DISTRIBUCIÓN NORMAL. Es la más importante de las distribuciones teóricas, es también conocida con los nombres de curva normal y curva de Gauss. De Moivre publico en 1773 su trabajo sobre la curva normal y Gauss y Laplace contemporáneos de él la dedujeron independientemente. En sus orígenes la curva normal se aplico para estudiar la distribución de los errores, es decir las desviaciones respecto al promedio aritmético de hay que también se le conozca como curva normal del error. Es una distribución importante en el sentido de que matemáticamente es un modelo de comportamiento común que frecuentemente encontramos en los fenómenos sociales, económicos, físicos, etc. Lo característico de este tipo de distribución es que su función de densidad es simétrica es decir que la media, mediana y moda de ella coinciden en el mismo valor. La curva normal tiene las siguientes propiedades: 1) La moda que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva tiene su máximo, ocurre en x = a la media aritmética. 2) La curva es simétrica alrededor de su eje vertical donde se tiene la media. 3) La curva tiene sus puntos de inflexión en x = a la media aritmética mas ó menos su desviación estándar, es cóncava hacia abajo si X es mayor que su media aritmética la desviación estándar o si x es menor que su media aritmética + su desviación estándar, y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto. 4) La curva normal se acerca al eje horizontal en forma asintótica en cualquiera de las dos direcciones, alejándose de la media. 5) El área total bajo la curva y arriba del eje horizontal es igual a 1. Modelo matemático: f ( x ) = 1 σ 2 π e ( x μ)2 / 2(σ)2 Donde f (x) = Manera para denotar la función. σ² = Varianza. π = 3.1416 μ = Media de la distribución. e = 2.71828 Como podemos observar la expresión matemática de la distribución de probabilidad de la variable normal depende de la media y de la desviación estándar, así como los valores de densidad de la variable X quedan representados por: n ( x ; μ, σ² ).
AREAS NOTABLES Si se levantan perpendiculares a una distancia de una, dos y tres veces la desviación estándar de la media a cada uno de los lados, el área comprendida entre las dos perpendiculares, la curva y el eje horizontal es aproximadamente igual a 0.68, 0.95, y 0.997 respectivamente, o sea que corresponden al 68% %, 95%, y 99.7% del área total. Es importante recalcar que más que una distribución, se tiene una familia de distribuciones donde cada par de valores μ y σ² determinan una función de densidad distinta. La función de densidad de una variable aleatoria normal es complicada y por lo tanto, difícil de calcular probabilidades en ella, el problema aumenta si añadimos la necesidadd de generar tablas, teniendo en cuenta que se tendría que generar una tabla diferente para cada par de valores de μ y σ². La solución de este problema seria transformar sus probabilidades a las de un miembro particular de la familia normal de densidades, que recibe el nombre de Distribución Normal Estándar, el proceso mediante el cual se obtiene se le llama estandarización. USO DE LAS TABLAS DE AREAS BAJO LA CURVA NORMAL a) P ( z = 3.2 ) Área pedida = Área comprendida entre z = 0 y z = 3.2
a) P ( z = 2.85) = 0.4993 = 49.93% Área pedida = Área comprendida entre z = 0 y z = 2.85 = 0.4978 = 49.78% c) P ( 1 Z 2) Área pedida = (Área entre z = 0 y z = 1) + (Área entre z = 0 y z = 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185 = 81.85% d) P ( 1 Z 1.5) Área pedida = (Área entre z = 0 y z = 1.5) (Área entre z = 0 y z = 1) = 0.4332 0.3413 = 0.0919 = 9.19%
e) P (1.65 Z 2.62) Área pedida =(Área entre z =0 y z =2.62) (Área entre z = 0 y z = 1.65) = = 0.4956 0.4505 = 0.0451 = 4.5% f) P ( 1.0 Z 1.0) Área pedida = (Área entre z = 0 y z = 1) + (Área entre z = 0 y z = 1) = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826 = 68.26% DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR. Aunque las distribuciones normales pueden tener medias y desviaciones estándar cualesquiera; es muy importante el caso donde la media es igual a 0 y la desviación estándar es igual a 1, esta distribución se conoce como distribución normal estándar de hecho se trata de una distribución de datos Z que tiene forma normal. Su gran utilidad ha hecho que se construyan tablas que muestran el área bajo la curva limitada por dos ordenadas cualesquiera. Estas tablas pueden ser usadas en todo conjunto de datos distribuidos normalmente, luego de haber sido estandarizados. El cuerpo de la tabla proporciona las áreas bajo la curva y un valor especifico de la variable aleatoria Z. El modelo matemático para obtener los puntajes estándar es:
Z ( μ ) = X σ Los valores de z nos permiten con la ayuda de las tablas determinar el área correspondiente entre dos valores cualesquiera de X sin embargo las tablas de áreas por si solas únicamente proporcionan el área entre el promedio y un valor dado de X. Utilizando la distribución normal estandarizada se calculan las áreas bajo la curva normal y el eje de las abscisas esto es con el propósito de no tener que integrar la función normal en cada ocasión que se desee. Como la curva es totalmente simétrica se calculan las áreas para la mitad de la curva, ya que la otra mitad se comporta igual, es decir se calcula el área entre μ = 0 (origen) y el valor de z deseado. Ejemplo 1: Determine el área comprendida bajo la curva normal estandarizada entre z 1 = 0 y z 2 = 2.15. Primero se localiza el numero 2.1 en la columna que esta mas a la izquierda, luego se encuentra el numero 0.05 en el renglón superior de la tabla; el área que se busca corresponde al numero que aparece en la intersección de esa fila y columna y que este caso es 0.4842 o sea 48.42 %. Ejemplo 2: Tenemos un conjunto formado por los alumnos de la Escuela Secundaria Justo Sierra, los cuales hacen un total de 450, a los cuales se hizo una medición de su estatura, dando como resultados una media μ = 1.62 metros y una desviación estándar σ = 0.3 metros. Determine cuantos alumnos tienen una estatura entre 1.62 y 1.66 metros. z = 1.66 1.62/ 0.3 = 0.04 / 0.3 = 1.33 En las tablas de áreas bajo la curva normal la intersección del renglón marcado con 1.3 en la primera columna y con 0.3 en la columna 5, nos da un valor de 0.4082 que constituye el área correspondiente. Por tanto aproximadamente el 40.82 % de los alumnos tenían una estatura entre 1.62 y 1.66 metros o sea 450 (0.4082) = 184 aproximadamente. Ejemplo 3: Si el cociente intelectual de niños de educación básica, según la medida de cierto examen, tiene una media de 100 y una desviación típica de 12. En una clase de 30, cuántos se espera que tengan un CI de 120 o más?
z = 120 100/12 = 20 / 12 = 1.67 Área pedida = (Área a la derecha de z 0 ) (Área ente z 0 y z = 1.67) = Área pedida = 0.50000 0.45221 = 0.04779 La proporción de alumnos con CI mayor que 120 es 0.04779, por tanto se espera que en el grupo de 30 haya un total de 30(0.04779) = 1.4337 alumnos con esta característica. Ejemplo 5: La media de una prueba de aprovechamiento de vigencia nacional es 50 con una desviación estándar de 10, las calificaciones siguen una distribución normal. Cual es la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga una calificación? a). Inferior a 30. b). Superior a 65. a). Inferior a 30. z = 30 50/10 = 20 / 10 = 2 Área pedida = (Área a la izquierda de z 0 ) (Área entre z 0 y z = 2) = Área pedida = 0.50000 0.4772 = 0.0228 = 2.28 % b). Superior a 65. z = 65 50/10 = 15 / 10 = 1.5
Área pedida = (Área a la derecha de z 0 ) (Área ente z 0 y z = 1.5) = Área pedida = 0.50000 0.4332 = 0.0668 = 6.68 % ANEXO 1 VALORES DE e λ λ λ l e l e 0.0 1.00000 2.5 0.08208 0.1 0.90484 2.6 0.07427 0.2 0.81873 2.7 0.06721 0.3 0.74082 2.8 0.06081 0.4 0.67032 2.9 0.05502 0.5 0.60653 3.0 0.04979 0.6 0.54881 3.2 0.04076 0.7 0.49659 3.4 0.03337 0.8 0.44933 3.6 0.02732 0.9 0.40657 3.8 0.02237 1.0 0.36788 4.0 0.01832 1.1 0.33287 4.2 0.01500 1.2 0.30119 4.4 0.01228 1.3 0.27253 4.6 0.01005 1.4 0.24660 4.8 0.00823 1.5 0.22313 5.0 0.00674 1.6 0.20190 5.5 0.00409 1.7 0.18268 6.0 0.00248 1.8 0.16530 6.5 0.00150 1.9 0.14957 7.0 0.00091 2.0 0.13534 7.5 0.00055 2.1 0.12246 8.0 0.00034 2.2 0.10180 8.5 0.00020 2.3 0.10026 9.0 0.00012
2.4 0.09072 10.0 0.00005 ANEXO 2 Tabla de áreas bajo la curva normal (1) Z Área Z Área Z Área Z Área Z Área 0.00 0.0000 0.38 0.1480 0.76 0.2764 1.14 0.3729 1.52 0.4357 0.01 0.0040 0.39 0.1517 0.77 0.2794 1.15 0.3749 1.53 0.4370 0.02 0.0080 0.40 0.1554 0.78 0.2823 1.16 0.3770 1.54 0.4382 0.03 0.0120 0.41 0.1591 0.79 0.2852 1.17 0.3790 1.55 0.4394 0.04 0.0160 0.42 0.1628 0.80 0.2881 1.18 0.3810 1.56 0.4406 0.05 0.0199 0.43 0.1664 0.81 0.2910 1.19 0.3830 1.57 0.4418 0.06 0.0239 0.44 0.1700 0.82 0.2939 1.20 0.3849 1.58 0.4429 0.07 0.0279 0.45 0.1736 0.83 0.2967 1.21 0.3869 1.59 0.4441 0.08 0.0319 0.46 0.1772 0.84 0.2995 1.22 0.3888 1.60 0.4452 0.09 0.0359 0.47 0.1808 0.85 0.3023 1.23 0.3907 1.61 0.4463 0.10 0.0398 0.48 0.1844 0.86 0.3051 1.24 0.3925 1.62 0.4474 0.11 0.0438 0.49 0.1879 0.87 0.3078 1.25 0.3944 1.63 0.4484 0.12 0.0478 0.50 0.1915 0.88 0.3106 1.26 0.3962 1.64 0.4495 0.13 0.0517 0.51 0.1950 0.89 0.3133 1.27 0.3980 1.65 0.4505 0.14 0.0557 0.52 0.1985 0.90 0.3159 1.28 0.3997 1.66 0.4515 0.15 0.0596 0.53 0.2019 0.91 0.3186 1.29 0.4015 1.67 0.4525 0.16 0.0636 0.54 0.2054 0.92 0.3212 1.30 0.4032 1.68 0.4535 0.17 0.0675 0.55 0.2088 0.93 0.3238 1.31 0.4049 1.69 0.4545 0.18 0.0714 0.56 0.2123 0.94 0.3264 1.32 0.4066 1.70 0.4554 0.19 0.0753 0.57 0.2157 0.95 0.3289 1.33 0.4082 1.71 0.4564 0.20 0.0793 0.58 0.2190 0.96 0.3315 1.34 0.4099 1.72 0.4573 0.21 0.0832 0.59 0.2224 0.97 0.3340 1.35 0.4115 1.73 0.4582 0.22 0.0871 0.60 0.2257 0.98 0.3365 1.36 0.4131 1.74 0.4591 0.23 0.0910 0.61 0.2291 0.99 0.3389 1.37 0.4147 1.75 0.4599 0.24 0.0948 0.62 0.2324 1.00 0.3413 1.38 0.4162 1.76 0.4608 0.25 0.0987 0.63 0.2357 1.01 0.3438 1.39 0.4177 1.77 0.4616 0.26 0.1026 0.64 0.2389 1.02 0.3461 1.40 0.4192 1.78 0.4625 0.27 0.1064 0.65 0.2422 1.03 0.3485 1.41 0.4207 1.79 0.4633 0.28 0.1103 0.66 0.2454 1.04 0.3508 1.42 0.4222 1.80 0.4641 0.29 0.1141 0.67 0.2486 1.05 0.3531 1.43 0.4236 1.81 0.4649 0.30 0.1179 0.68 0.2517 1.06 0.3554 1.44 0.4251 1.82 0.4656 0.31 0.1217 0.69 0.2549 1.07 0.3577 1.45 0.4265 1.83 0.4664 0.32 0.1293 0.70 0.2580 1.08 0.3599 1.46 0.4279 1.84 0.4671 0.33 0.1331 0.71 0.2611 1.09 0.3621 1.47 0.4292 1.85 0.4678 0.34 0.1368 0.72 0.2642 1.10 0.3643 1.48 0.4306 1.86 0.4686 0.35 0.1406 0.73 0.2673 1.11 0.3665 1.49 0.4319 1.87 0.4693 0.36 0.1443 0.74 0.2704 1.12 0.3686 1.50 0.4332 1.88 0.4699
0.37 0.1480 0.75 0.2734 1.13 0.3708 1.51 0.4345 1.89 0.4706 Tabla de áreas bajo la curva normal (2) Z Área Z Área Z Área Z Área Z Área 1.90 0.4713 2.27 0.4884 2.64 0.4959 3.01 0.4987 3.38 0.4995 1.91 0.4719 2.28 0.4887 2.65 0.4960 3.02 0.4987 3.39 0.4995 1.92 0.4726 2.29 0.4890 2.66 0.4961 3.03 0.4988 3.40 0.4997 1.93 0.4732 2.30 0.4893 2.67 0.4962 3.04 0.4988 3.41 0.4997 1.94 0.4738 2.31 0.4896 2.68 0.4963 3.05 0.4989 3.42 0.4997 1.95 0.4744 2.32 0.4898 2.69 0.4964 3.06 0.4989 3.43 0.4997 1.96 0.4750 2.33 0.4901 2.70 0.4965 3.07 0.4989 3.44 0.4997 1.97 0.4756 2.34 0.4904 2.71 0.4966 3.08 0.4990 3.45 0.4997 1.98 0.4761 2.35 0.4906 2.72 0.4967 3.09 0.4990 3.46 0.4997 1.99 0.4767 2.36 0.4909 2.73 0.4968 3.10 0.4990 3.47 0.4997 2.00 0.4772 2.37 0.4911 2.74 0.4969 3.11 0.4991 3.48 0.4997 2.01 0.4778 2.38 0.4913 2.75 0.4970 3.12 0.4991 3.49 0.4997 2.02 0.4783 2.39 0.4916 2.76 0.4971 3.13 0.4991 3.50 0.4998 2.03 0.4788 2.40 0.4918 2.77 0.4972 3.14 0.4992 3.51 0.4998 2.04 0.4793 2.41 0.4920 2.78 0.4973 3.15 0.4992 3.52 0.4998 2.05 0.4798 2.42 0.4922 2.79 0.4974 3.16 0.4992 3.53 0.4998 2.06 0.4803 2.43 0.4925 2.80 0.4974 3.17 0.4992 3.54 0.4998 2.07 0.4808 2.44 0.4927 2.81 0.4975 3.18 0.4993 3.55 0.4998 2.08 0.4812 2.45 0.4929 2.82 0.4976 3.19 0.4993 3.56 0.4998 2.09 0.4817 2.46 0.4931 2.83 0.4977 3.20 0.4993 3.57 0.4998 2.10 0.4821 2.47 0.4932 2.84 0.4977 3.21 0.4993 3.58 0.4998 2.11 0.4826 2.48 0.4934 2.85 0.4978 3.22 0.4994 3.59 0.4998 2.12 0.4830 2.49 0.4936 2.86 0.4979 3.23 0.4994 3.60 0.4998 2.13 0.4834 2.50 0.4938 2.87 0.4979 3.24 0.4994 3.61 0.4998 2.14 0.4838 2.51 0.4940 2.88 0.4980 3.25 0.4994 3.62 0.4998 2.15 0.4842 2.52 0.4941 2.89 0.4981 3.26 0.4994 3.63 0.4998 2.16 0.4846 2.53 0.4943 2.90 0.4981 3.27 0.4994 3.64 0.4998 2.17 0.4850 2.54 0.4945 2.91 0.4982 3.28 0.4994 3.65 0.4998 2.18 0.4854 2.55 0.4946 2.92 0.4982 3.29 0.4994 3.66 0.4998 2.19 0.4857 2.56 0.4948 2.93 0.4983 3.30 0.4995 3.67 0.4998 2.20 0.4861 2.57 0.4949 2.94 0.4984 3.31 0.4995 3.68 0.4998 2.21 0.4864 2.58 0.4951 2.95 0.4984 3.32 0.4995 3.69 0.4998 2.22 0.4868 2.59 0.4952 2.96 0.4985 3.33 0.4995 3.70 0.4999 2.23 0.4871 2.60 0.4953 2.97 0.4985 3.34 0.4995 3.71 0.4999 2.24 0.4875 2.61 0.4955 2.98 0.4986 3.35 0.4995 3.72 0.4999 2.25 0.4878 2.62 0.4956 2.99 0.4986 3.36 0.4995 3.73 0.4999
2.26 0.4881 2.63 0.4957 3.00 0.4987 3.37 0.4995 3.74 0.4999