Licenciatura en Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciudad Ojeda, febrero 07
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Un par de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se consideran simultáneamente, forman un sistema. Su forma más simplificada sería: ax by c a' x b' y c' Las incógnitas son x e y; las demás letras representan números: a, b, a, b se llaman coeficientes; c y c términos independientes. Una solución del sistema es toda pareja de valores de las variables que satisfacen al mismo tiempo sus ecuaciones. Resolver un sistema es encontrar su solución. Gráficamente la solución de un sistema viene dada por los puntos de intersección de las rectas que representan a las dos ecuaciones. Clasificación de Sistemas Los sistemas, según el número de soluciones se clasifican en: Sistema lineal Deter min ados ( tiene una única Compatibles ( tiene soluciones ) Indet er min ados ( tiene inf int as Incompatibles ( no tiene soluciones ) solución ) soluciones ) Representación gráfica Un sistema compatible determinado, está formado por dos rectas secantes, siendo el punto de intersección la solución del sistema. Ejemplo: Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. x y 8 x y Para resolver gráficamente un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, es necesario despejar y de ambas ecuaciones y darle valores arbitrarios a la x luego se llena la tabla de datos y se traza la gráfica.
Ecuación x y 8 y 8 x 8 x y X 0 Y 4 3,5 3 Ecuación x y y x y x X 0 Y 3 Ésta es la gráfica de un sistema de dos incógnitas que es compatible y determinado. El punto de intersección son las soluciones del sistema; en este caso: X = ; Y = 3 Como las rectas se cortan en un punto, sus pendientes tienen que ser distintas m₁ m₂. La pendiente de x y 8 es: m B A La pendiente de x y es: m A B m m Un sistema compatible indeterminado está formado por dos rectas coincidentes, siendo la solución los infinitos puntos comunes a las dos rectas. Ejemplo: Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. x y 5 4x y 0 3
Ecuación x y 5 y 5 x y x 5 X 0 Y -5-3 - Ecuación 4x y 0 y 0 4x y 4x 0 4x 0 y X 0 Y -5-3 - Este es un sistema compatible e indeterminado porque tiene infinitas soluciones, que están representadas por la misma recta. A estas ecuaciones se les conoce como equivalentes y una de ellas se puede obtener por manipulación de los coeficientes de las variables de la otra. En este caso particular, la segunda ecuación se obtiene de multiplicar la primera ecuación por. Gráficamente las ecuaciones que integran un sistema compatible indeterminado coinciden. Un sistema incompatible está formado por dos rectas paralelas no tendiendo solución el sistema por no existir puntos coincidentes comunes a las dos rectas. Ejemplo: Resolver gráficamente un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. x y 4 x y 8 4
Ecuación x y 4 y 4 x 4 x y X 0 4 6 Y 0 - Ecuación x y 8 y 8 x 8 x y X 0 8 Y 4 0 3 Como se puede observar las rectas son paralelas, es decir, no tienen punto común alguno. Esto significa que el sistema dado no tiene solución. Se trata, pues, de un sistema incompatible, donde las pendientes de las mismas deben ser iguales. m La pendiente de x y 4 es B A La pendiente de x y 8 es m A B m m Métodos Analíticos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas En qué consiste eliminar una incógnita?, eliminar una incógnita en un sistema de ecuaciones, es deducir de éstas otro sistema equivalente que no contenga dicha incógnita. Los métodos prácticos de verificar estas transformaciones, se llaman métodos de eliminación, siendo los más empleados el método gráfico y el método analítico. Para éste último método, entre los más usados son: método de reducción (suma y resta), método de 5 sustitución y método de igualación.
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN x y 3x y 5. Despejar una incógnita en cualquiera de las ecuaciones.. Se despeja y en la primera ecuación. y x. Sustituir la expresión de la incógnita despejada en la otra ecuación.. Se sustituye la expresión de y en función de x en la segunda ecuación. 3x y 5 3x ( x) 5 3. Resolver la ecuación que aparece con una sola incógnita. 3. Se resuelve la ecuación que tiene como incógnita x. 3x x 5 4x 5 4x 6 6 x 4 x 4 4. Se sustituye el valor hallado de esta incógnita en una expresión que permita determinar el valor de la otra incógnita. 4. Se sustituye el valor de x para hallar el valor de y. x y 4 y y 4 y 7 5. Comprobar que el par obtenido es solución del sistema inicial. 5. Se comprueba que el par (4, 7) es solución del sistema inicial. Para la era ecuación: x y 4 7 Para la da ecuación: 3x y 5 3(4) 7 5 7 5 5 5 Resolver los sistemas siguientes aplicando el método de sustitución. x y 0 x y 6 3x y 7 6x y 0.. 3. 4. x y 3x y 4 x y 4 x y 5 6
MÉTODO DE IGUALACIÓN x y 3 x y 6. Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.. Se despeja y en las dos ecuaciones: y x 3 y 6 x. Igualar las expresiones de la incógnita despejada, obteniendo una ecuación con la otra incógnita.. Se igualan las expresiones de y : y y x 3 6 x 3. Resolver esta ecuación. 3. Se resuelve la ecuación en x. 4. Sustituir el valor hallado de la incógnita en una expresión del sistema que permita determinar el valor de la otra incógnita. 4. Se sustituye el valor de x en la segunda ecuación del sistema para calcular el valor de y : x 3 6 x x x 6 3 3x 3 x 3 3 x y 6 y 6 y 6 y 5 x 5. Comprobar que el par obtenido es solución del sistema inicial. 5. Se comprueba que el par (, 5) es solución del sistema inicial. Para la era ecuación: x y 3 () 5 3 5 3 3 3 Para la da ecuación: x y 6 5 6 6 6 Resolver los sistemas siguientes aplicando el método de igualación: x y 30 x y 4 5x 6y.. 3. 4. x y 8 3x y 5 3x 9y 80 x y 3 x 3y 7
MÉTODO DE REDUCCIÓN. Transformar el sistema en otro equivalente de manera que los coeficientes de una de las incógnitas en las dos ecuaciones sean números opuestos.. Se multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda por (-4), porque se halla el m.c.m. de los coeficientes de y : 3x 8y 3 x 6y 9 9x 4y 69 44x 4y 36. Se suman algebraicamente ambas ecuaciones.. Se suman ambas ecuaciones y se obtiene una ecuación con una 9x 4y 69 44x 4y 36 incógnita que es x : 35x 05 3. Resolver la ecuación en la que solo aparece una incógnita. 4. Se sustituye el valor hallado de esta incógnita en la otra ecuación que permita determinar el valor de la otra incógnita. 5. Comprobar que el par obtenido es solución del sistema inicial. 3. Se resuelve la ecuación en x : 4. Se sustituye el valor de x en la primera ecuación para hallar el valor de y. 5. Se comprueba que el par (-3, 4) es solución del sistema inicial. 4y 96 35x 05 05 x 35 x 3 9x 4y 69 9( 3) 4y 69 7 4y 69 4y 69 7 y 96 4 Para la era ecuación: 3x 8y 3 3( 3) 8(4) 3 9 3 3 3 3 Para la da ecuación: x 6y 9 ( 3) 6(4) 9 33 4 9 9 9 y 4 Resolver los sistemas siguientes aplicando el método de reducción 6x y 9 x y 0 x y 8.. 3. 4. 3x y 0 3x y 0 x y x y 9 0x y 45 0y x 8