la misma medida. Es decir son opuestos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice si tiene el vértice en común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro. Los ángulos y el ángulo, son opuestos por el vértice Actividad 2: Dibujar y nombrar 5 pares de ángulos Opuestos por el vértice. Ángulos suplementarios: si suman 180º 2. ÁNGULOS QUE SE FORMAN CON DOS RECTAS SECANTES: Ángulos consecutivos son aquellos que están uno al lado del otro. Es decir, el lado final del uno es el lado inicial del otro. Los ángulos y el ángulo, son ánulos complementarios,
Actividad 3: Dibujar y nombrar 5 pares de ángulos consecutivos. Relaciones: Ángulos externos: 1, 3, 7, 8. Ángulos internos: 2,4,5,6. Ángulos internos alternos: 2,4,5,6. Figuras geométrica de tres lados: 3. Dos ángulos son Ángulos suplementarios cuando son consecutivos y la suma de sus valores es un ángulo de 180º Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180. Por consiguiente el suplemento de ángulo es lo que le falta a dicho ángulo para medir 180º. Las figuras geométricas de dos lados son los triángulos, tienen las siguientes partes o elementos: 1. Según la longitud de sus lados Equilátero: Es el único triángulo regular, todos tienen la misma longitud sus lados Actividad 4: Dibujar y nombrar 5 pares de ángulos suplementarios. 1. Dos ángulos son Ángulos Complementarios cuando son consecutivos y la suma de sus valores es un ángulo de 180º Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180. Por consiguiente el complemento de ángulo es lo que le falta a dicho ángulo para medir 90º. Actividad 5: Dibujar y nombrar 5 pares de ángulos Complementarios. Isósceles: El lado distinto se llama base = AB, y tiene dos lados de igual longitud Escaleno: Tiene todos sus lados de diferente longitud 1. Des ángulos son opuestos por el vértice tiene el vértice en común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro. 2. Los ángulos AOC y el ángulo DOB, son iguales, tiene la misma medida. Por ser opuestos por el vértice, Ángulos que se forma entre dos rectas y una secante que las corta 1 3 4 2 6 5 8 7 2. Según sus ángulos Acutángulo: Sus 3 ángulos interiores son agudos.
Rectángulo: < CAB = 90, < ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman catetos. El otro, hipotenusa. Poliedros: poli = varios y hederos = caras(figuras de varias caras) figuras tridimensionales cerradas, compuestas de polígonos que forman sus caras Lugar geométrico: se llama así a todo conjunto de puntos que tiene la misma propiedad. Triangulo rectángulo y sus partes Plano Plano. Es una superficie llana que se extiende Obtusángulo: < CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos. indefinidamente. El tablero, una puerta o la ventana nos da la idea de un plano. Igual que en la recta, y en todas las figuras gealtura: recta que corta perpendicularmente un lado de una figura cerrada ométricas, se puede considerar un plano como un conjunto de puntos. Postulados: Punto medio: punto de una recta que la divide exactamente en dos partes iguales Bisectriz: semirrecta que divide a un ángulo exactamente en otros dos ángulos iguales; tiene su origen en el vértice y esta en el mismo plano. Mediana: recta que parte de un vértice en una figura hasta el punto medio de su lado opuesto Diagonal: segmento rectilíneo trazado desde dos vértices distintos de una figura geométrica Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno. Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está contenida en el plano. Línea quebrada o poligonal: se llama así a la figura formada por segmentos consecutivos de rectas no pertenecientes a una recta continua. Dos puntos de un mismo semiplano determinan Plano: área bidimensional específica del espacio semiplano determinan un segmento que corta a la Semiplano: porción de un plano que ha sido cortado por una recta recta. Polígonos: poli = varios y gonos= lados(figuras de varios lados). figuras planas cerradas, compuestas de rectas que forman sus lados un segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto Si dos planos tienen un punto común tiene una recta común.
ÁREA Área: superficie ocupada por puntos continuos que se desplazan en dos direcciones. Si una recta la desplazamos de posición, su huella generara un área. Posee dos dimensiones: el largo, el ancho CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES AREAS NOMBRE DEFINICION Triángulo Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta. h=altura b=base Paralelogramo Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos. h=altura b=base Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales. l=lado d=diagonal Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º d=diagonal mayor d'=diagonal menor Trapecio Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. b=base mayor b'=base menor h=altura Polígono regular Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. a=apotema l=lado n=número de lados Círculo Es la porción de plano limitada por la circunferencia. r=radio Rombo FIGURA TERMINOS FORMULA A=b.h A=p.r²
VOLUMEN Volumen: espacio ocupado por puntos continuos que se desplazan en tres direcciones. Si un área la desplazamos de posición, su huella generara un volumen. Posee tres dimensiones: el largo, el ancho y la altura VOLUMENES NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA Prisma Cuerpo geométrico cuyas bases son dos poligonos iguales y paralelos y sus caras laterales son paralelogramos B=área de la base h=altura V=h.B Ortoedro Prisma cuyas bases son dos rectángulos. l=largo a=ancho h=altura V=h.l.a Cubo Ortoedro donde las tres dimensiones son iguales. a=lado Pirámide Cuerpo geométrico cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos B=área de la base h=altura Cilindro Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados r=radio h=altura Cono Es el Cuerpo geometrico engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo alrededor de uno r=radio h=altura Esfera Cuerpo geometrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro. r=radio V=a³ V=h.p.r²
Hipotenusa Cateto opuesto Tienen 7 lados. θ Cateto adyacente Octágonos Figuras geométrica de cuatro o más lados: Las figuras geométricas de tres lados son los cuadriláteros, tienen las siguientes partes o elementos: Cuadriláteros: Tienen 8 lados. Eneágono Tienen 4 lados. Pentágonos Tiene los 9 lados. Decágono Tienen 5 lados. Hexágonos Tiene 10 lados. Endecágono Tienen 6 lados. Heptágonos Tiene 11 lados. Dodecágono
Tiene 12 lados. Tridecágono Tienen 13 lados. Tetra decágono Tiene 17 lados. Octadecágono Tiene 18 lados. Eneadecágono Tienen 19 lados. Tiene 14 lados. Icoságono Pentadecágono Tiene 20 lados. Tiene 15 lados. Hexadecágono Tiene 16 lados. Heptadecágono Según sus ángulos Convexos
Cuestionario de definiciones básicas de geometría: (Nota: Resolver este cuestionario para el quiz oral) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Qué es un punto? Qué es una recta? Qué es un segmento de recta? Qué es una semirrecta? Qué es una prolongación de una recta? Qué son rectas secantes entres si? Qué es un ángulo? Cómo se mide un ángulo? En medida de ángulos que es un grado? Qué es un ángulo agudo? Qué es un ángulo recto? Qué es un ángulo llano? Qué es un ángulo obtuso? Qué es un ángulo completo? Qué es complemento de un ángulo? Qué es suplemento de un ángulo? Qué son ángulos adyacentes? Que son ángulos consecutivos? Qué es un triangulo? Cuántos tipos de triángulos hay? Qué es un triangulo rectángulo? Qué es un triangulo obtusángulo? Qué es un triangulo equilátero? Qué es un triangulo isósceles? Qué es un triangulo acutángulo? Qué es una recta tangente a una circunferencia? Qué es perímetro en geometría? Qué es una recta tangente a un circunferencia? Qué es una recta Secante a una circunferencia? Qué es el diámetro en una circunferencia? Qué es un arco en una circunferencia? En medida de ángulos que es un Radian? Qué es una circunferencia unitaria? Cuántos son los cuadrantes en el plano cartesiano? Qué es una figura geométrica circunscrita en otra? Qué es una figura geométrica inscrita en otra?