Sistema de ecuaciones lineales Existen diferentes métodos de resolución: Método de sustitución. Método de reducción. Método de igualación. En esta ocasión vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo: x +y = 7 5x 2y = 7 } Método de Sustitución A través del método de sustitución lo que debemos hacer es despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir su valor en la siguiente. Lo veremos con más detalle en el siguiente ejemplo: x +y = 7 5x 2y = 7 } En primer lugar, despejamos una de las incógnitas en la primera ecuación. x +y= 7 x=7-y Sistema de ecuaciones #YSTP 1
A continuación, sustituimos en la segunda ecuación el valor correspondiente de la "x". 5.x-2y=-7 5.(7-y)-2y=7 Ahora, despejamos la "y". 35-5y-2y=-7 35-7y=-7-7y=-7-35 -7y=-42 y=-42/-7=6 y=6 Por último, utilizamos el valor de "y" para hallar el valor de "x". x= 7-y x=7-6=1 x=1 La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6. 1 +6 = 7 5.1 2.6 = 7 } Sistema de ecuaciones #YSTP 2
Realiza los siguientes ejercicios propuestos por el método de sustitución: A)x 2y = 0 x y = 12 } B) x +y = 48 x 3y = 4 } c) x. y = 20 2x +2y = 18 } D) 4x +y = 8 2x 2y = 6 } E) 3x +2y = 6 2x 4y = 12 } Ejercicios resueltos: A) x 2y = 0 x y = 12 } Despejo x en la primera ecuación: x= 2y Sustituyo en la segunda: x- y=12 (2y)-y= 12 y =12 x= 2y=2.(12)=24 x=24 La solución es x= 24 y = 12. B) x +y = 48 x 3y = 4 } Despejo x en la primera ecuación: x=48-y Sistema de ecuaciones #YSTP 3
Sustituyo en la segunda y resuelvo: x-3y=4 (48-y)-3y=4 48-4y=4-4y=4-48 -4y=-44 y=-44/-4=11 y=11 x=48-y=48-11=37 x=37 La solución es x= 37 y = 11. C) x. y = 20 2x +2y = 18 } y=20/x 2.x+2.( 20/x)=18 x.(2.x+2.( 20/x)=18) 2x 2 +40-18x=0 x 2-9x+20=0 x= ( 9)± ( 9)2 4.1.20 2.1 x1=5 x2=4 y1=20/x1=20/5=4 = 9± 81 80 2 y2=20/x2=20/4=5 = 9±1 2 Sistema de ecuaciones #YSTP 4
D) 4x +y = 8 2x 2y = 6 } Despejo y en la primera ecuación: y= 8-4x Sustituyo en la segunda: 2x-2y=-6 2x- 2. (8-4x) = -6 2x-16+8x=-6 10x=-6+16 10X=10 x= 10/10= 1 x= 1 Si: y= 8-4x= 8-4.1= 8-4 = 4 y = 4 La solución es x= 1 y = 4. Sistema de ecuaciones #YSTP 5
E) 3x +2y = 6 2x 4y = 12 } Despejo y en la primera: 2y= 6-3x y= 6 3x 2 Y sustituyo en la segunda: 2x-4. ( 6 3x 2 ) = -12 2x-2.(6-3x)=-12 2x-12+6x=-12 8x=-12+12 8x=0 x=0 y= 6 3x 2 = 6 2 = 3 La solución es x= 0 y = 3. Sistema de ecuaciones #YSTP 6
Método de Igualación El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y después igualar los resultados. x +y = 7 5x 2y = 7 } Los pasos a seguir son los siguientes: En primer lugar, elegimos la incógnita que deseamos despejar. En este caso, empezaré por la "x" y despejo la misma en ambas ecuaciones. x+y=7; x=7-y 5x-2y=-7; 5x=2y-7; x= (2y-7)/5 Una vez hemos despejado, igualamos: 7-y=(2y-7)/5 5(7-y=(2y-7)/5) 35-5y=2y-7 42=7y y=42/7=6 y=6 Sistema de ecuaciones #YSTP 7
Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales. x=7-y x=7-6=1 x=1 La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6. Resuelve los siguientes ejercicios propuestos por el método de igualación: A)x 2y = 0 x y = 12 } B) x +y = 48 x 3y = 4 } c) x. y = 20 2x +2y = 18 } D) 4x +y = 8 2x 2y = 6 } E) 3x +2y = 6 2x 4y = 12 } Ejercicios resueltos: A) x 2y = 0 x y = 12 } En primer lugar despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita (en este caso la x ). Sistema de ecuaciones #YSTP 8
x= 2y x = 12 + y Procedemos a igualar: 2y = 12 + y y=12 x= 2y= 2. (12) = 24 La solución es x= 24 y = 12. B) x +y = 48 x 3y = 4 } En primer lugar despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita (en este caso la x ). x = 48 - y x = 4 + 3 y Procedemos a igualar: 48 y = 4 + 3y -y -3y = 4-48 Sistema de ecuaciones #YSTP 9
-4y = -44 y = 11 x = 48 y= 48-11= 37 x = 37 La solución es x= 37 y = 11. C) x. y = 20 2x +2y = 18 } En primer lugar despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita (en este caso la x ). x = 20/ y x = 18-2y/2 Procedemos a igualar: 20/y = (18-2y)/2 2. 20 = y. ( 18-2y) 40 = 18 y 2 y 2 -y 2 +9y-20=0 y= (+9)± (+9)2 4. 1. 20 2.1 = 9± 81 80 2 = 9±1 2 Sistema de ecuaciones #YSTP 10
y1=5 y2=4 x1=20/y1=20/5=4 x2=20/y2=20/4=5 D) 4x +y = 8 2x 2y = 6 } En primer lugar despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita (en este caso la x ). x = (8-y)/ 4 x = (-6+2y)/ 2 Procedemos a igualar: (8-y)/ 4 = (-6+2y)/ 2 2. (8-y)=4.(-6+2y) 16-2y =-24+8y 16+24 = 8y+2y 40 = 10 y y = 40/10= 4 x = (8-y)/ 4 =8-4/4 = 4/4= 1 x =1 La solución es x= 1 y = 4. Sistema de ecuaciones #YSTP 11
E) 3x +2y = 6 2x 4y = 12 } En primer lugar despejamos en ambas ecuaciones la misma incógnita (en este caso la x ). x = (6-2y)/ 3 x = (-12+4y)/ 2 Procedemos a igualar: (6-2y)/ 3 = (-12+4y)/ 2 2. (6-2y) = 3. (-12 +4y) 12-4y = -36 +12y -4y-12y=-36-12 -16y=-48 Y = -48/-16=3 x= (6-2y)/ 3= (6-2x3)/3 = 0/3= 0 La solución es x= 0 y = 3. Sistema de ecuaciones #YSTP 12
Método de reducción Con el método de reducción lo que hacemos es combinar, sumando o restando, nuestras ecuaciones para que desaparezca una de nuestras incógnitas. Los pasos a seguir son los siguientes en el siguiente ejemplo: x +y = 7 5x 2y = 7 } En primer lugar, necesitamos preparar las dos ecuaciones, si es necesario, multiplicándolas por los números que convenga. En este caso, queremos reducir la "y" de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2. 2(x+y=7) 5x-2y=-7 Así, el sistema se queda: 2x +2y = 14 5x 2y = 7 } Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece. 2x +2y = 14 +5x 2y = 7 +7x 0 = 7 Sistema de ecuaciones #YSTP 13
Y nos quedaría: 7x=7 x=7/7=1 x=1 Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales. y= 7-x y=7-1=6 y=6 La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6. Resuelve los siguientes ejercicios por el método de reducción: A)x 2y = 0 x y = 12 } B) x +y = 48 x 3y = 4 } C) 4x +y = 8 2x 2y = 6 } D) 3x +2y = 6 2x 4y = 12 } Ejercicios resueltos: Sistema de ecuaciones #YSTP 14
A) x 2y = 0 x y = 12 } En este caso, queremos reducir la "x" de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por -1. -(x-2y=0) -x+2y=0 Así, el sistema se queda: x +2y = 0 x y = +12 } Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece. x +2y = 0 +x y = +12 0 +y = +12 Y= 12 Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales: X= 2y = 2. 12 = 24 X= 24 La solución es x= 24 y = 12. Sistema de ecuaciones #YSTP 15
B) x +y = 48 x 3y = 4 } En este caso, queremos reducir la "x" de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por -1. -(x +y= 48) -x-y=-48 Así, el sistema se queda: x y = 48 x 3y = 4 } Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece. x y = 48 +x 3y = +4 0 4y = 44 Y= -44/-4= 11 Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales: X= 48-y = 48-11= 37 X= 37 La solución es x= 37 y = 11. Sistema de ecuaciones #YSTP 16
C) 4x +y = 8 2x 2y = 6 } En este caso, queremos reducir la "y" de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2. 2(4x+y=8) 8x+2y=16 Así, el sistema se queda: +8x +2y = +16 2x 2y = 6 } Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece. +8x +2y = +16 +2x 2y = 6 10x +0 = +10 X= 10/10 = 1 Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales: y= 8-4x= = 8-4.1 = 4 y= 4 La solución es x= 1 y = 4. Sistema de ecuaciones #YSTP 17
D) 3x +2y = 6 2x 4y = 12 } En este caso, queremos reducir la "y" de nuestro sistema, por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 2. 2(3x+2y=6) 6x+4y=12 Así, el sistema se queda: +6x +4y = 12 2x 4y = 12 } Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos desaparece. +6x +4y = +12 +2x 4y = 12 8x +0 = 0 x= 0 Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra incógnita en una de las ecuaciones iniciales: y= (6-3x)/2 = 6/2 = 3 y= 3 La solución es x= 0 y = 3. Sistema de ecuaciones #YSTP 18
Si tienes cualquier duda y quieres ponerte en contacto conmigo, puedes hacerlo escribiéndome a yosoytuprofe.miguel@gmail.com, o bien a través de mis perfiles en redes sociales (Facebook,Twitter yyoutube). Nos vemos en la siguiente clase. Sistema de ecuaciones #YSTP 19