NTRODUCCÓN AL MOVMENTO PLANO Índice. ntroducción al movimiento plano.. Definición cinemática de movimiento plano..................... Caso de Traslación pura........................... Caso de Rotación pura.......................... Polares o Curvas de rodadura 3.. Propiedades de las curvas de rodadura.................... 3.. Determinación analítica de las curvas de rodadura.............. 3... somorfismo del plano euclídeo y el plano complejo......... 3... Campo de velocidades del movimiento plano y situación del CR.. 3..3. Ecuaciones de la base.......................... 4..4. Trasformación compleja........................ 4..5. Ecuaciones de la Ruleta........................ 4.3. Determinación geométrica de las curvas de rodadura............. 4.3.. Perfiles conjugados........................... 4.4. Teorema de la Escuadra............................ 5.4.. Movimiento de la escuadra por una curva............... 5.4.. Teorema de la Escuadra........................ 5 3. Relación entre la velocidad de sucesión del centro instantáneo y la velocidad angular 5 4. Punto de velocidad equipolente a la de sucesión del centro instantáneo 6 4.. Ejemplo del disco que rueda sin deslizar sobre una recta.......... 6 5. Campo de aceleraciones 7 5.. Fórmula del campo de aceleraciones...................... 7 5.. Componentes tangencial y normal de la aceleración............. 7 5.3. Centro de aceleraciones............................. 7
. ntroducción al movimiento plano.. Definición cinemática de movimiento plano Se dice que un sólido S tiene un movimiento plano respecto a otros si las velocidades de todos sus puntos son siempre paralelas a un plano fijo de S. Sea a un versor normal a dicho plano. M S, a (: d a = ) v M dt a = t {{ Fijo en Para dos puntos cualesquiera A,B de S la fórmula del campo de velocidades es: A,B S, v A = v B + ω BA Pre-multiplicando escalarmente por a se tiene: a v A = a v B + a ( ω BA) = = BA ( a ω ), A,B S ω = λ a... Caso de Traslación pura Si λ(t) = ω (t) = Traslación pura permanente. Su estudio es trivial por la sencillez del campo uniforme de velocidades.... Caso de Rotación pura Si λ(t) v MD = v M ω = Rotación pura permanente. ω ERMD π M (M; v M ) π N(N; v N ) porque v MD = Por la estructura helicoidal del campo de velocidades de este segundo caso en cualquier plano π perpendicular al vector ω se dan todas las velocidades posibles y todas ellas contenidas en el plano (por tener ω dirección constante esto se produce de forma permanente). Nos circunscribimos a dicho plano geométrico y consideramos sendos planos π (ligado al sólido móvil) y π (ligado al referente del movimiento) que coinciden geométricamente en π. El movimiento S /S es equivalente al que tiene el planoπ con respecto al planoπ. Las ventajas de esta equivalencia se mostrarán posteriormente. Consecuencias: N ERMD a π t S S C C El ERMD corta al planoπ en un punto denominado centro instantáneo de rotación (CR). Las axoides del movimiento son cilindros de generatrices paralelas a a.
. Polares o Curvas de rodadura Se llama base o polar fija a la intersección de la axoide fija con el plano π (coincide con el lugar geométrico que describe el CR en el plano π ). Se llama ruleta o polar móvil a la intersección de la axoide móvil con el plano π (coincide con el lugar geométrico que describe el CR en el plano π )... Propiedades de las curvas de rodadura Sea el CR del movimiento S /S. Se tiene: v MD = v = Movimiento sin deslizamiento Sea el mosquito (sólido ) al que le gusta estar siempre en el centro instantáneo de rotación. Por composición de movimientos se tiene: v = v + v = v (denominada velocidad de sucesión del centro instantáneo) Sean C y C las polares fija y móvil respectivamente. Tomemos origen de arcos de ambas en la posición inicial y sean s y s los parámetros longitud de arco respectivos. Por definición, se tiene: v = ds dt t C v = ds dt t C v = v { t C = t C = t Tangencia de las curvas de rodadura s = s + Cte gualdad de arcos recorridos Supongamos que π es el plano z = de un sistema de referencia. Sean ω = λ k la velocidad angular y t el versor tangente común a las curvas de rodadura en el CR. La componente de pivotamiento sería: ω p = ( ω N) N ω N p = t = Movimiento sin pivotamiento a ω Luego el movimiento plano consiste en una rodadura sin pivotamiento y sin deslizamiento. De aquí que a las polares se las denomine también curvas de rodadura... Determinación analítica de las curvas de rodadura... somorfismo del plano euclídeo y el plano complejo R C r = x ı+y j x+iy = ẑ ω = ω k R ω = ω k R ω r R i( ω k)ẑ C O = ω v O ω Ô = i vo ω x R O α ω r ẑ α ( ω ω k) π y... Campo de velocidades del movimiento plano y situación del CR y y ω r i( ω k)ˆr v M = v +iωîm = iωîm (CVMP) x Ô = i θ( ξ +i η) = θ( η +i ξ) (CR) 3 η O θ x O ξ
..3. Ecuaciones de la base Ô = ÔO+Ô Componentes x = ξ η θ y = η + ξ θ Geometría x = ξ dη dθ y = η + dξ dθ..4. Trasformación compleja y y ρ α = ρ β+θ = ρ β θ ẑ = ẑ e iθ ẑ = ẑ e iθ Giro de ángulo θ ρ α ρ O β θ x..5. Ecuaciones de la Ruleta O x Ô = Ô e iθ = θ(cosθ isinθ)( η +i ξ) x = ξsinθ ηcosθ θ Componentes y = ξcosθ+ ηsinθ θ Geometría x = dξ dη sinθ cosθ dθ dθ y = dξ dη cosθ+ sinθ dθ dθ.3. Determinación geométrica de las curvas de rodadura.3.. Perfiles conjugados N Se denominan Pareja de perfiles conjugados a una curva S del plano móvil y su envolvente S M S en el plano fijo o viceversa. Los casos degenerados también tienen interés, como pronto veremos. S Propiedad fundamental de los perfiles conjugados: la perpendicular común a una pareja de perfiles conjugados C pasa por el CR. Demostración: C Sea una escuadra NM (sólido ) que se mueve de forma que su lado MN permanece siempre normal en M a la pareja de perfiles conjugados en su punto de contacto. Por composición de movimientos se tiene: v M = v M + v M De las propiedades de los movimientos se concluye que: v M t M S v M t M S t M S = t M S t M (Envolvente e nvoluta) vm t M MN v M = iω ÎM ÎM MN ÎM,M común,m,n alineados 4
.4. Teorema de la Escuadra.4.. Movimiento de la escuadra por una curva Se tiene una escuadra NM (plano ) que se mueve por un plano de forma que su lado M es siempre tangente una curva S del mismo en M (y por tanto MN perpendicular a la curva en M). A este movimiento le denominamos movimiento de la escuadra por una curva. Coincide, obviamente, con el movimiento del triedro intrínseco de una curva plana. N M Γ S.4.. Teorema de la Escuadra γ En el movimiento de la escuadra la base es la evoluta plana Γ de la curva S y la ruleta es el lado normal MN de la escuadra. Demostración: M y S son una pareja de perfiles conjugados, y en la perpendicular común MN estará el centro instantáneo. MN y Γ son una pareja de perfiles conjugados y en su perpendicular común γ estará el centro instantáneo. La intersección MN γ = γ (centro de curvatura). El lugar geométrico que describe el punto en el plano fijo es la evoluta plana Γ de la curva, que será la base del movimiento de la escuadra. El lugar geométrico que describe el punto en el plano móvil es el lado normal NM de la escuadra, que será la ruleta del movimiento de la escuadra. 3. Relación entre la velocidad de sucesión del centro instantáneo y la velocidad angular γ Sean C y C la base y la ruleta de un movimiento plano genérico con CR en y Γ y Γ su evolutas planas respectivas. Sea la escuadra N (sólido ) que se mueve con su vértice en por la base/ruleta. ω = ω ω { v = iω γ = v ω = i v Îγ v = iω γ = v ω = i v Îγ ω = i v ( Îγ Îγ ) Γ N C Γ C γ 5
4. Punto de velocidad equipolente a la de sucesión del centro instantáneo Si el movimiento plano no es una traslación pura, obligatoriamente hay un único punto del movimiento π /π cuya velocidad es equipolente a la de sucesión del centro instantáneo. J S v J v v J = iω ÎJ = v entrando con la relación entre la velocidad angular y la velocidad de sucesión nos queda: v = (ii) v ( Îγ Îγ )ÎJ ÎJ = Îγ Îγ 4.. Ejemplo del disco que rueda sin deslizar sobre una recta Sistema de referencia ligado al disco: O C origen en el centro del disco Ox y Oy diámetros ortogonales del disco Posicionamiento y Cinemática: Ô C = ξ +ir v C = dôc dt = ξ ang( ı, ı) = θ ω = θ Condición de no-deslizamiento: v = = v C iω Ĉ = ( ξ R θ) ξ = R θ y C O R O θ ξ x x Curvas de rodadura: La determinación del CR en este caso es más sencilla por consideraciones cinemáticas que por geométricas. Una pareja de perfiles conjugados puede ser la circunferencia del disco y el eje O x, por ser curva del plano móvil y su envolvente en el plano fijo. Una segunda pareja de perfiles conjugados sería el punto M del la periferia del disco que coincide con en el instante en cuestión y su trayectoria en el plano fijo (la cicloide). Las normales a ambas parejas serían respectivamente C y O. C O. La determinación geométrica de las curvas de rodadura es sencilla una vez conocida la posición del CR y sus lugares geométricos en ambos planos. base: El punto describe en el plano π el eje O x. ruleta: El punto describe en el plano π la periferia del disco. Punto de velocidad equipolente a la de sucesión del centro instantáneo. Usando la definición cinemática: v = dô = ξ = R θ dt v J = i θîj v = v J R θ = θ( i ÎJ) ÎJ = ir J C y Usando la fórmula geométrica: ÎJ = = Îγ Îγ ir ÎJ = ir J C 6
5. Campo de aceleraciones 5.. Fórmula del campo de aceleraciones Dada la fórmula de campo de velocidades: v M = iω ÎM vamos a obtener por derivación la fórmula para el campo de aceleraciones. γ M = d vm dt = i dω dt ÎM +iω d dt (Ô M Ô) = iα ÎM +iω ( v M v ) = = iα ÎM +iω ( v M v ) J = iα ÎM +iω (iω ÎM iω ÎJ) = = iα ÎM ω(îm ÎJ) = iαîm ω ĴM 5.. Componentes tangencial y normal de la aceleración Como la velocidad de un punto es tangente a su trayectoria, la componente tangencial es paralela a la velocidad de M. De la fórmula del campo de velocidades del sólido se deduce que M es perpendicular a la velocidad de M, luego la componente normal es paralela a M. Sea M la proyección ortogonal de J sobre M. Se tendrá: { γ M = iα ÎM ω ( γ (ĴM + M M) M) t = iα ÎM ω ĴM ( γ M) n = ω M M 5.3. Centro de aceleraciones Se denomina centro de aceleraciones al punto H del plano que tiene aceleración nula. H S γ H = iα ÎH ω ĴH = iα ÎH = ω(ĵ +ÎH) ÎH = ÎJ β=arctan( α ω ) i α = ÎJe iβ cosβ ω γ M = iαîm ω ĴM = iα ( ÎH +ĤM) ω ( ĴH +ĤM) = = iα ĤM ω {{ ĤM {{ ĤM ĤM El campo de aceleraciones se comporta en cada instante como el de una rotación alrededor del centro instantáneo de aceleraciones H, cuya localización directa está dada por: γ M = iα ĤM ω ĤM = ( )ĤM iα ω γ MH M = = ω +iα ω iα ω 4 +α γ M 7