CNTACT ENTRE SLIDS Índice 1. Apoyos y enlaces entre sólidos 2 2. Acciones en apoyos y enlaces lisos 2 2.1. Contacto liso puntual................................. 2 2.1.1. Solidos en contacto puntual......................... 2 2.2. Contacto liso no puntual............................... 2 2.2.1. Rótula esférica................................ 3 2.2.2. Empotramiento perfecto........................... 3 2.2.3. Árbol circular en cojinete.......................... 4 3. Acciones en apoyos y contactos reales 5 3.1. Modelo de Coulomb y Morin de las acciones de contacto reales.......... 6 3.1.1. Fuerza de Resistencia al deslizamiento................... 6 3.1.2. Momento de Resistencia a la rodadura................... 7 3.1.3. Momento de Resistencia al pivotamiento.................. 7
1. Apoyos y enlaces entre sólidos En Mecánica se consideran exclusivamente sistemas mecánicos de un número finito de grados de libertad, cuyo caso más frecuente es un conjunto finito de sólidos en contacto. Lo que vamos a tratar son las diversas formas de apoyo y enlace entre sólidos en contacto que pueden aparecer. Para que se produzca un movimiento de sólidos en contacto (cinemática) debe existir una interacción entre los mismos (dinámica), que se manifiesta a través de una serie de acciones/reacciones de contacto entre ellos de naturaleza electromagnética. Nuestro interés estriba en analizar el sistema de incógnitas introducidas para modelizar dicha interacción. 2. Acciones en apoyos y enlaces lisos 2.1. Contacto liso puntual Hipótesis básica del contacto liso puntual: cuando las superficies de dos sólidos se tocan en un punto, la acción de uno sobre el otro es una fuerza perpendicular al plano tangente común en dicho punto. 2.1.1. Solidos en contacto puntual Fuerza normal al plano tangente común cuando el plano tangente esté definido o fuerza con cualquier dirección cuanto el plano tangente permanezca indefinido. Figura 1: Casos de contacto puntual 2.2. Contacto liso no puntual Si el contacto entre sólidos se realiza en un conjunto de puntos aislados, el tratamiento es análogo al contacto puntual: en cada punto consideramos una reacción incógnita normal al plano tangente común local. Si el contacto no se da en una serie de puntos aislados, este deberá darse en un conjunto denso (incluido en una variedad unidimensional o bidimensional). Aparece entonces una distribución incógnita que asocia a cada punto de la variedad de contacto una reacción elemental (por unidad de longitud o por unidad de superficie) normal al plano tangente local. La Mecánica no es capaz de calcular la distribución incógnita de reacciones normales en la zona de contacto. Sin embargo, lo que puede calcular es la reducción de la distribución incógnita en un punto, es
decir, la resultante y el momento en ese punto. Variedad unidimensional Variedad bidimensional d (u) = n l (u)ds(u) d (u 1,u 2 ) = n s (u 1,u 2 )dσ(u 1,u 2 ) = d = d C Σ M = M d M = M d C El número de incógnitas que resultan de esa reducción puede estar entre 1 y 6. Las incógnitas que no aparecen son aquellas de las que se sabe con certeza que son nulas a priori y están asociadas a ciertos grados de libertad del movimiento relativo entre ambos sólidos. El procedimiento de análisis es el siguiente: se efectúa un estudio cuidadoso de las acciones normales a lo largo de la zona de contacto. Σ 2.2.1. Rótula esférica Reducción al centro de la esfera: = X ı+y j+z k, M = 0 x x x x Figura 2: Rótula esférica 2.2.2. Empotramiento perfecto Reducción a un punto P: = F x ı+f y j+f z k, MP = M x ı+m y j+m z k x x x x x P x x x Px x M P Figura 3: Empotramiento Perfecto
2.2.3. Árbol circular en cojinete Caso general Reducción a un punto del eje z: = F x ı+f y j, M = M x ı+m y j F x M y F y M x Figura 4: Cojinete simple Caso con restricción axial Reducción a un punto del eje z: = F x ı+f y j+f z k, M = M x ı+m y j x x x x x x x x x x F x x M y F y M x Fz Figura 5: Cojinete con impedimento axial Caso de cojinete infinitesimal u oscilante Reducción a un punto del eje z: = F x ı+f y j, M = 0 x Fy x x Fx x x Figura 6: Cojinete oscilante
3. Acciones en apoyos y contactos reales Los contactos reales entre sólidos no responden al sencillo modelo de contacto liso por las siguientes causas: Las superficies no son completamente lisas porque la rugosidad macroscópica y microscópica introduce reacciones tangenciales Debido a la elasticidad macroscópica y microscópica de los sólidos reales se produce contacto en todo un área y que además no tiene por qué ser plana. Supongamos un contacto entre sólidos en el que alguno está definido por una variedad bidimensional. Consideremos un sistema de referencia cuyos versores u 1 y u 2 están en el plano tangente común en M y u 3 es perpendicular al plano tangente en M. En general, la reducción a un punto M de las acciones de contacto reales sobre uno de los sólidos produce una fuerza resultante y un momento resultante M M generales y los opuestos en el otro (ver figura 10). La resultante de fuerzas se descompone en: x x 1 u 1 M u 3 v M 20 u 2 0 2 una componente normal al plano tangente común = N u 3, denominada reacción normal. una componente tangencial FR = T 1 u 1 + T 2 u 2, denominada fuerza de rozamiento (o de resistencia al deslizamiento). = T 1 u 1 +T 2 u }{{} 2 +N u }{{} 3 El momento en M de las fuerzas M M se descompone en: una componente normal al plano tangente común M p = M 3 u 3, denominada momento de resistencia al pivotamiento. una componente tangencial Mr = M 1 u 1 + M 2 u 2, denominada momento de resistencia a la rodadura. M M = M 1 u 1 +M 2 u }{{} 2 +M 3 u }{{} 3 M r M p En caso de que el contacto sea entre partícula M y curva la cosa cambia ligeramente: = + = F R t = N n n+n b b t b b M n C M M = 0 n Se han propuesto toda una serie de modelos matemáticos de procedencia empírica para abordar las reacciones de contacto reales entre sólidos. El más sencillo, y sin embargo suficientemente aproximado en muchas ocasiones, es el de los franceses Coulomb y Morin. Lo introducimos a continuación porque será el que usemos en nuestros análisis a partir de ahora.
3.1. Modelo de Coulomb y Morin de las acciones de contacto reales 3.1.1. Fuerza de Resistencia al deslizamiento Sea el movimiento de dos sólidos (S 2 y S 0 ) en contacto puntual en M: Hay que distinguir dos casos: 1. No hay deslizamiento: v 20 M = 0 T 1 y T 2 son incógnitas. Además, para que sea posible el movimiento sin deslizamiento debe satisfacerse la siguiente condición dinámica de no-deslizamiento: f donde f es una constante adimensional no negativa, de procedencia experimental, denominada coeficiente de rozamiento. La caracterización geométrica de la condición anterior es la siguiente: la reacción debe estar en el interior del cono de rozamiento, un cono con vértice en el punto M, cuyo eje es la normal común en M y con semiángulo cónico ϕ = arctanf ϕ M FR Figura 7: Cono de rozamiento 2. Hay deslizamiento: v 20 M 0 En este caso la fuerza de rozamiento satisface la siguiente ecuación: = f vm 20 v M 20 donde de nuevo f es un coeficiente de rozamiento constante que generalmente toma un valor distinto del caso anterior, aunque muy próximo, por lo que se suele tomar idéntico para simplificar.
3.1.2. Momento de Resistencia a la rodadura Hay que distinguir dos casos: 1. No hay rodadura: ω 20 r = 0; M 1 y M 2 son incógnitas. Además, para que sea posible el movimiento sin rodadura debe satisfacerse la siguiente condición dinámica: M r δ δ donde δ es una constante no negativa con dimensiones de longitud y de procedencia experimental denominada coeficiente de resistencia a la rodadura. La caracterización geométrica de la condición anterior es la siguiente: la linea de acción de la reacción solo puede desplazarse un brazo de longitud δ del punto M. 2. Hay rodadura: ω r 20 0 M r Figura 8: Geometría de la resistencia a la rodadura En este caso el momento de resistencia a la rodadura satisface la siguiente ecuación: M r = δ ωr 20 ω 20 r donde de nuevo δ es un coeficiente de resistencia a la rodadura constante que generalmente toma un valor distinto del caso anterior, aunque muy próximo, por lo que se suele tomar idéntico para simplificar. 3.1.3. Momento de Resistencia al pivotamiento Hay que distinguir dos casos: 1. No hay pivotamiento: ω p 20 = 0; M 3 es incógnita. Además, para que sea posible el movimiento sin pivotamiento debe satisfacerse la siguiente condición: M p ǫ M p δ donde ǫ es una constante no negativa con dimensiones de longitud y de procedencia experimental denominada coeficiente de resistencia al pivotamiento. La reacción real, a la vez que desplazar su línea de aplicación una distancia δ de M, se desvía un pequeño ángulo α respecto al plano perpendicular al momento de rodadura: = cosα, = sinα α. M p = δα ǫ = δα M r α Figura 9: Geometría de la resistencia al pivotamiento 2. Hay pivotamiento: ω p 20 0 En este caso el momento de resistencia al pivotamiento satisface la siguiente ecuación: M p = ǫ ωp 20 ω p 20 donde ǫ es un coeficiente de resistencia al pivotamiento constante que toma un valor distinto del caso anterior, aunque muy próximo, por lo que se suele tomar idéntico para simplificar.
M M M p M r M 3 M 1 M 2 M T 2 T 1 Figura 10: Esquema de acciones de contacto del sólido 0 sobre el 2 Cuadro 1: Modelo de Coulomb y Morin de acciones de contacto Modelo Caso Incógnitas Ecuaciones Condición (número) adicionales de existencia Sin deslizamiento T 1,T 2 (2) v M 20 = 0 f Con deslizamiento v M 20 (2) FR = f vm 20 v M 20 v M 20 0 M r Sin rodadura M 1,M 2 (2) ω r 20 = 0 M r δ Con rodadura ω r 20 (2) Mr = δ ωr 20 ω r 20 ω r 20 0 M p Sin pivotamiento M 3 (1) ω p 20 = 0 M p ǫ Con pivotamiento ω p 20 (1) Mp = ǫ ωp 20 ω p 20 ω p 20 0