Clase 5 - Magnitudes en Física

Clase 5 - Magnitudes en Física 1. Magnitudes escalares y vectoriales Magnitud: es un indicador usado para describir la situación de un sistema particular, nos explicita que la variable bajo estudio es cuantificable, es decir, que se le puede atribuir un valor numérico o de orden. En otras palabras es todo aquello que puede ser medible y la magnitud indica la cantidad específica de esto que mediremos. Por ejemplo en grados Celsius (la temperatura), (el peso) en Kilogramos Fuerza y así. Las magnitudes pueden clasificarse en escalares o vectoriales, en las primera, se define un valor dentro de una escala, podrá adoptar un valor numérico o simplemente un dato dentro de una escala, traduciéndose como escalar nominal, u ordinal si tiene o no números. Por ejemplo alto, medio, bajo hay una escala incluso podríamos decir que alto es tres veces bajo y medio una vez menos que alto, etc. en cambio podría ser escalar ordinal una escala que representa 1, 2, 3 dónde 1 es tres veces menos que 3, o al revés 3,2,1 siempre que haya un orden, etc. También será plausible de sujetarse a reglas de adición o resta 1+1=2, etc. pero no es obligatorio para que sea ordinal u escalar que los números puedan sumarse o restarse, solo que mantengan un orden o una escala. En cambio Las magnitudes vectoriales se definen por un vector no por un número o una letra o palabras, podrá tener luego un valor numérico representado por el módulo que ya lo definiremos. Es decir por ejemplo tiene que tener dirección, sentido, asique un buen ejemplo es la velocidad, la aceleración, el peso, etc. Entonces, Algunas magnitudes como la masa o el tiempo -no están relacionadas con la dirección y se definen con una cantidad y una unidad de medida-. Por ejemplo, la masa de un cuerpo es 3 kg y su temperatura 22ºC. A estas magnitudes las llamamos escalares.

Otros ejemplos de magnitudes escalares son: el tiempo, la energía, la carga eléctrica, etc. Otras magnitudes como la velocidad o la fuerza no podemos describirlas con una cantidad y una unidad de medida sino que debemos además dar información sobre la dirección y el sentido, entonces son vectoriales. Por ejemplo, una persona camina a 6 km/h hacia el norte o una fuerza de 12 N actúa hacia abajo. A estas magnitudes las llamamos vectoriales y las representamos mediante vectores. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son: el desplazamiento, la aceleración, el momento de una fuerza, etc. Si nos dicen que un avioneta vuela durante dos horas a 300 km/h no podemos saber en qué lugar se encontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado. Podría encontrarse en cualquier punto de una circunferencia de 600 km de radio alrededor del punto de origen. Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una dirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movía hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes. Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud. Muchos aspectos de la física tienen que ver de una u otra forma con la determinación de la posición de un objeto. Por ejemplo, para describir matemáticamente un cuerpo en movimiento necesitamos describir su posición en varios instantes. Esta descripción se logra con el uso de coordenadas, que nos permiten conocer la posición de un punto en relación con un sistema de referencia.

En una dimensión Imagina un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en una dimensión (ver imagen anterior) Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen se encuentra?. Observa en el siguiente simulador que la posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del origen respectivamente, esto no es una convención universal podrá ser positivo a la izquierda o la derecha. Este es el eje horizontal o de las abscisas que contiene los valores que toma X. Un punto en una recta podemos representarlo como P(x) Ejercicio 1 Representa los valores en cm (2,3) (4,3) y (-1,2) Veamos ahora en 2 (dos) dimensiones Si el cuerpo que queremos estudiar se mueve en dos dimensiones, necesitamos dos coordenadas para determinar su posición. En muchas ocasiones nos interesa utilizar un sistema de coordenadas cartesianas, en el que los ejes horizontal y vertical se cruzan en un punto considerado como el origen. En el caso de las coordenadas cartesianas se utiliza la notación P (x, y) es decir, las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-). Por ejemplo P (6 y 2,4) Aquí el eje vertical es las ordenadas y corresponden los valores de Y que serán positivos por encima de la abscisa y negativos por debajo de ella.

A veces es más conveniente para describir un punto en un plano representarlo como P (r). En este sistema de coordenadas polares, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas (x, y), y es el ángulo entre r y la parte positiva del eje horizontal. El sistema de coordenadas polares nos puede facilitar, por ejemplo, el estudio del movimiento de un objeto, auto, etc. Ejercicio 2 Resuelva una gráfica en dos dimensiones un auto en la posición: X= 3,2 Y= 2,8 = 10 Ahora vamos por más, en 3 (Tres) dimensiones En el caso de un cuerpo que siguiera una trayectoria de tres dimensiones, necesitaríamos tres coordenadas para determinar su posición en un instante dado. También en este caso se pueden utilizar coordenadas polares y coordenadas cartesianas. Por lo tanto un punto en el espacio podemos repre-sentarlo mediante sus coordenadas perpendicula-res como P (x, y, z).

Volvamos a revisar el tema Decíamos que algunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes reciben el nombre de escalares. Sin embargo hay magnitudes físicas que presentan una cualidad direccional y que para ser descritas de forma completa es necesario especificar algo más que una simple cantidad. El ejemplo más sencillo es un desplazamiento ( hacia dónde?) Tomemos el caso de una tortuga. Si sólo nos informan que la tortuga se va a desplazar 2 m a partir de su posición actual nos damos cuenta de que la información suministrada es incompleta para determinar la posición final del animal. La tortuga puede acabar en cualquier punto de una circunferencia de 2 m de radio centrada en su posición actual, Si nos dicen que dicho desplazamiento se va a realizar a lo largo de la dirección vertical la información sobre el desplazamiento de la tortuga sigue siendo incompleta, ya que ésta podría acabar en cualquiera de las dos posiciones. Sólo cuando aparte de la magnitud y la dirección del desplazamiento nos informan además de su sentido, en nuestro caso verticalmente hacia arriba y no hacia abajo, podremos saber con total certeza dónde acabará finalmente la tortuga.

Gráfica mente un desplazamiento del punto P1 al punto P2 puede representarse por una flecha que va del primer punto al segundo (esto no quiere decir que el objeto se haya desplazado en línea recta entre los dos puntos, lo que importa en el desplazamiento es el punto inicial y el final, no la trayectoria realizada por el objeto por el camino). En los cálculos matemáticos lo representaríamos por P1 P2 o por A como se indica en la figura 2. El desplazamiento entre los puntos P3 y P4 tiene la misma longitud, dirección y sentido que el comprendido entre los puntos P1 y P2 de modo que dichos desplazamientos son iguales aun cuando partan de puntos diferentes, representan por lo tanto el mismo vector y podremos escribir: El vector B sin embargo no es el mismo vector que A ya que aunque su longitud y dirección es la misma, su sentido es opuesto. La relación entre estos dos vectores opuestos puede escribirse de la forma

El uno es el negativo del otro (como veremos al definir la suma, la suma de dos vectores opuestos es nula). La magnitud escalar asociada al vector (la longitud en el caso de un desplazamiento) recibe el nombre de módulo y se suele representar utilizando la misma letra que para el vector quitando la flechita, o situando éste entre barras verticales. Para el desplazamiento entre los puntos P1 y P2 podemos escribir su módulo como: Por definición el módulo de un vector es un escalar (un número con sus unidades) y siempre es positivo. Esto implica que aunque para vectores opuestos escribamos A = - B sus módulos son iguales, es decir A = B Suma y resta de vectores Cuando un objeto experimenta un desplazamiento A seguido de un segundo desplazamiento B el resultando es el mismo que si hubiera realizado un único desplazamiento C desde el punto inicial al final. Al desplazamiento resultante se le denomina vector suma de los dos vectores desplazamientos: C A B. Como se puede ver en la figura 3 el orden en que se realiza la suma de vectores no influye en el resultado A B B A C. Un detalle importante es que por lo general el módulo del vector resultante no tiene porqué ser la suma de los módulos de los dos vectores que se suman, como se ve en la figura 3: C A B Cuando se suman varios vectores (desplazamientos), el desplazamiento resultante es de nuevo un vector que va desde el punto inicial al final. Gráficamente se construye colocando los vectores desplazamiento uno a continuación de otro y uniendo el inicio del primer vector con el final del segundo.

El orden en que se sumen los vectores es indiferente, y además, como se puede ver en la figura 4, los vectores que se suman se pueden asociar como queramos: Como se puede ver, la suma de vectores tiene las mismas propiedades que aparecen cuando se trata de sumar simples números. La resta de vectores puede interpretarse como un caso particular de la suma, restar dos vectores es lo mismo que sumar al primero el opuesto del segundo: Para definirlas es necesario utilizar un sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas más usual, y con el que vamos a trabajar, es el cartesiano, con los ejes X, Y y Z perpendiculares entre sí. Si llamamos α, β y γ a los ángulos que el vector forma con el sentido positivo de los ejes coordenados X, Y y Z respectivamente, las componentes del vector pueden entenderse como las proyecciones de la longitud del vector (su módulo) sobre los ejes coordenados (con signo positivo o negativo dependiendo si la proyección se realiza hacia el sentido positivo o negativo del eje coordenado).

Ahora veamos cómo se configura un Sistema de Fuerzas Cuando sobre un cuerpo actúan más de una fuerza se denomina sistema de fuerzas, imaginemos un sujeto que conduce un vote a remo, y piensen cuantas fuerzas estarán ejerciendo para que el movimiento se produzca. Fuerzas Colineales Un sistema de fuerzas colineales es aquel en el cual las fuerzas que actúan lo hacen en una misma dirección y sus rectas de acción pasan por los mismos puntos (en los gráficos A y B la dirección se presenta con una línea roja puntuada y representa también, en este caso, a las rectas de acción de ambas fuerzas). Se pueden presentar dos alternativas: A) que las fuerzas que se desplazan por esa misma dirección lo hagan en el mismo sentido. (Fig. A) B) que las fuerzas que se desplazan por esa misma dirección lo hagan en sentido contrario. (Fig. B) En este caso la resultante de las fuerzas se logra sumando las mismas y manteniendo la dirección y el sentido de la más potente.

Fuerzas paralelas Un sistema de fuerzas paralelas es aquel en el cual las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido lo hacen sin que sus rectas de acción tengan algún punto en común, teniendo cada fuerza del sistema la misma dirección. Se pueden presentar dos casos: A) Sistema de fuerzas Paralelas del Mismo Sentido. (Fig. A) B) Sistema de fuerzas Paralelas de Sentido Contrario. (Fig. B). Con el mismo sentido para mostrar cómo se obtiene la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de dos componentes (dos fuerzas) con el mismo sentido, se muestra el siguiente ejemplo: Si sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas paralelas (F1 y F2) en el mismo sentido, la primera de ellas con una fuerza de 30N y la segunda con una fuerza de 40N. Separadas por una distancia de 10 cm Cuál es la RESULTANTE del sistema y su punto de aplicación? Antes de resolver el ejercicio, primero se debe tener en cuenta las propiedades de la Resultante en este sistema: -La Resultante tiene igual dirección que la de sus componentes (F1 y F2)

La Resultante tiene igual Sentido que la de sus componentes (F1 y F2) -El módulo o intensidad de la Resultante es igual a la suma de los módulos de sus componentes, es decir: Módulo R = F1 + F2 -El Punto de Aplicación de la Resultante cumple la relación de: F1 d1 = F2 d2 Ahora sí, con estos datos, se procede a la resolución del problema Resolución de manera Analítica Datos: F1=30N F2=40N d (distancia entre F1 y F2)=10 cm d1(distancia entre F1 y R)=? cm d2(distancia entre F2 y R)=? cm El problema plantea obtener el módulo de R y su Punto de aplicación: Para obtener el módulo de la Resultante de este sistema, se suma el módulo de F1 con el módulo de F2 R= F1 + F2 R= 30N + 40N R= 70N El sentido de la Resultante es igual al sentido de las componentes F1 y F2. Punto de aplicación de la Resultante: se emplea la ecuación F1 d1 = F2 d2 Reemplazando la ecuación por los datos queda: F1 d1 = F2 d2 30 x d1 = 40 x d2 Ahora se debe obtener una de las distancias que no se conocen: Se sabe que d1 + d2 debe dar 10 cm porque es la distancia total entre F1 y F2. Como d1 + d2=10cm: entonces 10 cm d1 = d2

Hallaremos primero d2 F1 R 30N 70N 30N. 10 cm ---- = ------ = ------ = ------- = ----------------- = 4,28 cm (d2) d2 d d2 10cm 70N Se sabe ahora que d1, es decir, que desde el punto de aplicación de F1 al punto de aplicación de la Resultante hay 5,72 cm de distancia porque para 10 cm (longitud total) falta esa cantidad de cm (10 cm 4,28 cm) También podemos hacer F2 R 40N 70N 40N. 10 cm ---- = ------ = ------ = ------- = ----------------- = 5,71 cm (d1) D1 d d1 10cm 70N Sabiendo el valor de d1 y d2 se puede obtener el Punto de Aplicación de la Resultante R ta : el punto de aplicación de R, se encuentra a 5,71 cm del punto de aplicación de la fuerza f1 y a 4,29 cm del punto de aplicación de la fuerza f2, y el módulo de la resultante es de 70n en el sentido de sus componentes Resolución de manera gráfica Datos: F1=30N, F2=40N d (entre F1 y F2)=10 cm

Como se puede ver, gráficamente se obtiene una resultante cuyo módulo es de 70N y su punto de aplicación se encuentra a 4,28 cm de la fuerza mayor (F2). Este es el procedimiento que se emplea para obtener el módulo y el punto de aplicación de una resultante de un sistema de fuerzas paralelas del mismo sentido con 2 componentes. SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS DE SENTIDO CONTRARIO Para mostrar cómo se obtiene la resultante de un sistema de fuerzas paralelas de dos componentes (dos fuerzas) con distinto sentido, se muestra el siguiente ejemplo: Si sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas paralelas (F1 y F2) de sentido contrario, la primera de ellas con una fuerza de 10N y la segunda con una fuerza de -19N. Separadas por una distancia de 39 mm Cuál es la RESULTANTE del sistema y su punto de aplicación? Antes de resolver el ejercicio, primero se debe tener en cuenta las propiedades de la Resultante en este sistema: -La Resultante tiene igual dirección que la de sus componentes (F1 y F2) -La Resultante tiene igual Sentido que la de su componente mayor (en el ejemplo la componente mayor es F2). -El módulo o intensidad de la Resultante es igual a la diferencia de los módulos de las fuerzas que la componen, es decir: Módulo R = F1 F2 -El Punto de Aplicación de la Resultante cumple la relación de F1 d1 = F2 d2 y se encuentra afuera del segmento que une los puntos de aplicación de las fuerzas componentes

Ahora sí, con estos datos, se procede a la resolución del problema Resolución de manera Analítica Datos: F1=10N F2=-19N d (distancia entre F1 y F2) =39 mm d1 (distancia entre F1 y R) =? cm d2 (distancia entre F2 y R) =? cm El problema plantea obtener el módulo de R y su Punto de aplicación: Para obtener el módulo de la Resultante de este sistema, es necesario sacar la diferencia entre F1 y F2, para ello restamos la fuerza mayor por la fuerza menor, es decir: R = -9N El sentido de la Resultante es igual al sentido de la fuerza mayor (en el ejemplo F2 es la fuerza mayor). Punto de aplicación de la Resultante: se emplea la ecuación: Relación de Steaven F1 R 10N 9N 10N. 39 mm ---- = ------ = ------ = ------- = ----------------- = 43,3 mm (d2) d2 d d2 39mm 9N Reemplazando la ecuación por los datos para hallar (d1): F2 R 19N 9N 19N. 39 mm ---- = ------ = ------ = ------- = ----------------- = 82,3 mm (d1) D1 d d1 39mm 9N

Sabiendo el valor de d1 y d2 se puede obtener el Punto de Aplicación de la Resultante La gráfica sería: F1 d1= 82.3 mm F1 R d2= 43.3 mm Otro ejemplo analizado de manera gráfica Datos: F1=20N F2=- 80N d (entre F1 y F2)=10 cm

COMO SE PUEDE VER, GRÁFICAMENTE SE OBTIENE UNA RESULTANTE CUYO MÓDULO ES DE 60N Y SU PUNTO DE APLICACIÓN SE ENCUENTRA A 3,33 CM DE LA FUERZA MAYOR (F2). ESTE ES EL PORCEDIMIENTO QUE SE EMPLEA PARA OBTENER EL MÓDULO Y EL PUNTO DE APLICACIÓN DE UNA RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS DE SENTIDO CONTRARIO CON 2 COMPONENTES. Cómo realizamos el cálculo analítico? Recordemos los Datos: F1=20N F2=- 80N d (entre F1 y F2)=10 cm

Punto de aplicación de la Resultante: se emplea la ecuación/relación de Steaven F1 R 20N 60N 20N. 10 cm ---- = ------ = ------ = ------- = ----------------- = 3,3 cm (d2) d2 d d2 10 cm 60N Reemplazando la ecuación por los datos para hallar (d1): F2 R 80N 60N 80N. 10 cm ---- = ------ = ------ = ------- = ----------------- = 13,3 cm (d1) D1 d d1 10 cm 60N Importante RESUELVA LAS CONSIGNAS DE CASE, CONSUTE LAS DUDAS, REVISE CADA CONCEPTO DE ESTA GUÍA. Vamos por más Analicemos el SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES con método analítico y gráfico SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES Son aquellos sistemas en los cuales hay fuerzas con direcciones distintas pero que se cruzan en un punto determinado, ya sean sus vectores o sus prolongaciones. Los componentes de un sistema de fuerzas concurrentes forman ángulos entre sí, que se pueden graficar en un sistema de coordenadas cartesianas (X e Y). Para hallar la resultante en estos casos se debe trabajar con las fórmulas de seno, coseno y Pitágoras. SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES CON 2 COMPONENTES Para mostrar cómo se obtiene la resultante de un sistema de fuerzas concurrentes de dos componentes (dos fuerzas), se muestra el siguiente ejemplo:

Sobre un cuerpo rígido actúan dos fuerzas que forman entre sí un ángulo de 50º, la F1 equivale a 50N y su ángulo respecto al eje X es 30º y la fuerza F2 equivale a 30 N y su ángulo respecto a X es de 70º. Cuál es el módulo de la Resultante y su ángulo respecto al eje X? Antes de resolver el ejercicio, primero se debe tener en cuenta las propiedades de la Resultante en este sistema: La Resultante tiene distinta dirección que la de sus componentes (F1 y F2) La Resultante tiene distinto Sentido que la de sus componentes. El módulo o intensidad de la Resultante El Punto de Aplicación de la Resultante es el mismo que el punto de intersección de todas las componentes del sistema. Para empezar a resolver el ejercicio es necesario hacer un buen diagrama con los datos del problema. Datos del problema: F 1 = 30N; α 70º F 2 = 50N; α 20º = 50º

RESOLUCIÓN ANALÍTICA DEL PROBLEMA Nota: el módulo o intensidad de la resultante en un sistema de fuerzas concurrente es igual a: Entonces para obtener el módulo de R, primero debemos saber las proyecciones de: Rx Ry Cómo se hace??? 1) Se utilizan las fórmulas de las razones trigonométricas de coseno y seno en cada componente del sistema, es decir, en F1 y F2. Para mayor comprensión de las fórmulas ver la imagen siguiente: Así: Para F1 cos α = cateto contiguo de α / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL COSENO)

cos α = F1x/F1 Al despejar F1x queda F1x = F1.cos α Es decir: F1x= 50N.cos 20º Sen α = cateto opuesto de α / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL SENO) Sen α = F1y/F1 Al despejar F1y queda F1y = F1. sen α Es decir: F1y = 50N. sen 20º Para F2 cos β = cateto contiguo de β / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL COSENO) cos β = F2x/F2 Al despejar F2x queda F2x = F2.cos β Es decir: F2x= 30N.cos 70º Sen β = cateto opuesto de β / hipotenusa (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DEL SENO) Sen β = F2y/F2 Al despejar F2y queda F2y = F2. sen β Es decir: F2y = 30N. sen 70º 2) CÁLCULO DE LAS PROYECCIONES DE RX y RY: Para obtener las proyecciones de Rx y Ry, se deben sumar por un lado las proyecciones de las fuerzas sobre el eje X, obteniendo con esto el valor de Rx; y por el otro lado se deben sumar las proyecciones de las fuerzas sobre el eje Y, obteniendo en este caso el valor de Ry. Se procede de la siguiente manera:

Rx = F1x + F2x Rx = F1. cos α + F2. Cos β Rx= 50N. cos 20 + 30N. cos 70 Rx = 57,24 Ry = F1y + F2y Ry = F1. sen α + F2. sen β Ry = 50N. sen 20 + 30N. sen 70 Ry = 45,29 3) CÁLCULO DEL MÓDULO DE LA RESULTANTE: Con la proyecciones de Rx y Ry, se obtiene el módulo de R, utilizando la fórmula del TEOREMA DE PITÁGORAS: La cuál es: Hipotenusa 2 = cateto a 2 + cateto b 2 (TEOREMA DE PITÁGORAS) Utilizando esta fórmula queda R 2 = Rx 2 + Ry 2 Módulo de R = Módulo de R = 72,99 N 4) OBTENCIÓN DEL ÁNGULO DE LA RESULTANTE: en este caso utilizaremos la RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE LA TANGENTE. Tangente de α = cateto opuesto de α / cateto contiguo de α (RAZÓN TRIGONOMÉTRICA DE LA TANGENTE) Tangente de α de R (Tg αr) = Ry / Rx Ahora se debe despejar α R, quedando: α R = arco Tg Ry/Rx

Se reemplazan los datos para obtener el ángulo de R: α R = arco Tg Ry/Rx α R = arco Tg 45,29/57,24 α R = 38º RTA: EN EL SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES DEL PROBLEMA, EL MÓDULO DE LA RESULTANTE ES DE 72,99 N Y FORMA UN ÁNGULO DE 38º RESPECTO AL EJE X. RESOLUCIÓN GRÁFICA DEL PROBLEMA Para empezar es necesario poner escala a los valores de cada fuerza: en el problema F1=50N y F2=30N, entonces el vector F1 puede ser representado con 5 cm (50N) y el vector de F2 será 3 cm (30N)

COMO SE PUEDE VER, GRÁFICAMENTE SE OBTIENE UNA RESULTANTE CUYO MÓDULO ES DE 72,99N Y EL ÁNGULO QUE FORMA CON RESPECTO AL EJE X ES DE 38º. ESTE ES EL PORCEDIMIENTO QUE SE EMPLEA PARA OBTENER EL MÓDULO Y EL ÁNGULO DE UNA RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES DE DOS COMPONENTES. Ejercita: Indica si las siguientes frases son verdaderas o falsas y explica el motivo en el caso de las falsas. a) Cantidad de movimiento, peso y fuerza son magnitudes vectoriales. b) Temperatura, masa y espacio recorrido son magnitudes escalares. c) Velocidad, masa y aceleración normal son magnitudes vectoriales. d) Temperatura, masa y volumen son magnitudes escalares. e) El módulo de un vector puede ser negativo. Ejercita: Teniendo en cuenta que la primera componente corresponde al eje X y la segunda, al eje Y, podemos pintar fácilmente los vectores, partiendo del punto (0,0) u origen de coordenadas. Representa los siguientes vectores: (6, -2) (-2, 4) (0, -5) (-5, 0) (3, 2, 1) (0,2)