U N I V E R S I D A D A L A S P E R U A N A S FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA ÁLGEBRA LINEAL SÍLABO I. DATOS GENERALES CARRERA PROFESIONAL : INGENIERÍA MECÁNICA CODIGO CARRERA PROFESIONAL : 15 ASIGNATURA : ALGENRA LINEAL CÓDIGO DE ASIGNATURA : 1502-15108 N DE HORAS TOTALES : 4 HORAS SEMANALES N DE HORAS TEORÍA : 2 HORAS SEMANALES N DE HORAS PRÁCTICA : 2 HORAS SEMANALES N DE CRÉDITOS : 3 CRÉDITOS POR CICLO CICLO : II CICLO PRE-REQUISITO : CÁLCULO VECTORIAL TIPO DEL CURSO : OBLIGATORIO DURACIÓN DEL CURSO : 18 SEMANAS EN TOTAL CURSO REGULAR : 17 SEMANAS EXAMEN SUSTITUTORIO : 1 SEMANA SEMESTRE ACADÉMICO : 2008-1 II. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA El curso proporciona al alumno los conocimientos fundamentales de matrices, espacios vectoriales y transformaciones lineales con el fin de crear en el estudiante el interés por los conceptos teóricos y aumentar su capacidad de interaccionar dichos conceptos para aplicarlos en la solución de problemas prácticos. El curso desarrolla los siguientes temas: matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones polinómicas, espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios. diagonalización de las matrices, análisis combinatorio y ecuaciones de diferenciales finitas. III. OBJETIVOS GENERALES Al finalizar el curso el estudiante será capaz de realizar operaciones con matrices, hallar el valor de un determinante de orden N, resolver un sistema de ecuaciones lineales, reconocer sin un sistema de ecuaciones lineales es consistente o no y hallar las raíces de los polinomios enteros. SEMESTRE 2008-1 ÁLGEBRA LINEAL 1
IV. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Al finalizar el curso el alumno estará en condiciones de: 1. Realizar Las operaciones de suma, multiplicación por un escalar, multiplicación y potenciación de matrices y conocer sus propiedades. 2. Calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden. 3. Hallar la inversa de una matriz cuadrada 4. Resolver sistemas de ecuaciones lineales, reconociendo su consistencia o inconsistencia y el número de soluciones posibles. 5. Operar y graficar números complejos. 6. Calcular las raíces de los polinomios enteros. 7. Reconocer, interpretar y aplicar correctamente espacios y subespacios vectoriales. 8. Establecer la dependencia o independencia lineal de vectores aplicándolos entre otras cosas a la determinación de bases y generadores de espacios vectorales. 9. Reconocer, interpretar, y manejar transformaciones lineales y sus respectivas matrices asociadas. 10. Determinar autovalores y autovectores de matrices y transformaciones. 11. Encontrar bases ortogonales y ortonormales de espacios vectoriales. 12. Diagonalizar matrices. V. METODOLOGÍA El profesor promoverá la investigación y la participación constante de los alumnos en el curso ayudándolos a que fijen y profundicen los conocimientos que vayan adquiriendo, enfatizando que no sólo deben conocer, sino investigar los temas tratados. El desarrollo del curso se realizará ejecutando los siguientes lineamientos pedagógicos. o MOTIVACIÓN, procurando generar expectativas en función al objetivo del aprendizaje a lograr. o INFORMACIÓN, presentando las nociones teórico prácticas de los conceptos básicos sobre los contenidos que comprenden el objetivo del aprendizaje. Los alumnos deberán asistir a clases repasando los temas ya tratados y estudiando los temas a tratarse, con el propósito de lograr una mayor participación en clases y un mejor aprovechamiento de las mismas. o EJEMPLIFICACIÓN Y PRÁCTICA, presentando el uso y aplicaciones de los conceptos fundamentales a tratar buscando de manera continua la participación activa de los alumnos en cada clase, para que muestren sus inquietudes de claridad utilizando para ello el lenguaje matemático. o ASESORÍA Y CONSEJERÍA, permitirá a los alumnos, completar los temas dictados en clase, es de carácter obligatorios y parte de la evaluación. La Universidad tiene a disposición de los alumnos guías de prácticas y otros materiales (para ser copiados) los que deberán ser resueltos por los alumnos, y luego discutidos en grupos en forma de seminarios, donde el profesor asumirá el papel de guía. SEMESTRE 2008-1 ÁLGEBRA LINEAL 2
VI. EVALUACIÓN El reglamento vigente de la Universidad exige la asistencia obligatoria a clases y que el profesor pase lista de asistencia en cada clase que dicta, anotando las inasistencias en el registro que le proporciona la Universidad. Considerando la naturaleza del curso respecto a que imparte conocimiento pero dado que además es de suma importancia la transmisión directa de la experiencia del profesor y que los alumnos participen en el aula, se reitera es de vital importancia la asistencia a clases. La justificación de las inasistencias sólo serán aceptadas con el informe que pueda elevar, la Oficina de Coordinación Académica, al profesor del curso con copia al Director de Escuela. El promedio de práctica se calcula con las notas de prácticas y la nota de asesoría. La nota de asesoría nos es cancelatorio, ni reemplazable. Por otro lado, debe quedar perfectamente entendido que sólo cuando el alumno asiste a clases, gana el derecho a ser evaluado, en todo momento se aplicará la normatividad expresada en el reglamento de la Universidad. La modalidad de la evaluación será como sigue. La nota final será obtenida promediando las notas del examen parcial, examen final, y promedio de prácticas. Es decir, EP +EF + PP NF= Nota Final NF= 3 EP= Nota examen escrito parcial EF= Nota examen final PP= Promedio de Prácticas calificadas., donde En la semana 18 del ciclo se tomará un Examen Sustitutorio que consistirá en una evaluación escrita de conocimientos teórico práctico de todo el curso. La nota obtenida en este examen, podrá reemplazar la nota más baja que el alumno haya obtenido en el Examen Parcial o en el Examen Final, y de proceder el reemplazo, se recalculará la nueva nota final. En caso que la nota del Examen Sustitutorio sea más baja que la del Examen Parcial o del Examen final, no se reemplazará ninguna de ellas, quedando el alumno con la nota obtenida antes del Examen Sustitutorio. VII. CONTENIDO ANALÍTICO SEMANA 01 MATRICES: Definiciones y notaciones. Tipos de matrices. Igualdad. Adición y multiplicación por un escolar. Propiedades. Multiplicación de matrices. Matrices idempotente, involutiva y nilpotente Asesoría: Ecuaciones de primer grado SEMANA 02 MATRICES ESPECIALES. Matrices Nulas. Transpuesta, ortogonal, simétrica, antisimétrica, triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar y compleja. Función matricial. SEMESTRE 2008-1 ÁLGEBRA LINEAL 3
DETERMINANTES: Definición y notación. Determinantes de segundo y tercer orden. Regla de Sarrus. Propiedades de los determinantes. SEMANA 03 Menor y cofactor de un elemento de una matriz. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Método de condensación pivotal. Matriz de cofactores. Matriz adjunta. Propiedades. Asesoría: teorema del resto. Divisibilidad Algebraica. SEMANA 04 MATRIZ INVERSA. Definición y propiedades. Matrices regulares y singulares. Transformaciones elementales de filas y columnas. Matrices equivalentes. Obtención de la Inversa por el método de la adjunta y por el método de Gauss - Jordán. Formas escalonada y normal de una matriz. Rango de una matriz. Relación entre el rango y el determinante de una matriz cuadrada. Asesoría: Ecuaciones poli nómicas de grado n SEMANA 05 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas Procedimientos matriciales para resolver sistemas de m ecuaciones con n incógnitas. Consistencia e inconsistencia de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de Cramer y de la inversa para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Asesoría: Ecuaciones polinómicas por aproximaciones sucesivas. SEMANA 06 ESPACIOS VECTORIALES Definición. Propiedades. Espacios vectoriales R 2, R 3 y R n. Espacios vectoriales definidos por matrices, polinomios, funciones, derivadas integrales. Subespacios vectoriales, definición. Propiedades, ejemplos. Subespacios definido por su sistema homogéneo de ecuaciones lineales. Asesoria: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes. e SEMANA 07 COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Subespacios generado por vectores. Vectores linealmente independientes y dependientes. Ejemplos de vectores generadores. ASESORÍA: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos diversos. SEMANA 08 EXAMEN PARCIAL SEMANA 09 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Definición de base de un espacio vectorial. Propiedades. Bases canónicas notables. Dimensión de un espacio vectorial teoremas importantes. Base y dimensión del espacio solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneas Asesoría: Problemas sobre ecuaciones SEMESTRE 2008-1 ÁLGEBRA LINEAL 4
SEMANA 10 TRANSFORMACIONES LINEALES. Definición. Propiedades. Álgebra de las transformaciones lineales. Determinación del Núcleo y la Imagen de una transformación lineal. Clasificación de las transformaciones lineales Asesoría: Ecuaciones de segundo grado. SEMANA 11 MATRICES ASOCIADAS A TRANSFORMACIONES LINEALES Matriz canónica o matriz estándar de una transformación lineal. Matriz de Transición o de cambio de base. Matriz asociada a una transformación lineal Asesoría: Problemas sobre ecuaciones de segundo grado. SEMANA 12 PRODUCTO INTERNO Y PROYECCIÓN Producto interno en R 2, R 3 y R n, Norma de un vector. Vector unitario. Propiedades del producto interno, Angulo entre vectores. Vectores ortogonales Proyección de un vector sobre otro. Asesoría: Ecuación de la recta en el espacio. SEMANA 13 ORTOGONALIDAD Bases ortogonales y ortonormales. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt. Productos internos y normas en espacios vectoriales diferentes de R n. Asesoría: Ecuación de la recta en el espacio SEMANA 14 VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ Definición de valores propios, vectores propios y espacios propios de una matriz cuadrada. Hallar los valores propios, vectores propios y los espacios propios. Asesoría: Problemas sobre valores y vectores propios SEMANA 15 DIAGONALIZACIÓN Matrices semejantes o equivalentes. Propiedades. Matriz diagonalizable. Proceso de diagonalicación de una matriz cuadrada. Asesoría: Ejercicios sobre temas diversos SEMANA 16 ANÁLISIS COMBINATORIO Factorial de un número. Principio fundamental del análisis combinatorio. Variaciones, permutaciones y combinaciones. Asesoría: Ejercicios y problemas sobre temas diversos SEMANA 17 EXAMEN FINAL SEMANA 18 EXAMEN SUSTITUTORIO SEMESTRE 2008-1 ÁLGEBRA LINEAL 5
VIII. BIOGRAFÍA 1. AYRES Frank; Jr. Matrices. Colección schaom. Megraw Hill, 1996 2. CHAVEZ, CARLOS. Álgebra Lineal. Editorial San Marcos 1992 3. FIGUEROA G. Ricardo. Vectores y Matrices. Editorial América 1993 4. FRALEIGH JOHN B, BEAUREGARD Raymond A.. Algebra Lineal. Addison Wesley Iberoamericana. 1989 5. GERBERL HARVEY. Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamericana 1992 6. HOFFMAN / KUNZE. Álgebra Lineal. Prentice Hall. México. 7. ROSS Kenneth A, WRIGHT Charles R.B. Matemáticas Discretas. Prentice Hall. 1993. 8. SERGE LANG. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Addison. México SEMESTRE 2008-1 ÁLGEBRA LINEAL 6