Jorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada

Álgebra y Ecuaciones Diferenciales Lineales y Matemáticas II E.T.S. Ingenieros de Telecomunicación I.T. Telecomunicación Esp. Telemática y Sistemas de Telecomunicación Curso 2009-2010 Tema 11: Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales Jorge Mozo Fernández Dpto. Matemática Aplicada

Tema 11 Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales 11.1. Introducción En este tema aplicaremos los resultados obtenidos en los dos temas anteriores para tratar un tipo de ecuaciones en derivadas parciales lineales. El método que expondremos es el de separación de variables, que como ya hemos comentado consiste esencialmente en buscar inicialmente soluciones en la forma de un producto de funciones, cada una de ellas dependiendo de una única variable. Para ello hemos de emplear las técnicas sobre problemas de contorno del tema 9. Posteriormente, con estas funciones formamos una serie y en el cálculo de los coeficientes de esta serie será necesario aplicar lo que hemos visto en el tema 10 sobre series de Fourier. Siendo nuestro estudio necesariamente limitado, nos contentaremos aquí con tratar tres tipos de ecuaciones modelo: la ecuación de ondas (modelo de ecuación hiperbólica, la ecuación del calor (ecuación parabólica y la ecuación de Laplace (ecuación elíptica. El tipo de ecuaciones en derivadas parciales que consideraremos son las lineales en las variables (x, y (ó (t, x si queremos representar el tiempo. Una ecuación lineal de orden n es una del tipo 0 i+j n a ij (x, y i+j u x i = f(x, y, yj donde a ij (x, y, f(x, y son funciones definidas en un cierto conjunto abierto de R 2, y que supondremos continuas. La ecuación es: 1. Homogénea, si f(x, y = 0. 2. De coeficientes constantes, si a ij (x, y R. De acuerdo con los ejemplos que se han ido desarrollando en temas precedentes, nos quedaremos con las ecuaciones de coeficientes constantes y de orden 2. Una tal ecuación tiene la forma siguiente: au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y + fu = g(x, y, (11.1 expresión en la que hemos empleado la notación habitual de subíndices para las derivadas parciales, y en la que u(x, y es la función incógnita. Decimos que la ecuación anterior es: 11-1

11-2 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 1. Hiperbólica, si b 2 4ac > 0. 2. Parabólica, si b 2 4ac = 0. 3. Elíptica, si b 2 4ac < 0. Como ejemplos de las ecuaciones anteriores tenemos: Ejemplo 11.1 1. La ecuación de ondas, u tt = α 2 u xx, α > 0 es una ecuación hiperbólica. 2. La ecuación del calor, u t = α 2 u xx es un ejemplo de ecuación parabólica. 3. La ecuación de Laplace, u xx + u yy = 0 es una ecuación elíptica. Estos tres modelos de ecuaciones nos servirán para ilustrar el método de separación de variables, que es, no obstante, aplicable a otros tipos de ecuaciones en derivadas parciales más generales, lo limitaremos sólo a algunos ejercicios. Las dos primeras ecuaciones (ondas y calor representan fenómenos que evolucionan en el tiempo, representado éste como es usual por la variable t. Su generalización a mayor número de variables es clara. Así, por ejemplo, el modelo utilizado para representar la vibración de una membrana bidimensional es u tt = α 2 (u xx + u yy, donde (x, y varían en cierto dominio D R 2, y t 0. Para la ecuación de ondas, así como para la del calor, tendremos dos tipos de condiciones adicionales: Condiciones iniciales: representan el estado del sistema en tiempo 0. Así, en el caso de la ecuación de ondas, las condiciones iniciales serán u(x, 0 = f(x; u t (x, 0 = g(x. La primera de ellas representa la posición del sistema en tiempo t = 0, y la segunda su velocidad. Para la ecuación del calor, la condición inicial será u(x, 0 = f(x, expresión que representa, según este modelo, la temperatura inicial del cuerpo. Condiciones de contorno: Representan la evolución del sistema en los extremos del mismo. Tanto para la ecuación de ondas como para la del calor, su forma más general es a 1 u(0, t + b 1 u x (0, t = f 1 (t a 2 u(l, t + b 2 u x (L, t = f 2 (t. Por el contrario, la ecuación de Laplace es un ejemplo de modelo que no depende del tiempo. Responde por ejemplo al cálculo del potencial electrostático en el interior de un recinto D R 2, conocido dicho potencial en la frontera del recinto. Dado que el fenómeno es independiente del tiempo, no tiene sentido plantearse las condiciones iniciales, sino únicamente las de contorno: el conocimiento del valor de la función solución en la frontera del dominio. Las ecuaciones en derivadas parciales lineales comparten algunas propiedades con las ecuaciones diferenciales ordinarias, pero difieren de aquellas en otras. Así, escribamos abreviadamente L[u] = g(x, y una ecuación en derivadas parciales lineal de segundo orden, donde definimos L[u] = au xx + bu xy + cu yy + du x + eu y + fu.

11.2. EL MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES 11-3 El problema de hallar sus soluciones, se reduce, como en el caso de ecuaciones diferenciales ordinarias, a calcular una solución particular u p, y a resolver completamente la homogénea. Al igual que allí, el conjunto de soluciones de una ecuación en derivadas parciales lineal homogénea forma un espacio vectorial, pero en este caso no es de dimensión finita. Ejemplo 11.2 Consideremos la ecuación u x u y = 0. Cualquier función de la forma u(x, y = f(x + y, siendo f una función arbitraria de una variable, es solución. Esto incluye en particular las funciones {1, x + y, (x + y 2,..., (x + y n,...}, que forman un conjunto linealmente independiente, infinito en número, con lo que la dimensión del espacio de soluciones es infinita. Así, si u 1,..., u N son soluciones de L[u] = 0, cualquier combinación lineal suya también lo es: [ N ] N L α i u i = α i L [u i ] = 0. i=1 i=1 Supongamos que hemos hallado una familia infinita de soluciones linealmente independientes u 1, u 2,... u n,..., y que una función u se escribe como u = α n u n. Entonces, bajo ciertas condiciones se tiene que [ ] L [u] = L α n u n = α n L[u n ] = 0, i=1 con lo que, una combinación lineal infinita de soluciones resulta ser también una solución, caso de que converja. Se conoce este resultado como principio de superposición, y es una de las claves para la aplicación del método de separación de variables. 11.2. El método de separación de variables Para una ecuación en derivadas parciales lineal homogénea L[u] = 0 como las anteriores, existen diversos métodos de solución. Vamos a describir en esta sección, de manera general, el método de separación de variables, el cual resulta ser válido para una gran cantidad de modelos. Por fijar ideas, supongamos que tenemos un problema en el que interviene la ecuación de ondas, con condiciones de contorno homogéneas u tt = α 2 u xx u(x, 0 = f(x; u t (x, 0 = g(x a 1 u(0, t + a 2 u x (0, t = 0 b 1 u(l, t + b 2 u x (L, t = 0. Buscamos en primer lugar soluciones u(x, t en la forma X(xT (t, es decir, con las variables separadas, que verifiquen la ecuación y las condiciones de contorno. Obtenemos con λ R. Planteamos las ecuaciones X (x X(x = 1 α 2 T (t T (t = λ, X (x + λx(x = 0 T (t + λα 2 T (t = 0.

11-4 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Las condiciones de contorno se traducen en (a 1 X(0 + a 2 X (0T (t = 0 (b 1 X(L + b 2 X (LT (t = 0. Así, en primer lugar nos encontramos con el problema de Sturm-Liouville siguiente: X (x + λx(x = 0 a 1 X(0 + a 2 X (0 = 0 b 1 X(L + b 2 X (L = 0, el cual tiene, como hemos visto, una sucesión {λ n } de autovalores asociados, y para cada uno de ellos, un espacio de autofunciones generado por X n (x. Para cada autovalor λ n resolvemos la ecuación T (t + λ n α 2 T (t = 0. Suponiendo que λ n > 0 (cosa que, como hemos visto, ocurre frecuentemente, y en todo caso, siempre salvo un número finito de valores de n, la solución de la ecuación es de la forma Así, cualquier combinación lineal N T n (t = a n cos( λ n αt + b n sen( λ n αt. [ a n cos( λ n αt X n (x + b n sen( ] λ n αt X n (x verifica la ecuación y las condiciones de contorno. Hemos comentado que una combinación lineal infinita también es solución, si converge. Así, supondremos en la expresión anterior que N =. Las condiciones iniciales significan que f(x = a n X n (x; g(x = b n λn αx n (x. En caso de que las funciones X n (x sean de la forma cos ( nπ ( nπ L x, ó sen L x (lo cual será la situación habitual, el problema ahora será desarrollar f(x, g(x en serie de Fourier, lo que ya hemos estudiado en el tema anterior. En esto consiste, en resumidas cuentas, el método de separación de variables, el cual puede aplicarse usando exclusivamente lo estudiado en los temas anteriores. Nos permite hallar una solución en forma de serie de funciones. Para completar el estudio, es interesante resolver los dos problemas siguientes: 1. La serie obtenida, converge? Es decir, representa realmente una función solución? 2. Dicha solución, es única? En este tema de carácter básico no entraremos en el detalle de los problemas anteriores. En las próximas secciones aplicaremos el método de separación de variables a los tipos básicos de las diferentes ecuación en derivadas parciales lineales. 11.3. La ecuación de onda unidimensional Como ya hemos comentado, las vibraciones de una cuerda de longitud L sujeta en los extremos responde al modelo matemático siguiente: u tt = α 2 u xx, x [0, L], t 0 u(x, 0 = f(x; u t (x, 0 = g(x (11.2 u(0, t = u(l, t = 0.

11.3. LA ECUACIÓN DE ONDA UNIDIMENSIONAL 11-5 Aplicamos el método de separación de variables a este problema. Como hemos visto antes, llegamos al problema de Sturm-Liouville siguiente: X (x + λx(x = 0 X(0 = X(L = 0. Este problema fue estudiado en el tema 9, donde vimos que los autovalores son λ n = n2 π 2, n = 1, 2..., L2 ( nπ y las autofunciones X n (x = sen L x. El planteamiento de las condiciones iniciales nos lleva a desarrollar ( nπ f(x = a n sen L x, g(x = b n nπ L α sen ( nπ L x. Para que se verifiquen las condiciones iniciales y de contorno simultáneamente debe ser f(0 = u(0, 0 = 0; f(l = u(l, 0 = 0. Así, si f : [0, L] R es continua, de clase C 1 a trozos, y f(0 = f(l = 0, puede desarrollarse en serie de Fourier en senos y se tiene la primera igualdad, donde a n = 2 L ( nπ f(x sen L L x dx. Además, 0 g(0 = u t (0, 0 = t (u(0, t t=0 = 0, g(l = u t (L, 0 = t (u(l, t t=0 = 0, de donde, si g es continua y C 1 a trozos, es válido el mismo razonamiento, obteniéndose que b n = 2 nπα L 0 ( nπ g(x sen L x dx. La solución del problema 11.2 es, pues, [ ( nπα ( nπ ( nπα ( nπ ] u(x, t = a n cos L t sen L x + b n sen L t sen L x, con los a n, b n obtenidos anteriormente. Escribimos la serie anterior como u(x, t = 1 ( nπ ( nπ ] a n [sen 2 L (x + αt + sen L (x αt 1 2 ( nπ ( nπ ] b n [cos L (x + αt cos L (x αt. El primer sumando es, por lo tanto, f i(x + αt + f i (x αt. Integrando, el segundo sumando resulta ser 2 1 2α x+αt x αt g i (sds. En las expresiones anteriores, f i, g i son las extensiones impares 2L-periódicas de f, g, respectivamente. La interpretación de la solución obtenida es clara: la solución se obtiene por superposición de dos ondas que se desplazan a derecha e izquierda con velocidad dada por la constante α. En general se tiene el siguiente resultado:

11-6 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Teorema 11.3 Si f C 2 ([0, L], f(0 = f(l = f (0 = f (L = 0, y g C 1 ([0, L], g(0 = g(l = 0, entonces es la única solución del problema 11.2. u(x, t = 1 2 [f i(x + αt + f i (x αt] + 1 2α x+αt x αt g i (sds. Nota 11.4 Algunos comentarios sobre las hipótesis del teorema anterior. Hemos visto que para que el problema tenga sentido, debe ser f(0 = f(l = g(0 = g(l = 0. Además, y por tanto 2 u t 2 (x, 0 = α2 2 u x 2 (x, t = α2 f (x, 0 = 2 u t 2 (0, 0 = α2 f (0 = f (0 = 0 0 = 2 u t 2 (L, 0 = α2 f (L = f (L = 0. Razonando de otra manera, la derivada de una función impar es par, y la de una función par es impar ( demuéstrese!. Así, si pretendemos que la extensión impar 2L-periódica f i (x de f(x sea de clase C 2, debe ser f i (0 = f (0 = 0; f i (L = f (L = 0. Ejemplo 11.5 Ahora, Resuélvase, por el método de separación de variables, el problema La expresión de la solución es u(x, t = de donde a n = 0 para todo n. u tt = u xx, 0 x π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = 0; u t (x, 0 = sen x. [a n cos(nt sen(nx + b n sen(nt sen(nx]. y así, b 1 = 1, b n = 0 si n 1. La solución es u(x, t = sen t sen x. 0 = u(x, 0 = sen x = a n sen(nx, nb n sen(nx,

11.4. LA ECUACIÓN DEL CALOR 11-7 11.4. La ecuación del calor Consideramos una barra de longitud L aislada en uno de sus extremos, y cuya temperatura inicial viene dada por la función f(x, x [0, L] (f(0 = f(l = 0. Supongamos que no hay intercambio de calor con el exterior. Si u(x, t representa la temperatura del punto x de la barra en el instante t, es conocido que u(x, t verifica el modelo matemático u t = α 2 u xx u(0, t = u(l, t = 0, t 0 (11.3 u(x, 0 = f(x, x [0, L]. Este es un modelo de ecuación parabólica, con condiciones iniciales y de contorno. Planteamos el método de separación de variables, buscando soluciones de la forma u(x, t = X(xT (t. Debe ser: X (x X(x = 1 α 2 T (t T (t = λ, y nos encontramos de nuevo con el problema de Sturm-Liouville el cual tiene autovalores λ n = n2 π 2 admite como solución L 2 Buscamos una solución en la forma X + λx = 0 X(0 = X(L = 0, ( nπ, y autofunciones asociadas X n(x = sen L x. La ecuación T (t + λ n α 2 T (t = 0 T n (t = b n exp( λ n α 2 t = b n exp ( n2 π 2 α 2 L 2 t. u(x, t = ( nπ b n sen L x exp n 1 ( n2 π 2 α 2 L 2 t. La condición inicial se traduce en f(x = ( nπ b n sen L x. n 1 Si f C([0, L], y C 1 a trozos, con f(0 = f(l = 0, lo anterior es la representación en serie de Fourier en senos de f, siendo b n = 2 L ( nπ f(x sen L L x dx. 0 La expresión para u n (x, t define efectivamente una función. En efecto, si f(x M en [0, L] ( por qué existe M?, entonces y b n 2 L L 0 Mdx = 2M, u n (x, t 2M exp ( n2 π 2 α 2 L 2 t 2M exp ( π2 α 2 n L 2 t 0, n 0 n 0 si t t 0, y el criterio mayorante de Weierstrass nos dice que la serie que define u(x, t converge uniformemente. Se tiene el resultado siguiente: Teorema 11.6 Si f C 2 ([0, L], f(0 = f(l = 0, entonces el problema 11.3 admite una única solución u(x, t

11-8 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES C([0, L] [0,, que es la obtenida por el método de separación de variables. Ejemplo 11.7 Resolvamos la ecuación u t = 5u xx, 0 < x < 1, t > 0 u(0, t = u(1, t = 0 u(x, 0 = sen πx 3 sen 7πx. donde Así, La solución es u(x, t = b n sen(nπx exp( n 2 π 2 5t, b n sen(nπx = sen πx 3 sen 7πx. u(x, t = sen(πx e 5π2t 3 sen(7πx e 245π2t. 11.5. La ecuación de Laplace Consideremos de nuevo la ecuación del calor tratada en la sección anterior, pero ahora en una dimensión más: si pretendemos estudiar la distribución de temperatura a lo largo de una lámina bidimensional D R 2, hemos de considerar el modelo matemático siguiente: u t = α 2 (u xx + u yy u(0, x, y = f(x, y. Supongamos que mantenemos el contorno de D, C, aislado a cierta temperatura g(x, y: u C (t, x, y = g(x, y. Obviamente, debe ser g = f C. Tras un periodo muy grande de tiempo, podemos suponer que la temperatura del sistema se estabiliza, esto es, ya no varía más. Matemáticamente, esto se representa por u t = 0. Para calcular el estado en el que queda el sistema hemos de resolver el problema u xx + u yy = 0 (11.4 u C = g(x, y, (11.5 donde ahora u es una función de dos variables (x, y. Esto constituye el modelo de problema elíptico (ecuación de Laplace que hemos mencionado anteriormente. Es un modelo independiente del tiempo t. El planteamiento de su solución variará según sea la forma del dominio D. Podemos aplicar el método de separación de variables si la función g(x, y tiene las variables separadas, esto es, si por ejemplo el contorno es rectangular. Supongamos que D = [0, a] [0, b], y que las condiciones de contorno son: g 1 (x = g(x, 0 si x [0, a] g 2 (y = g(0, y si y [0, b] g 3 (x = g(x, b si x [0, a] g 4 (y = g(0, y si y [0, a]. Supongamos en primer lugar que las condiciones son homogéneas en y, esto es g 2 (y = g 4 (y = 0. El método de separación de variables nos lleva a plantear la búsqueda de soluciones u(x, y = X(xY (y.

11.5. LA ECUACIÓN DE LAPLACE 11-9 Debe ser: X (x X(x = Y (y Y (y = λ. En primer lugar, tenemos el problema de Sturm-Liouville X + λx = 0 X(0 = 0; X(a = 0, de autovalores λ n = n2 π 2 La ecuación tiene por soluciones a 2 ( nπ y autofunciones X n (x = sen a x. Y (y n2 π 2 a 2 Y (y = 0 ( nπ a n exp a y + b n exp ( nπ a y. De ahí, planteamos la solución de 11.4 como u(x, y = ( nπ [ ( nπ sen a x a n exp a y + b n exp ( nπ ] a y. n 1 Imponiendo las otras condiciones de contorno, g 1 (x = n 1(a ( nπ n + b n sen a x g 3 (x = n 1 [ ( a n exp nπ b ( + b n exp nπ b ] ( nπ sen a a a x. Como g 1 (0 = g 1 (b = g 3 (0 = g 3 (b = 0, pueden calcularse los coeficientes anteriores a partir de los desarrollos de Fourier en senos de g 1 (x, g 3 (x en [0, a]. Actuaríamos de manera simétrica si en las condiciones de contorno tuviéramos g 1 (x = g 3 (x = 0, calculando una solución en serie v(x, y. En el caso general, descomponemos el problema original en dos problemas: u xx + u yy = 0 v xx + v yy = 0 u(x, 0 = g 1 (x v(x, 0 = 0 u(x, b = g 3 (x v(x, b = 0 u(0, y = 0 u(a, y = 0 v(0, y = g 2 (y v(a, y = g 4 (y. Para cada uno de ellos hallamos una solución u(x, y, v(x, y, la cual será válida en (0, a (0, b. La función u(x, y + v(x, y es solución del problema original, en el interior del rectángulo. Observemos que hemos de excluir las esquinas del rectángulo en cada uno de los problemas anteriores, al no tenerse necesariamente que g 1 (0 = g 3 (0 = 0, ó g 2 (0 = g 4 (0 = 0. La convergencia de la serie que define la solución se da, por tanto, en el interior del rectángulo. La existencia y unicidad de soluciones en el problema de Laplace queda garantizada por Teorema 11.8 La ecuación u xx + u yy = 0 en R = [0, a] [0, b], u C = g(x, y, donde C es el contorno del rectángulo R, y g(x, y es continua en C y de clase C 1 a trozos en cada lado del rectángulo, admite solución única u(x, y C 2 ((0, a (0, b.

11-10 TEMA 11. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES 11.6. Ejercicios 1. Resuélvanse los siguientes problemas de valores iniciales y de contorno relacionados con la ecuación de ondas, por el método de separación de variables. a b c d u tt = u xx, 0 < x < 1, t 0 u(0, t = u(1, t = 0 u(x, 0 = x(1 x; u t (x, 0 = sen 7πx. u tt = 16u xx, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = sen 2 x; u t (x, 0 = 1 cos x. u tt = 4u xx, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = x 2 (π x; u t (x, 0 = 0. u tt = u xx, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = sen x sen 3x; u t (x, 0 = 2 sen 4x. 2. Considera el siguiente problema en el que interviene la ecuación de onda no homogénea: u tt = u xx + tx, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = sen x, u t (x, 0 = 5 sen 2x 3 sen 5x a Plantea la búsqueda de una solución en la forma u n (t sen(nx. b Utilizando la ecuación, así como las condiciones iniciales y de contorno, calcula los coeficientes u n (t de la solución. 3. Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales relacionados con la ecuación del calor: a u t = 5u xx, 0 < x < 1, t 0 u(0, t = u(1, t = 0 u(x, 0 = (1 xx 2. b u t = u xx, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = x 2. c u t = 2u xx, 0 < x < 1, t 0 u x (0, t = u x (1, t = 0 u(x, 0 = x(1 x.

11.6. EJERCICIOS 11-11 d u t = 7u xx, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = sen x sen 2x. 4. Considera el siguiente problema en el que interviene la ecuación del calor no homogénea: u t = u xx + e x, 0 < x < π, t 0 u(0, t = u(π, t = 0 u(x, 0 = sen 2x. a Plantea la búsqueda de una solución en la forma v(x + w(x, t, con v(0 = 0, v(π = 0. b Halla v(x, y la ecuación que debe verificar w(x, t. c Emplea el método de separación de variables para calcular w(x, t. 5. Resuelve los siguientes problemas de contorno, relacionados con la ecuación de Laplace. a u xx + u yy = 0, 0 < x < π, 0 < y < 1 u x (0, y = u x (π, y = 0 u(x, 0 = 4 cos 6x + cos 7x u(x, 1 = 0. b u xx + u yy = 0, 0 < x < π, 0 < y < π u(0, y = u(π, y = 0 u(x, 0 = sen x + sen 4x u(x, π = 0. c u xx + u yy = 0, 0 < x < π, 0 < y < 1 u x (0, y = u x (π, y = 0 u(x, 0 = cos x cos 3x u(x, 1 = cos 2x. d u xx + u yy = 0, 0 < x < π, 0 < y < π u(0, y = u(π, y = sen y u(x, 0 = u(x, π = sen x. 6. Emplea el método de separación de variables para resolver el siguiente problema: u tt + 2u t + u = u xx, 0 < x < L, t > 0 u(0, t = u(l, t = 0 u(x, 0 = sen π L x 3 sen 2π L x u t (x, 0 = 5 sen 2π L x.