Diana Cobo a cola on frecuente en nuetra vida cotidiana: En un banco En un retaurante de comida rápida Al matricular en la univeridad o auto en un autolavado 2
En general, a nadie le guta eperar. Cuando la paciencia llega a u límite, la gente e va a otro lugar. Sin embargo, un ervicio muy rápido tendría un coto muy elevado. E neceario encontrar un balance adecuado 3 Una cola e una línea de epera. a teoría de cola e un conjunto de modelo matemático ue decriben itema de línea de epera particulare. El objetivo e encontrar el etado etable del itema y determinar una capacidad de ervicio apropiada 4 2
Exiten mucho itema de cola ditinto. Alguno modelo on muy epeciale Otro e ajutan a modelo má generale Se etudiarán ahora alguno modelo comune Otro e pueden tratar a travé de la imulación 5 Un itema de cola puede dividire en do componente principale: a cola. a intalación del ervicio. o cliente o llegada vienen en forma individual para recibir el ervicio 6 3
o cliente o llegada pueden er: Perona Automóvile Máuina ue reuieren reparación Documento Entre mucho otro tipo de artículo 7 Si cuando el cliente llega y no hay nadie en la cola, paa inmediatamente a recibir el ervicio. Si no, e une a la cola. E importante eñalar ue la cola no incluye a uien etá recibiendo el ervicio 8 4
a llegada van a la intalación del ervicio de acuerdo con la diciplina de la cola Generalmente la diciplina de la cola e: primera entrada, primera alida. Pero pueden haber otra regla o cola con prioridade 9 Sitema de cola legada Cola Diciplina de la cola Intalación del ervicio Salida 0 5
Sitema de cola legada Cola Servidor Salida Sitema de cola Servidor Salida legada Cola Servidor Salida Servidor Salida 2 6
Sitema de cola Cola Servidor Salida legada Cola Servidor Salida Cola Servidor Salida 3 legada Sitema de cola Cola Servidor Cola Servidor Salida 4 7
. Coto de epera: E el coto para el cliente al eperar Repreenta el coto de oportunidad del tiempo perdido Un itema con un bajo coto de epera e una fuente importante de competitividad 5 2. Coto de ervicio: E el coto de operación del ervicio brindado. E má fácil de etimar. El objetivo de un itema de cola e encontrar el itema del coto total mínimo 6 8
El tiempo ue trancurre entre do llegada uceiva en el itema de cola e llama tiempo entre llegada El tiempo entre llegada tiende a er muy variable El número eperado de llegada por unidad de tiempo e llama taa media de llegada () 7 El tiempo eperado entre llegada e / Ejemplo Si la taa media de llegada e = 20 cliente por hora, entonce el tiempo eperado entre llegada e / = /20 = 0.05 hora o 3 minuto 8 9
E neceario etimar la ditribución de probabilidad de lo tiempo entre llegada. En la mayoría de lo cao eta ditribución e exponencial. Eto depende del comportamiento de la llegada 9 a forma algebraica de la ditribución exponencial e: P( tiempo de ervicio t) e t Donde t repreenta una cantidad expreada en unidade de tiempo (hora, minuto, etc.) 20 0
P(t) 0 Media Tiempo 2 a ditribución exponencial upone una mayor probabilidad para tiempo entre llegada peueño. En general, e conidera ue la llegada on aleatoria. a última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la iguiente 22
E una ditribución dicreta empleada con mucha frecuencia para decribir el patrón de la llegada a un itema de cola. Para taa media de llegada peueña e aimétrica y e hace má imétrica y e aproxima a la binomial para taa de llegada alta 23 Su forma algebraica e: k e P( k) k! Donde: P(k) : probabilidad de k llegada por unidad de tiempo : taa media de llegada e = 2,78288 24 2
P 0 legada por unidad de tiempo 25 El número de cliente en la cola e el número de cliente ue eperan el ervicio. El número de cliente en el itema e el número de cliente ue eperan en la cola má el número de cliente ue actualmente reciben el ervicio. 26 3
a capacidad de la cola e el número máximo de cliente ue pueden etar en la cola. Generalmente e upone ue la cola e infinita. Aunue también la cola puede er finita 27 a diciplina de la cola e refiere al orden en ue e eleccionan lo miembro de la cola para comenzar el ervicio. a má común e PEPS: primero entrada, primera alida. Puede dare: elección aleatoria, prioridade, UEPS (última entrada primera alida), entre otra. 28 4
El ervicio puede er brindado por un ervidor o por ervidore múltiple. El tiempo de ervicio varía de cliente a cliente. El tiempo eperado de ervicio depende de la taa media de ervicio () 29 El tiempo eperado de ervicio euivale a /. Ejemplo: Si la taa media de ervicio e de 25 cliente por hora, entonce el tiempo eperado de ervicio e / = /25 = 0.04 hora, o 2.4 minuto 30 5
E neceario eleccionar una ditribución de probabilidad para lo tiempo de ervicio. Hay do ditribucione ue repreentarían punto extremo: a ditribución exponencial (=media) Tiempo de ervicio contante (=0) 3 Una ditribución intermedia e la ditribución Erlang Eta ditribución poee un parámetro de forma k ue determina u deviación etándar: k media 32 6
Si k =, entonce la ditribución Erlang e igual a la exponencial. Si k =, entonce la ditribución Erlang e igual a la ditribución degenerada con tiempo contante. a forma de la ditribución Erlang varía de acuerdo con k 33 P(t) k = k = 8 k = k = 2 0 Media Tiempo 34 7
Ditribución Deviación etándar Contante 0 Erlang, k = Erlang, k = 2 / media 2 media Erlang, k = 4 Erlang, k = 8 Erlang, k = 6 /2 media / 8 media /4 media Erlang, cualuier k / k media 35 Notación de Kendall: A/B/c A: Ditribución de tiempo entre llegada B: Ditribución de tiempo de ervicio M: ditribución exponencial (Markoviana) D: ditribución degenerada (tiempo contante) E k : ditribución Erlang. G: ditribución general (permite cualuier ditribución arbitraria. c: Número de ervidore 36 8
En principio el itema etá en un etado inicial. Se upone ue el itema de cola llega a una condición de etado etable (nivel normal de operación). Exiten otra condicione anormale (hora pico, etc.). o ue interea e el etado etable. 37 Para evaluar el deempeño e buca conocer do factore principale: El número de cliente ue eperan en la cola. El tiempo ue lo cliente eperan en la cola y en el itema. 38 9
=Número eperado de cliente en la cola = Número eperado de cliente en el itema. =Tiempo eperado de epera en la cola. =Tiempo eperado de epera en el itema. 39 40 20
Suponga ue una etación de gaolina a la cual llegan en promedio 45 cliente por hora, tiene capacidad para atender en promedio a 60 cliente por hora. Se abe ue lo cliente eperan en promedio 3 minuto en la cola. a) Cuále on la medida de deempeño de la etación de gaolina? 4 a) Taa media de llegada: =45 cliente por hora =45/60 = 0.75 cliente por minuto. b) Taa media de ervicio: =60 cliente por hora =60/60 = cliente por minuto 42 2
3min 3 4min 0.75 4 3cliente 0.753 2.25cliente 43 Suponga un retaurant de comida rápida al cual llegan en promedio 00 cliente por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 50 cliente por hora. Se abe ue lo cliente eperan en promedio 2 minuto en la cola. a) Calcule la medida de deempeño del itema. 44 22
Beneficio: Permiten evaluar ecenario Permite etablecer meta Notación: P n : probabilidad de tener n cliente en el itema P( t) : probabilidad de ue un cliente no epere en el itema má de t hora 45 Dada la taa media de llegada y la taa media de ervicio, e define el factor de utilización del itema. Para ue no e forme demaiada cola e reuiere ue < Su fórmula, con un ervidor y con ervidore, repectivamente, e: 46 23
Con bae en lo dato del ejemplo anterior, = 0.75, = El factor de utilización del itema i e mantuviera un ervidor e = / = 0.75/ = 0.75 = 75% Con do ervidore ( = 2): = / = 0.75/(2*) = 0.75/2 = 37,5% 47 M/M/: Un ervidor con llegada de Poion y tiempo de ervicio exponenciale M/G/: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución general de tiempo de ervicio M/D/: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución degenerada de tiempo de ervicio M/E k /: Un ervidor con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución Erlang de tiempo de ervicio 48 24
P( t) e n P ( ) n ( ) t P( P( t 0, 2 ( ) ( ) n n) t) e ( ) t 49 A un ervicio de autolavado llegan en promedio 9 auto por hora y e atendido en promedio un auto cada 5 minuto. a. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/M/ b. Cuál e la probabilidad de tener 0 cliente en el itema? c. Cuál e la probabilidad de tener una cola de má de 3 cliente? d. Cuál e la probabilidad de eperar má de 30 min. en la cola? e. Cuál e la probabilidad de eperar má de 30 min en el itema? 50 25
9 9, 2, 0.75 2 3cliente 0.33hr 20min 0 P( P( 0.25hr 5min ( ) 0 P ( ) 0.25 30 / 60) e 30 / 60) e ( ) t ( ) t P( 0.22 0.7 2 2.25cliente ( ) 3 3) 0.32 5 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/M/ b) Cuál e la probabilidad de tener 2 cliente en el itema? c) Cuál e la probabilidad de tener una cola de má de 4 cliente? d) Cuál e la probabilidad de eperar má de 0 min. en la cola? 52 26
P0 2 2 2 2( ) P w 53 Un ervicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. y la taa media de llegada e de 9 auto/hora con una deviación etándar de 2 min. Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/G/ a) Cuál e la probabilidad de tener 0 cliente en el itema? b) Cuál e la probabilidad de ue un cliente tenga ue eperar por el ervicio? 54 27
.3.75 2.06cliente 2 2 2 2( ).3cliente 0.228hr 3.7 min 0.45hr 8.7 min P 0.25 P 0.75 0 w 55 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Suponga = 5 min. a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/G/ b) Cuál e la probabilidad de tener 0 cliente en el itema? c) Cuál e la probabilidad de ue un cliente tenga ue eperar por el ervicio? 56 28
2 2( ) 57 Un ervicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. a taa media de llegada e de 9 auto/hora. a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/D/ 58 29
.875cliente 2.25cliente 2( ) 0.2hr 2.5 min 0.25hr 7.5min 59 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/D/ 60 30
2 ( k ) 2k( ) 6 Un ervicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. a taa media de llegada e de 9 auto/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.) a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/E k / 62 3
2.437cliente 2 ( k ).6875cliente 2k( ) 0.2708hr 6.25 min 0.875hr.25min 63 A un upermercado llegan en promedio 80 cliente por hora ue on atendido entre u 5 caja. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minuto. Suponga k= 4 a) Obtenga la medida de deempeño de acuerdo con el modelo M/E k / 64 32
Modelo M/M/ M/G/ M/D/ M/E k / 65 M/M/: ervidore con llegada de Poion y tiempo de ervicio exponenciale. M/D/: ervidore con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución degenerada de tiempo de ervicio. M/E k /: ervidore con tiempo entre llegada exponenciale y una ditribución Erlang de tiempo de ervicio. 66 33
34 )!( ) / (! ) ( )!( ) ( 0 2 0 0 n n P n P Diana Cobo 05/04/20 67 0 ) ( ) / ( 0 0 0 0} { 0} { } { / )!( ) / ( } {,!,! n n t t t n n n n n P P e P t P e P e t P n i P P n i P n P Diana Cobo 05/04/20 68
a ala de urgencia del HOSPITA GENERA proporciona cuidado médico rápido a lo cao rápido ue llegan en ambulancia ó vehículo particulare. En todo momento e cuenta con un médico de guardia. No obtante debido a la creciente tendencia a uar eta intalacione para cao de emergencia en lugar de ir a una clínica privada cada año el hopital experimenta un aumento continuo en el número de paciente ue llegan a la ala de urgencia. Como reultado e batante común ue lo paciente ue llegan en hora pico (temprano en la tarde) tengan ue eperar turno para recibir el tratamiento del médico. Por eto e ha preentado una propueta para aignar un egundo médico a la ala de emergencia en la hora pico, para ue e puedan atender do cao de emergencia al mimo tiempo. Se ha pedido al ingeniero adminitrador de ete hopital ue e etudie eta poibilidad. El ingeniero adminitrador comenzó por reunir lo dato hitórico pertinente y hacer una proyección de ello al iguiente año. Reconoció ue la ala de urgencia e un itema de línea de epera y aplicó vario modelo de teoría de cola para predecir la caracterítica de la epera en el itema con uno y do médico. 69 Al proyectar lo dato diponible del turno de la tarde hacia el año próximo, e etima ue lo paciente llegarán a una taa media de uno cada media hora con ditribución Poion. Un médico reuiere un promedio de 20 min. para atender un paciente, con ditribución exponencial. 70 35
7 72 36
73 Coto Coto total Coto del ervicio Taa óptima de ervicio Coto de epera Taa de ervicio 74 37