UNIDAD Nº 4 DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

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1 UNIDAD Nº DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD Reportaje a Steve Hanke, Ex? Asesor de Domingo Cavallo. El Gobierno no continúa las reformas, y todo es confusión. El especialista en convertibilidad ataca duramente al presidente Menem, en obvia defensa del ex ministro, aunque asegura que no soy miembro de su partido. Según su criterio, pese a los avances llevará unos 0 años tener una economía normal en la Argentina La Nación 1/9/97 FUNCION DE DENSIDAD NORMAL: Si X es una variable aleatoria con distribución normal, se tendrá entonces que la función de densidad es: f x 1 e x Dominio de f: ={x/xr}; Ambito de f= {yr/ 0<y<1} 1 max f x f puntos de inflexión: +, - lím f(x) = 0 y lím f(x)= 0 x+ x- Debe recordarse que : lim f ( x) 0 implica existencia de asíntota horizontal, con pendiente nula y ordenada al x origen cero. O sea: y(x)= 0 lim f ( x) 0 implica existencia de asíntota horizontal, con pendiente nula y ordenada al x origen 0 O sea: y(x)= 0; y también recuerde que una asíntota es una recta. Si x( - ; + ) f(x) cóncava hacia abajo; y para x( -; - ) U ( + ; +) f(x) cóncava hacia arriba. Si x( -; ) f(x) creciente, y para x( ;+ ) f(x) es decreciente E(x) = y Disp(x)= A continuación se presentan gráficos de variables con distribución normal, para que se logre conceptualización sobre las consecuencias de la modificación de sus parámetros. Primer caso: mismo valor esperado distinto desvío 91

2 f 1 (x) f (x) f 3 (x) E(x) Disp(x) 0,5 1 1,5 función de densidad función de probabilidad x f 1 (x) f (x) f 3 (x) F 1 (x) F (x) F 3 (x) -3,6 3,33118E-19 1,0109E-05 0,001 1,78975E-0,115E-06 0, ,5,05595E-18 1,59837E-05 0, ,1859E-19 3,39767E-06 0, , 1,1915E-17,95E-05 0, ,8081E-19 5,15E-06 0, ,3 6,9593E-17 3,8535E-05 0, ,9858E-18 8,53991E-06 0,0007-3, 3,8016E-16 5,8931E-05 0,00577,339E-17 1,3357E-05 0, ,1 1,99968E-15 8,9617E-05 0, ,019E-16,06575E-05 0, ,0105E-1 0, , ,096E-16 3,1671E-05 0, ,9,90571E-1 0, , ,09536E-15,80963E-05 0, ,8,8831E-13 0, , ,8065E-1 7,38E-05 0, ,7 1,0555E-1 0, ,0169 6,809E-1 0, , ,6,1598E-1 0, ,0193 3,01063E-13 0, , ,5 1,869E-11 0, , ,7981E-1 0, , , 7,619E-11 0, , ,3096E-1 0, , ,3,77336E-10 0, ,0365,05579E-11 0, , , 1,01763E-09 0, ,0735 7,76885E-11 0, ,0169 -,1 3,58757E-09 0, ,03131,8316E-10 0, , ,1518E-08 0, , ,86588E-10 0, ,075-1,9 3,956E-08 0, , ,31575E-09 0, , ,8 1,365E-07 0, , ,07176E-08 0, , ,7 3,717E-07 0, , ,330E-08 0, , ,6 1,071E-06 0, ,0591 9,963E-08 0, , ,5,973E-06 0, ,066318,8665E-07 0, ,0779-1, 7,96E-06 0, , ,9338E-07 0, , ,3,0817E-05 0, ,08088,115E-06 0, , ,,9889E-05 0, ,0907 5,15E-06 0, , ,1 0, , , ,3357E-05 0, , , , ,1093 3,1671E-05 0, , ,9 0, , , ,38E-05 0, , ,8 0, , ,1957 0, , , ,7 0, , , , , , ,6 0, , , , , , ,5 0, , , , , , , 0, , ,1705 0, , ,1753-0,3 0, , , , , , , 0, , , , , , ,1 0, , ,0355 0, , , , , ,1965 0, , ,593 0,1 0, , ,15 0, , ,753 0, 0, , , , , , ,3 0, , ,385 0, , , , 0, , ,5513 0, , ,3578 0,5 0, , , , , ,3691 0,6 0, , , , , , ,7 0, , , , , ,07 0,8 0, , , , , ,6965 0,9 0, , , , , ,73 1 0, , ,6596 0,5 0,5 0,5 1,1 0, , , , , , , 0, , , , , , ,3 0, , , , , ,5796 1, 0, , , , , , ,5 0, , , , , , ,6 0, , ,5513 0, , ,655 1,7 0, , ,385 0, , , ,8 0, , , , , , ,9 0, , ,15 0, , ,7577 0, , ,1965 0, , ,77507,1 0, , ,0355 0, , ,7683, 0, , , , , ,78815,3 0, , , , , ,806938, 0, , ,1705 0, , ,8676,5 0, , , , , ,8135,6 0, , , , , ,856939,7 0, , , , , ,87163,8 0, , ,1957 0, , ,8893,9 0, , , , , , , , ,1093 0, , , ,1 0, , , , , ,9193 3,,9889E-05 0, ,0907 0, , , ,3,0817E-05 0, , , , , , 7,96E-06 0, , , , ,9501 3,5,973E-06 0, , , , ,951 3,6 1,071E-06 0, ,0591 0, , ,9588 9

3 -3,6-3, -,8 -, - -1,6-1, -0,8-0, 0 0, 0,8 1, 1,6,,8 3, 3,6-3,6-3, -,8 -, - -1,6-1, -0,8-0, 0 0, 0,8 1, 1,6,,8 3, 3,6 Notas de Estadística 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0, 0,3 0, 0,1 0 Funciones de Densidad Normal Mismo Valor Esperado f1(x) f(x) f3(x) 1, 1 Funciones de Probabilidad Normal Mismo Valor Esperado 0,8 0,6 0, 0, F1(x) F(x) F3(x) 0 Segundo caso: Mismo Desvío, distinto Valor Esperado 93

4 f 1 (x) f (x) f 3 (x) E(x) Disp(x) función de densidad función de probabilidad x f 1 (x) f (x) f 3 (x) F 1 (x) F (x) F 3 (x) -3,6 0, , ,01E-05 0, ,000159,11E-06-3,5 0, , ,6E-05 0,0061 0, ,E-06-3, 0,0395 0,0013,9E-05 0, , ,1E-06-3,3 0,0837 0, ,85E-05 0,0107 0, ,5E-06-3, 0, ,0038 5,89E-05 0, , ,33E-05-3,1 0,0398 0, ,93E-05 0, ,000968,07E , ,003 0, ,075 0, ,17E-05 -,9 0, , , , ,001866,81E-05 -,8 0, , ,0009 0, , ,3E-05 -,7 0,0909 0,0101 0,0005 0,0565 0, , ,6 0, , , , , , ,5 0, , , , ,0061 0, , 0,1977 0,0395 0,0013 0, , , ,3 0, ,0837 0, ,0968 0,0107 0, , 0, , ,0038 0, , , ,1 0,1785 0,0398 0, , , , ,1971 0, ,003 0, ,075 0, ,9 0, , , ,1806 0, , ,8 0,8969 0, , , , , ,7 0,315 0,0909 0,0101 0,196 0,0565 0, ,6 0,3335 0, , ,753 0, , ,5 0, , , , , ,0061-1, 0,3687 0,1977 0,0395 0,3578 0, , ,3 0, , ,0837 0, ,0968 0,0107-1, 0, , , ,07 0, , ,1 0, ,1785 0,0398 0,6017 0, , ,3989 0,1971 0, ,5 0, ,075-0,9 0, , , , ,1806 0, ,8 0, ,8969 0, ,5796 0, , ,7 0, ,315 0,0909 0, ,196 0,0565-0,6 0,3687 0,3335 0, ,655 0,753 0, ,5 0, , , ,6916 0, , , 0,3335 0,3687 0,1977 0,7577 0,3578 0, ,3 0,315 0, , , , ,0968-0, 0,8969 0, , , ,07 0, ,1 0, , ,1785 0,8159 0,6017 0, ,1971 0,3989 0,1971 0,8135 0,5 0, ,1 0,1785 0, , ,8633 0, ,1806 0, 0, , ,8969 0,8893 0,5796 0, ,3 0, , ,315 0,903 0, ,196 0, 0,1977 0,3687 0,3335 0,9193 0,655 0,753 0,5 0, , , , ,6916 0, ,6 0, ,3335 0,3687 0,9501 0,7577 0,3578 0,7 0,0909 0,315 0, , , , ,8 0, ,8969 0, ,9607 0, ,07 0,9 0, , , , ,8159 0, , ,1971 0,3989 0,9775 0,8135 0,5 1,1 0,0398 0,1785 0, , ,8633 0, , 0, , , , ,8893 0,5796 1,3 0,0837 0, , , ,903 0, , 0,0395 0,1977 0,3687 0, ,9193 0,655 1,5 0, , , , , ,6916 1,6 0, , ,3335 0, ,9501 0,7577 1,7 0,0101 0,0909 0,315 0, , , ,8 0, , ,8969 0,9975 0,9607 0, ,9 0, , , , , ,8159 0,003 0, ,1971 0, ,9775 0,8135,1 0, ,0398 0,1785 0, , ,8633, 0,0038 0, , , , ,8893,3 0, ,0837 0, , , ,903, 0,0013 0,0395 0,1977 0, , ,9193,5 0, , , , , ,933193,6 0, , , , , ,9501,7 0,0005 0,0101 0,0909 0, , ,95535,8 0,0009 0, , , ,9975 0,9607,9 0, , , , , , , ,003 0, , , ,9775 3,1 8,93E-05 0, ,0398 0, , , , 5,89E-05 0,0038 0, , , , ,3 3,85E-05 0, ,0837 0, , , ,,9E-05 0,0013 0,0395 0, , , ,5 1,6E-05 0, , , , , ,6 1,01E-05 0, , , , ,

5 -3,6-3, -,8 -, - -1,6-1, -0,8-0, 0 0, 0,8 1, 1,6,,8 3, 3,6-3,6-3, -,8 -, - -1,6-1, -0,8-0, 0 0, 0,8 1, 1,6,,8 3, 3,6 Notas de Estadística 0,5 0, 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0,05 0 Función de Densidad Distinto Valor Esperado Mismo Desvío f1(x) f(x) f3(x) 1, 1 Función de probabilidad Distinto Valor Esperado Mismo Desvío 0,8 0,6 0, 0, F1(x) F(x) F3(x) Si X: N(3;); escribir la función de densidad correspondiente, determinar el valor máximo, sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento, y sus puntos de inflexión y sus intervalos de concavidad. f x f 3 max f x x 3 * 1 e 1 95

6 ; 3crece 3; decrece 15 ; punt.inf l ; conc. ; ; conc. - Si X: N(-3;); escribir la función de densidad correspondiente, determinar el valor máximo, sus intervalos de crecimiento y/o decrecimiento, y sus puntos de inflexión y sus intervalos de concavidad. 3 - Si X: N(0; 1); hallar las siguientes probabilidades: P(X < 0) 3. - P(X 0) P(X < ) 3. - P(X < -) P(X > 0) P(X > ) P(X > - ) P(0 X ) P(1 X ) P(- X ) P(-3 X ) P(- X 0 ) P(- X -1 ) P( X ) P( X ) Solución: Como la variable tiene media nula y dispersión uno; hablamos de una variable que está estandarizada -estándar es un vocablo muy utilizado en las ciencias económicas, piense en valores estándares de producción-. Asimismo las distintas tablas que disponemos para variables con distribución normal responden a normales estandarizadas. Analice los valores que las tablas detallan; tenga presente que la función de densidad tiene asíntota cero hacia la derecha como hacia la izquierda 96

7 3.1 - P(z < 0) = 0.5 Valor obtenido directamente de la tabla en la intersección de la fila 1º de datos con la columna 1º de datos. Tenga presente que es el resultado de una integral definida; y la integral definida entre un valor y ese mismo valor siempre vale cero; analice con el siguiente ítem. Observe que hemos denotado de otra manera a la variable dada, pues en general cuando se trata de una normal con media cero y dispersión uno se utiliza dicha denotación. Graficaré la zona que se está integrando -midiendo- 97

8 3. - P(z 0) = 0.5 Con Excel: P(z 0) = 0, Pz Con Excel: P(z ) = 0, Intersección 1º columna; 1º fila 3. -Recuerde que la función es simétrica P z Pz 1 Pz Con Excel: P(z -) = 0, P(z > 0) = 05. Por simetría Por sucesos exhaustivos -disyuntos y complementarios-, podemos plantear: Pz 1 Pz Con Excel: P(z> ) = 0, P(z > - ) = P(z < ) = P z Pz Pz Tenga presente que deberá tomar como minuendo el suceso que acumula mayor probabilidad. Con Excel: P(0<z ) = 0, P z Pz Pz Como era de esperar el valor obtenido en este ítem es menor al valor obtenido en el ítem anterior ya que en este caso no se consideran los valores de variables comprendidos entre 0 y 1. Si analiza gráficamente el área comprenderá que para este caso el área es menor. Recuerde que hablamos de área porque la función es definida positiva P z Pz Pz

9 Con Excel: P(-<z ) = 0, P z Pz Pz P z Pz Pz / Esto último por simetría de la función. P z 1 P z 1 P z P z Tenga presente que estamos pidiendo la probabilidad correspondiente a todos los valores de variable que distan de su media (0) en menos o igual a dos unidades. P z P z P z P z En este caso estamos pidiendo la probabilidad de todos los valores de variables que distan de la media (0) en más de dos unidades. P z 1 P z 1 P z 1 P z P z Si X: N(10; ); hallar las siguientes probabilidades:.1 - P(X < 10). - P(X 10).3 - P(X < 18) 99

10 . - P(X < ).5 - P(X > 10).6 - P(X > 18 ).7 - P(X > ).8 - P(10 X 18 ).9 - P(1 X 18 ).10 - P( X 18 ).11 - P(- X 18 ).1 - P( X 10 ).13 - P( X 6 ).1 - P( X 18 ).15 - P( X-10 ) Solución: como la variable tiene media 10 y dispersión ; hablamos de una variable que no está estandarizada; debemos entonces estandarizar la variable a los efectos de utilizar la tabla de áreas. Algunos quedan para que los realice usted..1 - Px P x Pz Compare con tenga presente que está calculando la probabilidad que la variable tome valores menores que su valor esperado en ambos casos Con Excel: P(X < 10)= 0, Px 18 P x Pz Compare con ejercicio 3. Con Excel: P(X < 18)= 0, Px P x Pz Pz Pz Px 18 P x Pz.8-100

11 10 10 P x P Con Excel: x P z Pz Pz P(10<X < 18)= 0, P x 1 10 P x P z Pz Pz P x P x P z Pz Pz x P x P P3 z Pz Pz x P x 10 P P z 0 Pz 0 Pz x P x 6 P P z 1 Pz 1 Pz x P x P P7 z Pz Pz x 10 P x 10 1 Px 10 1 P x 10 1 P Si X: N(0; 1); hallar los siguientes valores de variables: P(X A ) = P(X A ) = P(X A ) = P(- X A ) = P(- X A ) = P( X A ) = P( X A ) =

12 Solución: Para determinar el valor de abcisa debemos buscar valores en el cuerpo de la tabla y a partir de ellos, obtener valores en la columna nº 1 y fila nº 1. Remítase al concepto de función inversa; o sea si f -1 existe, f -1 [f(x)]=x; y realice luego asociación lógica con este ejercicio; se da cuenta que está buscando un valor de variable, dado el valor de la variable dependiente?. En este caso no es posible hablar de función inversa, pues la función admite el mismo valor resultado para dos valores distintos de variable independiente, tenga en cuenta que tiene un eje de simetría. P z A 05. A 0 Con Excel P(X A ) = 0,5 A= P z A 08. A 08. Con Excel P(X A ) = 0.8 A=0, P z A 0. P( z A) 0. 6 P z A 0. 6 A 0. 5 A 0. 5 Con Excel P(X A ) = 0. A= -0, P z A 08. A A P z A P z P z P z A P z A 0. A A A P z A P z P z P z P z A

13 5.6- P( X A ) = 0.8 P z A 0. 8 P P P z A Pz z A z A Ano Estamos hablando del suceso imposible P( X A ) = 0. P z A 0. P P P z A Pz z A z A A, no Estamos hablando del suceso imposible; a diferencia del ítem anterior este caso de suceso imposible no era trivial, en el anterior sí, ya que se sabe que el intervalo (0, + ) acumula 0.5 de probabilidad. 6 - Si X: N(10; ); hallar los siguientes valores de variables: P(X A ) = P(X A ) = P(X A ) = P( X A ) = P( X A ) = P(1 X A ) = P(1 X A ) = 0.8 Solución: Debemos estandarizar la variable y trabajar luego como en el ejercicio anterior: P x A P x 10 A 10 A A P x A P x 10 A 10 A A

14 6.3 - P x A 0. P( x A) 0. 6 P x 10 A 10 A A 10 * A P x A x 10 A 10 x 10 A 10 x P 0. 8 P P x 10 A 10 P x 10 A 10 P A A 10 * A P x A x A P P x 10 A 10 P x P x 10 A P x 10 A P x 10 A A A 10 * A P(1 X A ) = 0. P 1 x A x 10 A 10 x 10 A 10 x P 0. P P x 10 A 10 P x 10 A 10 P A, no Estamos hablando del suceso imposible; el intervalo (0, + ) acumula 0.5 de probabilidad. 10

15 6.7 - P(1 X A ) = 0.8 P 1 x A x 10 A 10 x 10 P 0. 8 P x 10 A 10 P x 10 A 10 P A, no A 10 x P 7 - El monto de facturación en un negocio cumple con una ley de distribución normal con un valor esperado de 50 pesos por factura emitida y una dispersión de 5 pesos por factura emitida. Calcule las siguientes probabilidades, para la factura próxima a emitirse: -Antes de realizar las operaciones correspondientes determine la variable aleatoria en estudio P(X < 50) 7. - P(X 50) P(X < 60) 7. - P(X < 0) P(X > 50) P(X > 60 ) P(X > 0) P(0 X 60 ) P(55 X 60 ) P(0 X 55 ) P(0 X 60/X<70 ) P(0 X 5/X<0 ) P(0 X 60/X<50 ) P(0 X 5/X<50 ) El monto de la factura próxima a emitirse no difiera de 50 pesos en más de 10 pesos El monto de la factura próxima a emitirse difiera de su valor esperado en más de 5 pesos El monto de la factura próxima a emitirse sea mayor de 55 pesos, sabiendo que difiere de su valor esperado en más de 3 pesos El monto de la factura próxima a emitirse sea de 50 pesos Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que es superado por el 80% de los montos de factura próxima a emitirse? Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que es superado por el 0% de los montos de factura próxima a emitirse? 105

16 7. - Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que supera al 80% de los montos de factura próxima a emitirse? Compare Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que supera al 0% de los montos de factura próxima a emitirse? Compare Solución: denotaremos con X al monto de la factura próxima a emitirse; X:N(50; 5) P(X < 50) = 0.5; pues 50 es el valor esperado de la variable. O sea en el 50% de los casos que se practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir se espera que la misma sea por un monto menor a 50 pesos 7. - P(X 50) = 0.5 Idem que el anterior Px P x Pz Es decir que de veces que practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir espero que 977 sean facturas que se emitan por un monto menor a 60 pesos Px P x Pz Es decir que de veces que practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir espero que 8 sean facturas que se emitan por un monto menor a 0 pesos P(X > 50) = 0.5 Idem que Px Px Es decir que de veces que practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir espero que 8 sean facturas que se emitan por un monto mayor a 60 pesos Px Px ( ) Es decir que de veces que practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir espero que 977 sean facturas que se emitan por un monto mayor a 0 pesos x P0 x 60 P P z Pz Pz

17 Es decir que de veces que practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir espero que 95 sean facturas que se emitan por un monto mayor a 0 pesos y al mismo tiempo menor a 60 pesos x P55 x 60 P P1 z Pz Pz Es decir que de veces que practique el experimento de medir la confianza del monto a facturar en una próxima factura a emitir espero que 1359 sean facturas que se emitan por un monto mayor a 55 pesos y al mismo tiempo menor a 60 pesos. Situación que resulta lógica, si compara con el resultado del ítem anterior, piense que la cantidad de valores de variable aceptados son menores y está tomando en cuenta a aquellos que se encuentran alrededor de la media que son los que tienen asociados mayor probabilidad de aparición P x 0 50 x 50 P 5 5 Interprete usted el resultado P z Pz Pz P0 x 60 x 70 P0 x P0 x 60 / x 70 Px 70 Px 70 P x Observe que el conocer que la variable ha tomado valores menores que 70 no cambia prácticamente la expectativa de aparición del suceso; pues lo que conoce que se ha presentado un suceso que tiene una alta probabilidad de aparecer P0 x 60 x 50 P0 x 50 P0 x 60 / x P x 50 P x 50 Observe que el valor obtenido es muy grande, debido a que el suceso que sabemos que se presentó hace que la expectativa del suceso requerido sea mucho mayor P0 x 5 / x 50 Interprete el resultado. P 0 x 5 x 50 P x 50 P 0 x 5 P x El monto de la factura próxima a emitirse no difiera de 50 pesos en más de 10 pesos. P x P 10 x P z P z (ver7.8) 107

18 7.17 -El monto de la factura próxima a emitirse difiera de su valor esperado en más de 5 pesos. P( x 50 5) 1 P 5 x P z 1 P z El monto de la factura próxima a emitirse sea mayor de 55 pesos, sabiendo que difiere de su valor esperado en más de 3 pesos. x 55 / x 50 3 Px 55 x 50 3/ Px 50 3 Px 55/ 1 Px 50 3 ( 1) P Ahora bien: P 3 x 50 3 P 06. z Y: Px 55 1 Px Entonces en (1): P x 55 / x El monto de la factura próxima a emitirse sea de 50 pesos. P( X=50)=0 Tenga presente que : a f ( x) dx 0 a Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que es superado por el 80% de los montos de factura próxima a emitirse? A 50 X 50 A 50 P ( A X) 0. 8 P A O sea el monto de factura próximo a emitirse, que es superado por el 80% de los montos de factura próximo a emitirse es Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que es superado por el 0% de los montos de factura próxima a emitirse? A 50 X 50 A 50 P ( A X) 0. P A O sea el monto de factura próximo a emitirse, que es superado por el 0% de los montos de factura próximo a emitirse es

19 7. - Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que supera al 80% de los montos de factura próxima a emitirse? Compare x 50 A 50 A 50 P ( x A) 0. 8 P A Justifique Cuál es el monto de la factura próxima a emitirse que supera al 0% de los montos de factura próxima a emitirse? Compare x 50 A 50 A 50 P ( x A) 0. P A Compare y justifique 8 - La cantidad de dígitos ingresados por teclado por minuto en una terminal inteligente, cumple con una ley de distribución normal, con media 10 y dispersión 10; determine las siguientes probabilidades, si se toma una medición en forma aleatoria durante un minuto: P(X < 10) 8. - P(X 10) P(X < 130) 8. - P(X < 110) P(X > 10) P(X > 130 ) P(X > 110) P(110 X 130 ) P(115 X 130 ) P(110 X 115 ) P(110 X 130/X<10 ) P(110 X 115/X<110 ) P(110 X 130/X<10 ) P(110 X 115/X<10 ) La cantidad de dígitos ingresado en un minuto no difiera de 10 en más de 10 dígitos La cantidad de dígitos ingresado en un minuto difiera de su valor esperado en más de 5 dígitos La cantidad de dígitos ingresado en un minuto sea mayor de 115 dígitos, sabiendo que difiere de su valor esperado en más de 3 dígitos La cantidad de dígitos ingresado en un minuto sea Cuál es la cantidad de dígitos ingresados en un minuto que es superado por el 80% de los ingresos de dígitos en un minuto? Cuál es la cantidad de dígitos ingresados en un minuto que es superado por el 0% de los ingresos de dígitos en un minuto? 109

20 8. - Cuál es la cantidad de dígitos ingresados en un minuto que supera al 80% de los ingresos de dígitos en un minuto? Compare Cuál es la cantidad de dígitos ingresados en un minuto que supera al 0% de los ingresos de dígitos en un minuto? Compare 9- El monto de impuesto a las Ganancias determinado por empresas medianas, cumple con una ley de distribución normal, con media 0000 y dispersión 1000; determine las siguientes probabilidades, si se toma una declaración jurada del citado impuesto correspondiente a una empresa mediana, en forma aleatoria : P(X < 0000) 9. - P(X 0000) P(X < 3000) 9. - P(X < 18000) P(X > 18000) P(X > 3000 ) P(X > 000) P(19000 X 1000 ) P(18000 X ) P(1000 X 000 ) P(19000 X 1000/X<1000 ) P(18000 X 1000/X<0000 ) P(0000 X 1000/X<19000 ) P(18000 X 0000/X<19000 ) El monto determinado no difiera de 0000 en más de 500 pesos El monto determinado difiera de su valor esperado en más de 1500 pesos El monto determinado sea mayor de pesos, sabiendo que difiere de su valor esperado en más de 300 pesos El monto determinado sea pesos Cuál es el monto determinado que es superado por el 70% de los montos determinados del impuesto? Cuál es el monto determinado que es superado por el 0% de los montos determinados del impuesto? 9. - Cuál es el monto determinado que supera al 80% de los montos determinados del impuesto? Compare Cuál es el monto determinado que supera al 0% de los montos determinados del impuesto? Compare 10- La cantidad de horas semanales que dedican los empleados de la sección administración de compras para procesar los pedidos de compras, se distribuye normalmente con media 0 y varianza -medida en las unidades respectivas-. El volumen de compras ha decrecido en un 10% lo cual lleva a una merma proporcional en el tiempo de proceso; cuál es el valor esperado y la varianza de la nueva variable aleatoria? Calcular las siguientes 110

21 probabilidades, si se toma aleatoriamente a un empleado de la sección de compras en cuestión con la nueva situación-: Que la cantidad de horas semanales para el proceso sea mayor a 16 y no sea 19 ni Que la cantidad de horas semanales para el proceso sea como mínimo 16 hs Que la cantidad de horas semanales para proceso no supere el 15% de su valor esperado Que la cantidad de horas semanales para proceso no difiera en más de dos horas del valor promedio; sabiendo que la cantidad de horas semanales para proceso ha sido inferior a 3 hs Cuál es la cantidad mayor de horas semanales que dedica en el 65% de las semanas?. Este ejercicio ha sido tomado en el 1º parcial del 1º cuatrimestre de 000. X X 0, 1* X 0, 9* X E( X ) 0, 9* 0 18 VAR( X ) VAR( 0, 9* X) 0, 81* VAR( X) 0, 81* 3, P( X 16 X 19 X 0) P( X 16) P( z ) P( z 1. 1) , 10. P( X 16) P( X 0, 15* 18) P( X 0, 15* 18) P( X, 7) P( z ) 0 3, P( 16 X 0 X 3) P( 16 X 0) P( 11, z 11, ) P( X 18 / X 3) 0. 7 P( X 3) P( X 3) P( z, 7) A P( X A) 0, 65 P( z ) z 3, A 0, 385 A * 3. 18,693 La interpretación de los resultados, la dejo a su cargo, ya que supongo que esta etapa no le genera conflicto. 11- La cantidad de horas semanales que dedican los empleados de la sección administración de compras para procesar los pedidos de compras, se distribuye normalmente con media 0 y varianza -medida en las unidades respectivas-. Calcular las siguientes probabilidades, si se toma aleatoriamente a un empleado de la sección de compras en cuestión: Que la cantidad de horas semanales para el proceso no sea mayor a 18 y sí sea: 16 o Que la cantidad de horas semanales para el proceso sea a lo sumo 1 hs Que la cantidad de horas semanales para proceso no supere el 0% de su valor esperado Que la cantidad de horas semanales para proceso difiera en más de dos horas del valor promedio; sabiendo que la cantidad de horas semanales para proceso ha sido superior a 15 hs Cuál es la cantidad menor de horas semanales que dedica en el 75% de las semanas?. 111

22 11.6 Si se toman independientemente dos empleados, cuál es el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria cantidad de horas semanales que dedican dos empleados para el mismo proceso? Este ejercicio ha sido tomado en el 1º parcial del 1º cuatrimestre de P( X 18 ( X 16 X 15)) P( X 16 X 15) P( X 1) P( X 0, * 0) P( X ) P(( X 18 X ) X 15) P( 15 X 18) P( X ) 11. P( X 0 / X 15) P( X 15) P( X 15) A P( A X) 0, 75 P( z) z a A * 0 18, X X X E( X ) E( X VAR( X ) VAR( X 1 1 X ) E( X 1 X 1 ) E( X ) VAR( X ) ) VAR( X ) 8 11