ECUACIONES LITERALES Manipulando variables y constantes Nombre Una ecuación literal es una ecuación expresada en términos de símbolos variables (tales como d, v, y a) y constantes (como R, g, y π). A menudo, en ciencias y matemáticas, a usted se le da una ecuación y se le pide que la resuelva para una variable en particular o una letra llamada desconocido. Los símbolos que no son particularmente una variable y que nosotros estamos interesados en resolver se llaman literales, y pueden ser representados por variables o constantes. Las ecuaciones literales se resuelven aislando la variable desconocida en un lado de la ecuación, y todas las variables literales en el otro lado de la ecuación. Algunas veces, la variable desconocida es parte de otro término. Un término es una combinación de símbolos como los productos de ma y πr 2. En este caso, la desconocida (como r en πr 2 ) debe ser factorizada del término antes de poder aislarla. Las siguientes reglas, ejemplos y problemas, le van a ayudar a repasar y practicar cómo resolver ecuaciones literales en química y física. PROCEDIMIENTO En general, resolvemos ecuaciones literales para una variable en particular siguiendo el procedimiento básico mencionado abajo. 1. Recuerde el orden de operaciones, es decir, el orden en el cual se llevan a cabo las operaciones de multiplicación, división, suma, resta, etc. a. Paréntesis b. Exponentes c. Multiplicación y División d. Suma y Resta Esto significa que usted debe hacer todo lo que sea posible dentro de los paréntesis primero, luego exponentes, después multiplicación y división de izquierda a derecha, y luego, suma y resta de izquierda a derecha. Si se encuentra un paréntesis dentro de otro paréntesis, recuerde trabajarlos de adentro hacia afuera. 2. Si el desconocido es parte de una expresión agrupada (como la suma dentro de un paréntesis), use la propiedad distributiva para expandir la expresión. 3. Utilizando la suma, resta, multiplicación o división apropiadamente, (a) mueva todos los términos que contienen la variable desconocida a un lado de la ecuación, y (b) mueva las otras variables y constantes al otro lado de la ecuación. Combine términos iguales cuando sea posible. 4. Factorizar la variable desconocida de sus términos multiplicando o dividiendo adecuadamente en ambos lados de la ecuación usando los términos literales.
5. Si la variable desconocida está elevada a un exponente (como 2, 3, o ½), lleve a cabo la operación apropiada elevando la variable desconocida a la primera potencia, de manera que tenga exponente uno. EJEMPLOS 1. F = ma. Resolver para a. F = ma Dividir ambos lados por m: F = a m Como la variable desconocida (en este caso a) está usualmente colocada en el lado izquierdo de la ecuación, podemos intercambiar ambos lados: a = F m 2. P 1 V 1 = P 2 V 2. Resolver para V 2. P 1 V 1 = P 2 V 2 Dividir ambos lados por P 2 : P 1 V 1 = V 2 P 2 V 2 = P 1 V 1 P 2 3. v = d. Resolver para t. t Multiplicar ambos lados por t: tv = d Dividir ambos lados por v: t = d v 4. PV = nrt. Resolver para R. PV = nrt. Dividir ambos lados por n: PV = RT n
Dividir ambos lados por T: PV = R nt R = PV nt 5. R = ρl Resolver para L. A R = ρl A Multiplicar ambos lados por A: RA = ρl Dividir ambos lados por ρ: RA = L ρ L = RA ρ 6. A = h(a + b). Resolver para b. Usar la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis: A = ha + hb Restar ha en ambos lados: A ha = hb Dividir ambos lados por h: A ha = b h b = A ha h 7. P = P 0 + ρgh. Resolver para g. Restar P 0 en ambos lados: P - P 0 = ρgh Dividir ambos lados por ρh: P P 0 = g ρh g = P P 0 ρh
8. U = 1 QV. Resolver para Q. 2 Multiplicar ambos lados por 2: 2U = QV Dividir ambos lados por V: 2U = Q V Q = 2U V 9. U = 1 kx 2. Resolver para x. 2 Multiplicar ambos lados por 2: 2U = kx 2 Dividir ambos lados por k: 2U = x 2 K Encontrar la raíz cuadrada en ambos lados: = x x = 10. T = 2π. Resolver para L. Dividir ambos lados por 2π: = Elevar al cuadrado ambos lados: T 2 = L 4π 2 g Multiplicar ambos lados por g: gt 2 = L 4π 2 L = gt 2 4π 2
11. F = Gm 1 m 2. Resolver para r. r 2 Multiplicar ambos lados por r 2. Fr 2 = Gm 1 m 2 Dividir ambos lador por F: r 2 = Gm 1 m 2 F Encontrar la raíz cuadrada en ambos lados: r = 12. h 1 = - s 1. Resolver para s 0. h 0 s 0 Multiplicar cruzado: h 1 s 0 = - h 0 s 1 Dividir ambos lados por h 1 : s 0 = - h 0 s 1 h 1 13. 1 = 1 + 1 + 1. Resolver para R 3. R EQ R 1 R 2 R 3 Restar 1 + 1 de ambos lados: R 1 R 2 1-1 - 1 = 1. R EQ R 1 R 2 R 3 Buscar el reciproco de ambos lados: 1 = R 3 1-1 - 1 R EQ R 1 R 2 R 3 = 1 1-1 - 1 R EQ R 1 R 2
14. F = qvb. Resolver para. Dividir ambos lados por qvb: F = qvb Buscar el seno inverso en ambos lados: = ] 15. μmg = mg. Resolver para μ. Dividir ambos lados por mg : μ = mg = = mg
ECUACIONES LITERALES Manipulando Variables y Constantes EJERCICIOS Instrucciones: Para cada una de las siguientes ecuaciones, resuelva para la variable acentuadas. Asegúrese de que muestra cada uno de los pasos usados para resolver la ecuación para la variable acentuada. 1. v = at 2. P = F A 3. λ = h P 4. F(Δt) = mδv 5. U = Gm 1 m 2 r 6. C = 5(F 32) 9 7. v 2 = v 0 2 + 2aΔx
8. K avg = k B T 9. K = mv 2 10. v rms = 11. v rms = 12. 1 + 1 = 1 s 1 s 0 f 13. 1 = 1 + 1 C EQ C 1 C 2 14. V = πr 3 15. F = 1 Kq 1 q 2 4πε 0 r 2 16. P + Dgy + Dv 2 = C
17. P + Dgy + Dv 2 = C 18. x = x 0 + v 0 t + at 2 19. n 1 sin Ѳ 1 = n 2 sin Ѳ 2 20. mg sin Ѳ = μmgcosѳ ( )