Titulo: ÁREA DE UNA REGION PLANA Año escolar: MATEMATICA Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la siguiente dirección : martilloatomico@gmail.com Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que considere pueda ser incluido en el mismo. Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y se le enviará resuelto a la suya. Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -

ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Ejemplo : Calcular el área plana limitada por la función Y = X 2 4X + 5, el eje X, y las rectas X = y X = 3. = El resultado de la integral definida es 8/3 = 2,67. Se dice entonces que el área de la región plana que está limitada por la función Y = X 2 4X + 5, el eje X, y las rectas X = y X = 3 es de 2,67 unidades cuadradas. NOTA : Es bueno aclarar que cuando aplicamos la integral definida en las áreas que están ubicadas sobre el eje X el resultado lo obtendremos con signo positivo, mientras que en las áreas que están debajo del eje X el resultado lo obtendremos con signo negativo. Esta consideración no representa ningún problema en el cálculo del área. Simplemente este signo negativo nos indica que es un área que está debajo del eje X pero el área es la cantidad calculada con signo positivo. Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = y X = 3. Note que el índice inferior de la integral definida es y el índice superior es 3. Esto se debe a que el área que queremos calcular está limitada desde hasta 3. Ejemplo 2: Calcular el área plana limitada por la función Y = X 2 4X, el eje X, y las rectas X = y X = 3. 3 Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - -

Para calcular el área de una región plana que se encuentra sobre una función y debajo del eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = y X = 3. Note que el índice inferior de la integral definida es y el índice superior es 3. Esto se debe a que el área que queremos calcular está limitada desde hasta 3. 3 Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 3 y X = 5. Note que el índice inferior de la integral definida es 3 y el índice superior es 5. Esto se debe a que el área que queremos calcular está limitada desde 3 hasta 5. El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X. Luego podemos decir que el área de dicha región es de 22/3 = 7,33 unidades cuadradas. 5 3 Ejemplo 3: Calcular el área plana limitada por la función Y = 2X 4, el eje X, y las rectas X = 3 y X = 5. = (25 20) (9 2) = 5 +3 = 8 El resultado de la integral definida es 8. Se dice entonces que el área de la región plana que está limitada por la recta Y = 2X 4, el eje X, y las rectas X = 3 y X = 5 es de 8,00 unidades cuadradas. Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 2 -

Ejemplo 4: Calcular el área plana limitada por la función Y = 2X 4, el eje X, y las rectas X = y X =. El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X. Luego podemos decir que el área de dicha región es de 8,00 unidades cuadradas. Ejemplo 5: Calcular el área plana de la región limitada por la función Y = X 3 2X 2 5X + 6, el eje X, y las rectas X = y X = 2. Se calculan las raíces de de la ecuación de la función para saber donde dicha curva cruza al eje X. Aplicando la regla de Ruffini a Y = X 3 2X 2 5X + 6 se obtienen las 3 raíces (polinomio de tercer grado tiene tres raíces). X = ; X2 = 2 ; X3 = 3 Para calcular el área de una región plana que se encuentra sobre una función y debajo del eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = y X =. Luego se calcula donde están ubicados los máximos y mínimos relativos de la función en el intervalo [ - 2, 3 ] utilizando el criterio de la primera derivada (explicado en el capítulo anterior). Con toda esta información realizamos la siguiente gráfica : Note que el índice inferior de la integral definida es y el índice superior es. Esto se debe a que el área que queremos calcular está limitada desde hasta. = ( 4) ( + 4) = 3 5 = 8 Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 3 -

Al observar la grafica podemos visualizar que el área a calcular está conformada por dos regiones : una que está sobre el eje X desde - hasta y la otra que está por debajo del eje X desde hasta 2. Bajo estas circunstancias es recomendable realizar el estudio por separado y al final sumar el valor absoluto de las dos cantidades calculadas. Este resultado me indica que la región que está sobre el eje X desde - hasta tiene un área de = 0,67 unidades cuadradas. Procediendo a calcular el área que está por debajo del eje X tendremos : Procediendo a calcular el área que está por encima del eje X tendremos : 2 - El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X. Luego podemos decir que el área de dicha región es de = 2,42 unidades cuadradas. Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 4 -

Ya tenemos los dos valores de las dos áreas; la región que está sobre el eje X desde - hasta tiene un área de 0,67 unidades cuadradas y la región que está por debajo del eje X desde hasta 2 tiene un área de 2,42 unidades cuadradas. El área plana de la región limitada por la función Y = X 3 2X 2 5X + 6 el eje X, y las rectas X = y X = 2 será lógicamente la suma de las dos áreas calculadas : 0,67 + 2,42 = 3,09 unidades cuadradas Veamos las dos gráficas siguientes para verificar lo indicado anteriormente: Ejemplo 6: Calcular el área de la región plana limitada por la función Y = X 2 4X + 5, y la recta que pasa por los puntos (0,) y (5,6). Y En la gráfica superior izquierda observamos la región que está ubicada sobre el eje X y bajo la recta que pasa por los dos puntos dados. Y sabemos calcular su área de acuerdo a lo explicado anteriormente en el ejercicio 3 (pág. 2). En la gráfica superior derecha observamos la región que está ubicada sobre el eje X y bajo la parábola. Y sabemos calcular su área de acuerdo a lo explicado anteriormente en el ejercicio (pág. ). Luego : X Podemos observar que el área sombrada está ubicada bajo la recta y sobre la parábola. Hasta ahora, no conocemos un método para calcular el área de una región plana que se encuentre sobre el eje X y al mismo tiempo sobre una función. Sin embargo, si observamos detenidamente podemos deducir que la región sombreada puede ser definida como la diferencia de la región que está ubicada sobre el eje X y bajo la recta graficada menos la región que está sobre el eje X y bajo la parábola.(al final de esta guía explicaremos un método que nos facilitará este cálculo) = menos Para saber desde y hasta donde hay que aplicar la integral definida en ambos casos es necesario determinar en cuales puntos se interceptan la parábola y la recta. Para calcular los puntos de intercepción de una parábola y una recta se deben igualar ambas ecuaciones y calcular las raíces de la ecuación resultante. Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 5 -

Ya conocemos la ecuación de la parábola (Y = X 2 4X + 5) pero desconocemos la ecuación de la recta. Sin embargo, conocemos dos puntos pertenecientes a la misma y con ellos se puede calcular su ecuación utilizando a fórmula : Calculando el área que está bajo la recta y sobre el eje X : Una vez aplicada la fórmula anterior tendremos que la ecuación de la recta es Y = X + Al igualar las dos ecuaciones tendremos : X 2 4X + 5 = X + X 2 4X + 5 X = 0 X 2 5X + 4 = 0 El cálculo de las raíces de la ecuación resultante podemos hacerlo utilizando la fórmula general de la ecuación de segundo grado, utilizando la regla de Ruffini o por cualquier método de factorización conocido. Por cualquiera de los procedimientos anteriores obtendremos las dos raíces siguientes : X = y X2 = 4 Conocidas estas dos raíces introducimos sus valores en la ecuación de la recta y obtendremos los puntos de intercepción con la parábola. 4 = 2 3 / 2 = 2 / 2 = 0,50 unidades cuadradas Calculando el área que está bajo la parábola y sobre el eje X : Para X = ; Y = + ; Y = 2 (,2) Para X = 4 ; Y = 4 + ; Y = 5 (4,5) Esto nos permite conocer que las rectas que limitan las regiones sombreadas (por la izquierda y por la derecha) son X = y X = 4. Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 6 -

4 Ejemplo 7: Calcular el área de la región plana limitada por las funciones Y = X 2 + 4X y Y = X 2 Y Y = X 2 = (28 / 3) (0 / 3) = 8 / 3 = 6,00 unidades cuadradas La región plana que estamos estudiando tendrá como área la diferencia del área de la región que está ubicada sobre el eje X y bajo la recta (0,50 unidades cuadradas) menos el área de la región que está sobre el eje X y bajo la parábola (6,00 unidades cuadradas). 0,50 6,00 = 4,50 unidades cuadradas El área a calcular será : Y = X 2 + 4X X Y menos X Para saber desde y hasta donde hay que aplicar la integral definida en ambos casos es necesario determinar en cuales puntos se interceptan las dos parábolas. 4,50 unidades cuadradas Para calcular los puntos de intercepción de dos parábolas se resuelven las dos ecuaciones simultáneamente (se igualan las dos ecuaciones). X 2 = X 2 + 4X ; X 2 + X 2 4X = 0 Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 7 -

2X 2 4X = 0 ; 2X (X 2) = 0 X = 0 ; X2 = 2 Introduciendo estas dos valores en cualquiera de las dos ecuaciones calculo los valores de Y de cada punto : Y = X 2 ; Y = 0 2 ; Y = 0 ; (0,0) Y = X 2 ; Y = 2 2 ; Y = 4 ; (2,4) = 5,3333 unidades cuadradas Calculando el área de la región plana que está debajo de la parábola Y = X 2 tendremos : Y (2,4) 2 X = 2,6667 unidades cuadradas (0,0) Área total = 5,3333 2,6667 = 2,67 unidades cuadradas Esto nos permite conocer que las rectas que limitan las regiones sombreadas (por la izquierda y por la derecha) son X = 0 y X = 2. Y Y = X 2 Calculando el área de la región plana que está debajo de la parábola Y = X 2 + 4X tendremos : X 2 2,67 unidades cuadradas Y = X 2 + 4X Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 8 -

Método Recomendado para facilitar la solución de los Ejercicios 6 y 7 Para calcular el área de una figura plana que está limitada por arriba por la funci{on f(x), por debajo por la función g(x), por la izquierda por la recta X = a y por la derecha por la recta X = b ; se utiliza la siguiente integral definida : Sugerimos que utilice este procedimiento en la solución de los ejercicios 6 y 7 y notará que los resultados son los mismos. Área de una región plana Ing. José Luis Albornoz Salazar - 9 -