Imagenes inversas de funciones Denición. Sean f : X Y y A una parte del codominio Y. Imagen inversa ó preimagen del subconjunto A Y, es el conjunto de los elementos del dominio cuyas imagenes pertenecen a A las siguientes armaciones son claras f (A) = {x X f(x) A} Si x f (A) f(x) A Si f(x) A x f (A) Es decir, un elemento del dominio pertenece a la preimagen de A, si y solo si su imagen pertenece a A. Ejemplo Sea f : R R denida por f(x) = x. Determine las preimagenes de los siguientes subconjuntos del codominio Solución Para el conjunto (, ] se tiene que Para el conjunto (, ] se tiene que (, ], (, ], (, ) [4, 9] f (, ] = {x R f(x) (, ]} f(x) (, ] x x f (, ] = f (, ] = {x R f(x) (, ]} f(x) (, ] x (, ] x x x x x [, ] Para el conjunto (, ) se tiene que f (, ] = [, ] f (, ) = {x R f(x) (, )} f(x) (, ) x (, ) < x < x < x < < x < x (, ) f (, ) = (, )
Para el conjunto [4, 9] se tiene que f [4, 9] = {x R f(x) [4, 9]} f(x) [4, 9] x [4, 9] 4 x 9 x 3 x 3 0 x 3 x [, 3] 0 x [ 3, ] f [4, 9] = [ 3, ] [, 3] Proposición. Si f : X Y, A Y, B Y se tiene entonces que f (A B) = f (A) f (B) z f (A B) f(x) (A B) f(x) A 0 f(x) B x f (A) ó x f (B) x f (A) f (B) Proposición. Si f : X Y, A Y, B Y se tiene entonces que f (A B) = f (A) f (B) z f (A B) f(x) (A B) f(x) A y f(x) B x f (A) y x f (B) x f (A) f (B) Proposición 3. Si f : X Y, A Y, B Y se tiene entonces que f (A c ) = ( f (A) ) c z f (A c ) f(x) A c f(x) / A x / f (A) x ( f (A) ) c Proposición 4. Sea f : X Y una función se tiene entonces que f ( f (A) ) A Demostración. Si x f (A) f(x) A f ( f (A) ) A Proposición 5. Si G H entonces f (G) f (H) Demostración. Si x f (G) f(x) G H x f (H)
Teorema. Si f : A B es una función inyectiva, existe la función g : B A tal que g f(x) = I A f inyectiva. Para cada y ínf(a) existe un único x A tal que f(x) = y. Sea a A un elemento jo de A. Denimos la función g : B A así: { x si y f(a) con f(x) = y g(y) = a si y / f(a) esta función cumple g f(x) = I A Teorema. Si f : A B es una función suprayectiva, existe la función h : B A tal que f h(y) = I B f suprayectiva. Para cada y B escogemos x y f (y) Denimos la función h : B A así: h(y) = x y esta función cumple f h(y) = I B La función g se llama inversa izquierda de f y la función h es la inversa derecha de f. Si una función f : A B tiene las dos inversas entonces ambas coinciden: g se llama inversa de f g = g I B = g (f h) = (g f) h = I A h = h Inversa de una función Denición. Cuando una función f : A R R tiene la propiedad de que la aplicación de A en f(a) es biyectiva, entonces puede denirse la denominada función inversa de f respecto de la composición designada por f, y denida en f(a) mediante f (y) = x f(x) = y tal que se cumplen las igualdades f f = I A f f = I f(a) Ejemplo Para la función f denida en cada caso, encontrar la inversa f si existe y, si es así, especicar su dominio. a) f(x) = tenemos que f es inyectiva pues x 5 f(x f(x ) x 5 x 5 x 5 x 5 x x f es suprayectiva pues si b Rango de f tenemos que f(a) = b para alguna a Domf 3
a 5 = b b + 5 = a f(a) = = b + 5 5 Al ser inyectiva y sobre, tenemos que existe f y para hallarla tenemos que y = f(x) y = x 5 x = y + 5 f (y) = y + 5 y Domf = {x R x 0} b = b Ejemplo Dada la función f(x) = 5 3 x, hallar su inversa en caso de que exista. f es inyectiva pues f(x ) f(x ) 5 3 x 5 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x x x Para ver si f es sobre tenemos que y = f(x) 5 3 x = y 3 x = y 5 y 5 = 3 x ( y 5 ) 3 = x f (y) = ( y 5 ) 3 y Domf es x R [ Ejemplo Sea f : N Z dada por f(n) = ( ) n n ]. Demuestre que f tiene una función inversa. Demostración. Ya comprobamos que f es inyectiva, ahora mostraremos que f es suprayectiva y por tanto existe una función inversa Tenemos que f es suprayectiva si z Z n N tal que f(n) = z y denimos a n N de la siguiente manera { z si z > 0 n = z si z 0 de tal manera que para los enteros positivos Z se tiene [ ] z f(n) = f(z) = ( ) z = y para los enteros negativos f(n) = f( z) = ( ) z [ z ] [ ] z = [z] = z [ ] = ( ) z = ( )[ z] = z por lo tanto z Z n N, n = { z si z > 0 z si z 0 tal que f(n) = z 4
de esta manera f es suprayectiva y como también probamos que es inyectiva, entonces esta función tiene una función inversa 5