SUCESIONES DE CAUCHY DE NÚMEROS RACIONALES La construcción más habitual, es la que se utiliza los límites las sucesiones de Cauchy del cuerpo Donde Una sucesión, se dice que es de CAUCHY si satisface: ε + n 0 Z + tal que m, n Z + con m, n > n 0 a n - a m < ε Sean Para construir los números reales, se utilizan los siguientes resultados C = { : = es sucesión de Cauchy C 0 = { : = es sucesión de Cauchy con límite cero} Ya, que todas las sucesiones de Cauchy con convergentes C Proposición- La relación  sobre C, definida por  cuando - C 0 es de equivalencia ü Demostración: Como se cumplen las propiedades 1- Reflexiva-  Ya que, - = (0 C 0 2- Simétrica- Si  (, entonces  ( Ya que, - C 0 ( - C 0 3- Transitiva- Si  ( y (  (c n entonces  (c n Ya que, -, ( C 0 - + ( = - + = C 0 Luego, teniendo en cuenta que se cumplen las tres propiedades, se cumple, que  es una relación de equivalencia C Definición- Denominamos al conjunto cociente = C / C 0 Los elementos son clases de equivalencia de la forma: α = [ ] = { ( :  ( }
Donde es un representante de la clase α = [ ] C Proposición- Si C - C 0, ε 0 > 0 (ε 0 y un n 0 tal que: > ε 0 o bién < ü Demostración: Por hipótesis no tiene límite cero Luego ε 0 + tal que para todo n, se puede encontrar m tal que a m > 2ε 0 Además, como es una sucesión de Cauchy, n 0 tal que: a m \ < ε 0 par, m n 0 Que equivale a a m < < a m par, m n 0 Elijamos m n 0 de manera que a m > 2ε 0 Entonces, o bien: a m > 2ε 0 ó a m < - 2ε 0 En el primer caso > a m > 2ε 0 = ε 0 par n 0 En el segundo caso < a m < - 2ε 0 = par n 0 C Definición- Sea α = [ ], β = [( ], se designa por suma α + β = [ ] + [( ], [ ] = [ + ] + un representante de la clase [ + ] ü Esta definición es consistente, pues la suma de dos sucesiones de Cauchy es una sucesión de Cauchy y la suma α + β no depende de los representantes elegidos de α y β Para ver esto último hemos de probar que si (a n y ( son otros representantes de α y β respectivamente, entonces (a n + es otro representante de (α + β, es decir que si: Â (a n y ( Â (b n Entonces: + Â (a n + b' n Ya que por hipótesis: = lim n (
Luego: ( + ( a n + = + lim n ( = 0 C Proposición- (,+es un grupo aditivo abeliano ü Demostración: Las propiedades asociativa y conmutativa de la suma en son inmediatas Veamos, por ejemplo, la conmutativa: [ ]+[( ] = [ +( ] = [( + ] = [( ]+[ ] El elemento neutro es 0 = [(0 ] (la sucesión (0 es la sucesión constante cuyos términos son todos iguales a cero El opuesto de [ ] es [(- ] C Definición- Sea α= [ ], β = [( ], se designa por producto α β = [ ] [ ] = [ ] un representante de la clase [ ] ü Esta definición es consistente, pues el producto de dos sucesiones de Cauchy es una sucesión de Cauchy y el producto de α β no depende de los representantes elegidos de α y β Para ver esto último, hemos de probar que si (a n y ( son otros representantes de α y β respectivamente, entonces (a n es otro representante de (α β, es decir que si  (a n y (  (b n Entonces:  (a n Ya que por hipótesis: = lim n ( Además = + a n - a n = = + a n ( Como ( y ( a n son sucesiones de Cauchy, y por tanto, acotadas, y como el producto de sucesión acotada por otra con límite cero tiene límite cero = 0 = a n ( Luego: = 0
C Proposición- ( -{0}, es un grupo multiplicativo abeliano ü Demostración: Las propiedades asociativa y conmutativa del producto en son inmediatas El neutro para el producto es [(1] (La sucesión (1 es la sucesión constante cuyos términos son todos iguales a 1 Veamos que todo elemento de - {0} tiene inverso: Si [ ] 0, entonces C C 0, por tanto ε 0 + y n tal que a m > ε 0 para todo n n 0 Por consiguiente, 0 y a -1 n para todo n n 0 Sea ( la sucesión de números racionales definida por: = 0 si n < n 0 a -1 n si n n 0 Entonces, para p, q n 0 Se tiene b p b q = 1 a p 1 a q = a p a q a p a q a p a q 0 2 Y como la es una sucesión de Cauchy, para cadúmero racional positivo ε, existe un m 0, con m 0 n 0 tal que 2 b p b q a p a q 0 2 0 = para p, q n 2 0 0 Por consiguiente ( es una sucesión de Cauchy de números racionales que puede tomarse como representante de un elemento de Terminaremos la demostración probando que es [( ] es el inverso de [ ] Para ello tenemos que ver que [ ] [ ] = [( 1], es decir - 1 C 0 lim n - 1 = 0 Pero esto es inmediato puesto que par n 0 se tiene 1 = a -1 n - 1= 0 C teorema- Es un cuerpo ü Demostración: Ya hemos visto que es un grupo aditivo abeliano y que - {0} es un grupo multiplicativo abeliano Entonces, para ver que es un cuerpo, bastará ver probar que en el producto es distributivo respecto de la suma, lo cual es inmediato:
[ ] ( [( ] + [(c n ] = [ ] ( [( + (c n ] = [ ( ( + (c n ] = = [ ] + [ c n ] = = [ ] [ ( ]+ [ ] [ ( c n ] C Definición- α = [ ] es positivo si ε 0 + y n 0 tal que > ε 0 Esta definición no depende del representante elegido, ya que si (a n es otro representante, sería lim n = 0 y, por tanto existirá un natural m 0 > n 0 tal que < ε 0 /2 par m 0, luego a n = - a n > - - a n > ε 0 - (ε 0 /2 = ε 0 par m 0