Matemáticas Sesión #5. Función lineal y cuadrática.
Contextualización En esta sesión aprenderás a interpretar el concepto de función, para que sirve trabajar con funciones, que datos maneja y como se le llama a cada uno de los datos que se manejan en ella. Además se definirá la función lineal en forma de expresión matemática y se aprenderá a usar su gráfica. Aprenderás a interpretar la expresión que representa la función cuadrática y su gráfica además se describirán las características más importantes que tiene esta función tal como la obtención de su vértice, las raíces de la función o conocidas también como los cortes con los ejes.
Introducción. En matemáticas es muy común trabajar con expresiones algebraicas, las cuales se pueden utilizar como ecuaciones o como funciones, algunos cuestionamientos que nos debemos hacer al introducirnos al concepto de función, son: Qué es una función? Para qué son utilizadas las funciones en matemáticas? Qué tipos de funciones existen? La parábola es una función? Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2? Así como las expresiones algebraicas se reconocen por un nombre en particular debido a su grado exponencial así también a las funciones se les define o nombra.
Funciones lineales. Concepto de función. Se puede definir como una máquina que procesa datos de entrada arrojando así datos de salida o lo que conocemos como resultados. Por ejemplo: Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/79/functionmachine.svg/220px- FunctionMachine.svg.png solo para fines educativos.
Una función es una expresión algebraica representada por la letra f. Esta expresión está forma por términos numéricos y literales. La función se debe de expresar con la letra que va a ser la dominante para el proceso que se realice, por ejemplo: F(x) se lee F de x esto significa que x será la variable independiente, la cual a través de ella se realiza el proceso de la función. Otro ejemplo: F(x) = x2+6x+9
A esta función se le puede dar valores a la x, sustituyendo cada valor en la función y nos dará un resultado diferente por cada evaluación. Consideremos los valores de x = 1, 2, 3 sustituyendo en la función F (1) = (1)2 + 6(1) +9 = 1+6+9 = 16 Se realizó el proceso de elevar al cuadrado el primer término, luego se realizó la multiplicación del segundo término y por último se sumó el tercer término. De esta manera es como se evalúa una función para un valor de x, su variable. F (2) = (2)2 + 6(2) +9 = 4 +12+9 = 25 F (3) = (3)2 + 6(3) +9 = 9 +18+9 = 36
Función Lineal Una función f es lineal si y sólo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x)= mx + b, en donde a y b son constantes y a 0. Suponga que f(x) = mx+b es una función lineal y que y = f(x). Entonces y=mx+b, la cual es una ecuación de recta con pendiente m y b es la intersección con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta. Decimos que la función f(x)=mx+b tiene pendiente m. Ejemplo 1: Graficación de funciones lineales. Graficar f(x) = 6x 7
Solución: Aquí f es una función lineal con pendiente m=6 de modo que su grafica es una recta. Como dos puntos determinan una recta, sólo necesitamos graficar dos puntos y después dibujar una recta que pase por ellos. x y= f(x) 0-7 1-1 2 5
El dominio de una función lineal son todos los valores que se le pueden dar a x, estos valores son todos los números reales. El rango de una función lineal son todos los valores que se tienen para y=f(x) y éstos son todos los números reales. Por lo tanto: Dominio = (-, ) Rango = (-, )
Ejemplo 2: Determinación de una función lineal. Suponer que f es una función lineal con pendiente m = -4 y f(2) = 6. Hallar f(x). Solución: Ya que f es lineal tiene la forma f(x) = mx + b. la pendiente está representada por a entonces m = -4 según los datos del problema. Por lo tanto f(x) = -4x + b Ahora determinaremos el valor de b. Como f(2) = 6 en la expresión de f reemplazaremos el valor de x = 2 y resolvemos para b f(2) = -4(2) + b 6 = -8 + b 6+8 = b por lo tanto b = 14 De aquí que f(x) = -4x + 14
Función cuadrática. Una función f es una función cuadrática si y sólo si f(x) puede ser escrita en la forma f(x) = ax 2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a 0. Por ejemplo: f(x) = x 2 6x +9 y f(t) = 4t 2 son funciones cuadráticas. Sin embargo h(x)=6/x 2 no es cuadrática ya que no puede ser escrita en la forma que se definió.
La grafica de la función cuadrática se llama parábola. Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba y si a < 0 la gráfica abre hacia abajo. La siguiente grafica nos muestra la concavidad o abertura de una parábola. Extraído de: http://3.bp.blogspot.com/-38jwg_wmrwq/ujbs8mqgu-i/aaaaaaaaabw/6b94omgw13s/s1600/sin+t%25c3%25adtulop.png solo para fines educativos.
Cada parábola es simétrica con respecto a una recta vertical, llamada el eje de simetría. Esto es, si la página fuera doblada en una de estas rectas, las dos mitades de la parábola correspondiente coincidirían. El eje no es parte de la parábola pero ayuda para su bosquejo. En esta grafica puedes distinguir cada el eje de simetría y el vértice. Extraído de: http://4.bp.blogspot.com/_rkrgtnwk4m8/swalpmupgri/aaaaaaaaack/ww3pypa9q50/s1600/parabola01.png solo para fines educativos.
Grafica de una función cuadrática. La grafica de la función cuadrática y = f(x) = ax 2 + bx + c es una parábola. Si a>0, la parábola abre hacia arriba. Si a<0, abre hacia abajo. El vértice es b b, f 2a 2a La intercepción y es c.
. Ejemplo: Graficación de una función cuadrática. Graficar y = f(x) = x 2 11x +28 Solución: aquí a= 1, b= -11y c=28. Como a>0, la parábola abre hacia arriba y por lo tanto tiene un punto mínimo. La coordenada del vértice es: Para x: b 2a = 11 2 1 = 11 2 Para y: así el vértice es y también es el punto mínimo de la parábola.
. Ya que c=28, la intercepción en y = 28. Para encontrar las intercepciones en x, hacemos la función igual a cero y factorizamos para resolver la expresión: x 2-11x +28 = 0 (x - 7)(x - 4) = 0 así que x = 7 y x= 4. Ahora trazamos el vértice, el eje de simetría y las intercepciones en y y en x. Y la gráfica queda de la siguiente manera:
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Conclusión Recordemos que una función es una correspondencia entre los datos de un conjunto de salida, llamado Rango, y los datos de un conjunto de entrada, llamado Dominio, de forma tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno, y sólo uno, en el rango. La función lineal puede ser trazada a partir de conocer la pendiente de la recta y un punto por el que pasa. En resumen una función cuadrática es una ecuación de segundo grado que tiene 2 raíces reales. Para hacer su grafica necesitamos conocer el vértice, el eje de simetría y las intercepciones con los ejes x e y. La parábola puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo el signo que tiene su coeficiente a. La siguiente sesión se trabajara con el estudio de las Funciones exponenciales y logarítmicas.
Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Videos relacionados con la función lineal y cuadrática: Khanacademy. La ecuación de una recta. Consultado el día 10 de abril del 2014 de: https://es.khanacademy.org/math/algebra/linear-equations-andinequalitie/more-analytic-geometry/v/algebra--equation-of-a-line Khanacademy. Graficando una parábola con tabla de valores. Consultado el día 10 de abril del 201: https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/solving_graphing_qua dratics/v/graphing-a-quadratic-function Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografia Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall hispanoamericana, S.A.