GUÍA DE MATEMÁTICAS III Lección 3: Orden e intervalos La recta real En la lección anterior presentamos los números reales y vimos que éstos están constituidos por los números racionales y los irracionales. En grados anteriores vimos que a veces es conveniente representar números usando una recta. Así, una manera de representar números naturales era la siguiente: 0 1 2 3 4 5 Al estudiar los enteros también se utilizó esta representación y la recta se veía ahora así: 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Posteriormente estudiamos los racionales y también los agregamos a la recta: 3 1 5 4-3.5 3 2 1-0 1 1.5 2 3 3.8 4 5 5.1 4 2 32
L 3 Ahora, si en la recta pudiéramos representar todos los números racionales y los números irracionales, tendríamos un modelo de los números reales, que se llama recta real. Cada punto de la recta representa un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. Una utilidad de esta recta es ayudarnos cuando requerimos comparar números reales. Como sucedía con los naturales, enteros y racionales, tenemos que de dos números, el mayor es el que aparece más a la derecha en la recta real. Así, de nuevo se tiene que cualquier número positivo y el cero, son mayores que cualquier negativo. Observando la recta vemos por ejemplo 3 3 que 1 < - porque - aparece, en la recta real, más a la 4 4 derecha que 1. Esto nos recuerda la regla que habíamos utilizado para comparar enteros y racionales. De dos números negativos el mayor es el que tiene menor valor absoluto, esto es, el menor cuando comparamos sus correspondientes positivos. Usando este 3 3 mismo ejemplo se tiene que es menor que 1, entonces - es 4 4 mayor que 1. Para comparar dos reales positivos hacemos lo mismo que con los racionales. Primero comparamos la parte entera: el que tiene mayor parte entera es el mayor, por ejemplo 123.65 es mayor que 99.874 porque 123 es mayor que 99; π es mayor que 2 porque la parte entera de π es 3 y es mayor que la de 2 que es 1. Cuando los números tienen partes enteras iguales, se compara la primera cifra decimal a la derecha del punto: es mayor el número que tiene la mayor cifra decimal en el primer lugar a la derecha del punto. Por ejemplo 25.6 es mayor que 33
GUÍA DE MATEMÁTICAS III 25.090 porque la primera cifra decimal del primero es 6, que es mayor que la primera cifra decimal del segundo, que es 0. Si las partes enteras y las primeras cifras decimales de ambos números son iguales, entonces se procede a comparar entre sí las segundas cifras decimales en ambos números. Y así, sucesivamente. Como ya se ha dicho, los números irracionales se trabajan en general mediante una aproximación ya que no es posible escribir todas sus cifras decimales. Una vez establecida la aproximación con la que queremos trabajar podemos compararla con otros números como ya se ha explicado aquí. Ejercicio 1 Escriba los símbolos <, =, > según corresponda: a) 2.098 1.567 b) π 1.9 c) 3.467 3.45 d) 12.97 12.098 e) π 1.9 f) 0.098 1.001 g) 2 2 h) 1.4-2 34
L 3 Intervalos de números reales Una manera de utilizar los números reales, que se usará en otras lecciones de este libro, es mediante intervalos. Un intervalo de números reales es un conjunto de números reales, también puede verse como un "pedacito" de la recta real, es decir como un segmento de la recta. Por ejemplo, el que dibujamos aquí: 2 3.5 Para referirnos a este segmento de recta usamos lo que se llama intervalo. En este caso se trata del intervalo "de dos a tres punto cinco" y podemos representarlo encerrando los extremos con un paréntesis y separados por una coma, así (2, 3.5). Como podemos observar, identificamos el intervalo mencionando sus extremos, primero el izquierdo, que corresponde al menor de los extremos y luego el derecho. El intervalo "de dos a tres punto cinco" que hemos indicado es el conjunto de todos los números que están entre 2 y 3.5, es decir, todos los números más grandes que 2 y más chicos que 3.5. Decimos que (2, 3.5) es un intervalo abierto. Por ejemplo 3.6 no está en este intervalo porque es mayor que 3.5. Tampoco el 0 está en este intervalo porque es más chico que dos. Podemos preguntarnos si 3.490 estará en el intervalo y la respuesta es sí, porque es mayor que 2 y menor que 3.5. Los extremos de un intervalo abierto no están en él: 2 no está en el intervalo porque no es mayor que 3, y 3.5 tampoco porque no es menor que 3.5. 35
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Para saber si un número está en un intervalo dado necesitamos comprobar dos condiciones: Que sea mayor que el extremo izquierdo Que sea menor que el extremo derecho Si no se cumple cualquiera de las dos condiciones, el número dado no estará en el intervalo. Por ejemplo. Pensemos en el intervalo "de cero a nueve décimos": 0 0.9 Cuáles de los siguientes números están en este intervalo? 1, 0.91, 1000, 0.899, 5, 0.4, 3, 115. Debemos decidir cuáles de estos números cumplen las dos condiciones: Ser mayor que 0 Ser menor que 0.9 Rápidamente podemos descartar a 1000, por ser mayor que 0.9. Por la misma razón descartamos a 3 y al 1. Como cualquier negativo es menor que 0 y queremos números mayores que 0, salen todos los negativos. Quedan por decidir: 0.91 y 0.899. Ambos cumplen la primera propiedad, son mayores que 0. Pero es necesario que también cumplan la segunda. Ahora 0.91 36
LECCIÓN 3 y 0.9 tienen iguales sus primeras cifras decimales, debemos comparar las segundas. Aunque 0.9 no tiene segunda cifra decimal, podemos agregarle un 0 ya que 0.9 = 0.90. Comparando 0.91 con 0.90 vemos que 0.91 > 0.90. Así que 0.91 no cumple la segunda condición, se "sale" del intervalo. Analicemos ahora el segundo número: vemos que 0.899 < 0.9, porque la primera cifra decimal del primero es 8 que es menor que la primera cifra decimal del segundo, que es 9. Entonces 0.899 está en el intervalo. Cuando un número está en un intervalo decimos que "pertenece" al intervalo, de otra manera decimos que "no pertenece" al intervalo. Para trabajar con intervalos son útiles los símbolos > y <. Así, si queremos saber si un número x está en el intervalo ( 1.3, 1.1) necesitamos comprobar dos cosas: Si x > 1.3 y Si x < 1.1. Por ejemplo, nos preguntamos cuáles de los siguientes números pertenecen al intervalo (-1.3, 1.1): 2.8, 0.98, 0.5, 0.5, 4, 1.2, 1.09, 1.10. 2.8 > 1.3 pero no es menor que 1.1, así que 2.8 no pertenece a ( 1.3, 1.1). 0.98 > 1.3, y también 0.98 < 1.1, así que 0.98 sí pertenece al intervalo ( 1.3, 1.1). 37
GUÍA DE MATEMÁTICAS III Al revisar los otros números encontramos que: 0.5 pertenece a ( 1.3, 1.1) porque 0.5 > 1.3 y 0.5 < 1.1 0.5 pertenece a ( 1.3, 1.1) porque 0.5 > 1.3 y 0.5 < 1.1 4 no pertenece a ( 1.3, 1.1) porque 4 < 1.3 1.2 no pertenece a ( 1.3, 1.1) porque 1.2 > 1.1 1.09 pertenece a ( 1.3, 1.1) porque 1.09 > 1.3 y 1.09 < 1.1 1.10 no pertenece a ( 1.3, 1.1) porque 1.10 = 1.1 Los intervalos que hemos considerado hasta ahora en nuestros ejemplos son intervalos abiertos: en ellos no están incluidos los extremos. Algunas veces queremos que el intervalo sí incluya a sus extremos. Por ejemplo, si queremos referirnos al conjunto de números formado por el 2, el 5 y todos los números que están entre los dos, escribimos [2, 5] y decimos que [2, 5] es un intervalo cerrado. Observe que la diferencia en la notación está dada por la forma de los paréntesis: aquí usamos paréntesis cuadrados, también llamados corchetes. Podemos representar un intervalo cerrado así: 2 5 Para comprobar si un número x está en un intervalo cerrado, digamos el intervalo [-2.3, -1.4], necesitamos comprobar dos cosas: Que x sea mayor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a 2.3 Que x sea menor o igual que el extremo inferior. Esto lo escribimos así: a 1.4 38
LECCIÓN 3 Por ejemplo, veamos si los siguientes números pertenecen al intervalo [ 2.3, 1.4]: 1.8, 0, 1.2, 1.2, 2.3, 2.6, 1.4, 1.5 Al analizar cada uno observamos que: 1.8 pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 1.8 2.3 y 1.8 1.4 0 no pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 0 > 1.4 1.2 no pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 1.2 > 1.4 1.2 no pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 1.2 > 1.4 2.3 pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 2.3 2.3 y 2.3 1.4 2.6 no pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 2.6 < 2.3 1.4 pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 1.4 2.3 y 1.4 1.4 1.5 pertenece a [ 2.3, 1.4] porque 1.5 2.3 y 1.5 1.4 Combinando las notaciones anteriores podemos escribir intervalos semi-abiertos, es decir intervalos que contienen sólo un extremo. Por ejemplo, el intervalo [3, 7) contiene al número 3, y a todos los números mayores que 3 y menores que 7. Es decir, x pertenece al intervalo [3, 7) si x 3 y si x < 7. Decimos que [3, 7) es un intervalo abierto por la derecha. (3, 7] contiene a todos los números mayores que 3 y menores que 7 y también al número 7. Es decir, x pertenece al intervalo (3, 7] si x > 3 y si x 7. Decimos que (3, 7] es un intervalo abierto por la izquierda. 39
GUÍA DE MATEMÁTICAS III En general, si llamamos a y b a dos números cualesquiera y a < b, tenemos: Representación en símbolos Representación gráfica Contiene Intervalo abierto A todos los números mayores que a y menores que b. Los extremos a y b no pertenecen al intervalo. Intervalo cerrado A los números a, b y a todos los que son mayores que a y menores que b. Los extremos a y b pertenecen al intervalo. Intervalo abierto por la derecha Al número a, y a todos los que son mayores que a y menores que b. El extremo a pertenece al intervalo, b no pertenece a él. Intervalo abierto por la izquierda (a, b) [a, b] [a, b) (a, b] a b a b a b a b A todos los números mayores que a y menores que b y al número b. El extremo a no pertenece al intervalo, b sí pertenece a él. x pertenece al intervalo si: x > a x < b x a x b x a x < b x > a x b Ejercicio 2 En cada inciso, indique si el número de la izquierda pertenece al intervalo de la derecha: a) 0.9 (1.7, 2.3) b) 1.56 ( 1.5, 1.5) c) 1.31 (1.3, 2) d) 2.08 (2.079, 2.081) 40
LECCIÓN 3 e) 3.5 ( 5, 5) f) 0.00001 (0, 0.5) g) 9.0001 ( 15, 9.01) h) π (3.1, 3.2) i) π ( 4, 2) j) π ( π, π) k) 2 (0, π) l) 2.38 ( 2.3, 1.8) m) 5 (5, 10] n) 8 [8, 24] o) 6 [ 6, 0) p) 0 [ 6, 0) q) 3.28 ( 3, 3) r) 1/2 [0, 1] s) -5/2 ( 1, 0) t) 3.5 [3, 3.5) u) 2.7 ( 3, 2) v) 1.799 (1, 1.8) w) 3.0001 (3, 4) x) 128.16 ( 345.12, 128.17] 41