Te Stack an o to get it J.M. Aroca y E. Velasco 7 de mayo de 2011 1. Introdcción Un sistema de ecaciones algebraicas: f 1 (x 1,..., x n ) =... = f r (x 1,..., x n ) = 0, f i (x 1,..., x n ) k[x 1,..., x n ] define por na parte na k- algebra finitamente generada A = k[x 1,..., x n ]/I, I = (f 1,.., f r )k[x 1,..., x n ] y por otra las solciones del sistema, es decir el conjnto de pntos del espacio afín k n en qe se anlan todas las fnciones. Cada no de estos pntos P = (a 1,...a n ) k n define por sbstitción n omomorfismos de k -algebras: e P : A k, e P (f(x 1,..., x n ) + I) = f(a 1,..., a n ) y recíprocamente, de modo qe ay correspondencia binívoca entre solciones en k n del sistema y Hom k (A, k). Si tomamos na extensión de k. L la propiedad se mantiene y las solciones con valores en L del sis tema se corresponden binívocamente con Hom k (A, L) y lo mismo scede si tomamos en lgar de na extensión na k- algebra calqiera. La geometría de Grotendieck sbstitye las variedades algebraicas por esqemas, en los cales los pntos son ideales primos, con lo qe la idea geométrica se pierde. La tendencia post-grotendieck es sbstitir los esqemas por ss familias de conjntos de pntos en el sentido anterior. Así tenemos en lgar de la variedad algebraica clásica o el esqema, na correspondencia qe asocia a cada k-álgebra n conjnto de pntos y a cada omomorfismo de k-algebras na aplicación, esto es lo qe se llama n fntor. Aora debemos pregntarnos: Como se trabaja con estos fntores?. Son estos fntores más generales qe las variedades?. Cando n fntor representa na variedad? Tiene algna ventaja trabajar con este tipo de objetos? etc. De esto nos vamos a ocpar a continación en n contexto my general. En todo el texto, y al ablar de categoría, trabajaremos solo con conjntos para obviar las dificltades añadidas por las diferencias entre clases y conjntos, qe no son esenciales para comprender los objetos qe qeremos describir. 1
2. Algo de lengaje de categorías Una categoría C es: Un conjnto Ob(C) a cyos elementos llamaremos objetos Para cada par de objetos A, B n conjnto Hom C (A, B) a cyos elementos llamaremos morfismos. Escribiremos indistintamente f Hom C (A, B) y f : A B y llamaremos a A y B dominio y rango de f respectivamente. Una composición de morfismos: Hom C (A, B) Hom C (B, C) Hom C (A, C), (f, g) gf Si existe la composición de f y g, es decir si el rango de f coincide con el dominio de g se dice qe son componibles. La composición debe verificar las propiedades sales: asociativa: gf, g (g)f = (gf) Para cada objeto A, 1 A : A A de modo qe f : A B f1 A = 1 B f = f Una categoría D es na sbcategoría de otra C si y solo si: Ob(D) Ob(D) A, B Ob(D), Hom D (A, B) Hom C (A, B) Las composiciones de morfismos coinciden En na categoría n isomorfismo es n morfismo con inverso, es decir f : X Y es n isomorfismo si y solo si: Ejemplos 2.1. g : Y X, gf = 1 X, fg = 1 Y 2.1.1..- Los conjntos y las aplicaciones, los grpos y los omomorfismos de grpos, los espacios topológicos y las aplicaciones continas, etc. son ejemplos de categorías, a las qe representaremos como ((Sets)), ((Gr)), ((Top)), etc.. La categoría de grpos abelianos, es na sbcategoría de la de grpos, la de conjntos finitos es na sbcategoría de la de conjntos etc. 2.1.2..- Si G es n grpo llamaremos G-conjnto a todo conjnto con na acción de G, es decir a n par (X, p) donde X es n conjnto y na aplicación tal qe: (xg) = x(g) p : X G X, p(x, g) = xg 2
xe G = x (e G es la nidad de G) La acción de n grpo G sobre n conjnto E se dice simple si: y se dice transitiva si: y se dice trivial si x E, ρ x : G E, ρ x (g) = xg es inyectiva x, y E, g G, xg = y x E, g G, xg = x Un G- morfismo o morfismo eqivariante entre dos G-conjntos es na aplicación qe conmta con la acción ϕ : X Y, ϕ(xg) = ϕ(x)g La órbita de n elemento x X de n G-conjnto es el sbconjnto: O x = {xg g G} Y el conjnto de órbitas se llama conjnto cociente por la acción de G y se representa por X/G. Los G-conjntos y G-morfismos forman na categoría ((G Sets)). Como cada conjnto se pede dotar de la acción trivial y toda aplicación es eqivariante para la acción trivial, la categoría ((Sets)) es na sbcategoría de la ((G Sets)) 2.1.3..- Si S es n objetos de na categoría C podemos constrir na neva categoría, la categoría relativa a S, C/S como sige: Ob(C/S) = X Ob(C) Hom C (X, S) f : X S, g : Y S, Hom C/S (f, g) = { Hom C (X, Y ) f = g} X [ [] f S g Y La composición de morfismos es la de C 2.1.4..- Si X es n espacio topológico se pede constrir na categoría T X cyos objetos son los abiertos de X y Hom TX (U.V ) esta formado solo por la inclsión si U V y es el vacío en caso contrario. Dadas dos categorías C y D se llama fntor de la primera en la segnda, a: 3
Una aplicación F : Ob(C) Ob(D) Para todo par de objetos de C, A, B, na de las dos opciones sigientes: Una aplicación F : Hom C (A, B) Hom D (F (A), F (B)) tal qe: F (1 A ) = 1 F (A), F (gf) = F (g)f (f) Una aplicación F : Hom C (A, B) Hom D (F (B), F (A)) tal qe: F (1 A ) = 1 F (A), F (gf) = F (f)f (g) En el primer caso el fntor se llama covariante y en el segndo contravariante. Obviamente la composición de fntores es n fntor y la identidad también de modo qe tiene sentido ablar de la categoría ((Cat)) cyos objetos son las categorías y cyos morfismos son los fntores. Ejemplos 2.2. 2.2.5..- Si C es na categoría y T es n objeto, podemos asociar a T dos fntores de C en la categoria de conjntos ((Sets)) T ( ) definido por: T (S) = Hom C (T, S), f : S U, ϕ T (S), T (f)(ϕ) = fϕ T (U) T ( ) definido por: T (S) = Hom C (S, T ), f : S U, ϕ T (U), T (f)(ϕ) = ϕf T (S) El primero es covariante y el segndo contravariante. 2.2.6..- Si X e Y son espacios topológicos y f : X Y es na aplicación contina tenemos n fntor: f : T Y T X, f(v ) = f 1 (V ) 2.2.7..- Si X es n espacio topológico, todo fntor contravariante P de T X en na categoría C, se llama n preaz sobre X con valores en C. Si U V son abiertos de X, el morfismo P(V ) P(U) se llama restricción de V a U. Si X e Y son espacios topológicos podemos asociar a cada abierto U de X el conjnto de aplicaciones continas de U en Y, tomando como restricción la restricción sal de fnciones tenemos n preaz C Y. Este preaz verifica la propiedad sigiente: Dado n recbrimiento abierto {U i } i I de n abierto U, y dadas fnciones continas {f i : U i Y } i I tales qe: f i Ui U j = f j Ui U j, i, j I entonces: f : U Y, contina única tal qe : f Ui = f i, i I entonces se dice qe este preaz es n az. (La propiedad anterior se enncia trivialmente para todos los preaces de conjntos con na estrctra) 4
Obviamente y para n objeto T fijo T ( ) es n preaz de conjntos, pero en general no es n az. Si ((BMet)) es la categoría de espacios métricos y aplicaciones continas acotadas, los U n = (1/n, 1), n N forman n recbrimiento abierto de (0, 1), y las fnciones reales f n : U n R, f n (x) = 1/x cmplen la condición de az y no definen na fnción acotada sobre (0, 1). 2.2.8..- Si P es n preaz sobre n espacio X y f : X Y es na aplicación contina, podemos definir n preaz sobre Y, llamado imagen directa de P por f, por: V T Y, f (P)(V ) = P(f 1 (V )) Claramente f (P) = Pf. 2.2.9..- Si f : S T es n morfismo de na categoría C se pede constrir n fntor (Imagen directa) f : C/S C/T por: f (g : X S) = (fg) : X T f es la identidad sobre los morfismos. Como consecencia obtenemos n fntor R : C ((Cat)) asociando a cada objeto S la categoría C/S y a cada morfismo f el fntor f 2.2.10..- La correspondencia qe asocia a cada grpo, anillo, espacio topológico etc el conjnto sbyacente a s estrctra y a cada omomorfismo etc. la aplicación sbyacente es n fntor covariante qe se llama fntor de olvido. 2.2.11..- Si ρ : G H es n omomorfismo de grpos, todo H-conjnto X se pede dotar de estrctra de G-conjnto por: x X, g G, xg = xρ(g) Todo H- morfismo es también n G- morfismo, tenemos así n fntor: ρ : ((H Sets)) ((G Sets)) También las correspondencias qe asocian: A cada grpo G la categoría de los G-conjntos ((G Sets)) A cada omomorfismo ρ : G H, el fntor ρ : ((H Sets)) ((G Sets)) definen n fntor de la categoría de grpos en la de categorías 2.2.12..- Las correspondencias: X X/G, f f O, f O (O x ) = O f(x) definen n fntor: ((G Sets)) ((Sets)) 5
Dados dos fntores F, G : C D (ambos covariantes o ambos contravariantes) se llama na transformación natral de F en G a na familia de morfismos Tales qe: N X : F (X) G(X), X Ob(C) Caso covariante. f : X Y, N Y F (f) = G(f)N X F (X) N X G(X) F (f) N Y G(f) F (Y ) G(Y ) Caso contravariante. f : X Y, N X F (f) = G(f)N Y N Y F (Y ) G(Y ) F (f) F (X) N X G(f) G(X) La composición de transformaciones natrales es na transformación natral y la identidad también, por tanto dadas dos categorías, tomando como objetos los fntores entre ellas y como morfismos las transformaciones natrales tenemos na categoría, los isomorfismos en esa categoría, es decir las transformaciones natrales con inversa se llaman isomorfismos natrales. Ejemplos 2.3. 2.3.13..- Todo morfismo g : X Y indce transformaciones natrales: S Ob(C), S (g) : X(S) Y (S), S (g)(f) = gf S Ob(C), S(g) : Y (S) X (S), S(g)(f) = fg 2.3.14..- Toda aplicación contina f : X Z indce na transformación natral (morfismo de aces): F : C Z f (C X ), F U ; C Z (U) f (C X )(U) = C X (f 1 (U)), F U (g) = gf Dos categorías C, D se dicen isomorfas si existen fntores: F : C D, G : D C tales qe: F.G = 1 D, G.F = 1 C 6
Dos categorías C, D se dicen eqivalentes si existen fntores: F : C D, G : D C e isomorfismos natrales α : F.G 1 D, β : G.F 1 C Calqiera de los dos fntores F, G se llama en este caso na eqivalencia de categorías. Es n ejercicio fácil probar qe: Un fntor F : C D es na eqivalencia de categorías si y solo si es fiel, completo y esencialmente sprayectivo, es decir si y solo si para todo par de objetos X, Y de C, F : Hom C (X, Y ) Hom D (F (X), F (Y )) es binívoca y para todo objeto Z de D existe n objeto X de C tal qe F (X) es isomorfo a Z. Ejemplo 2.4. La categoría de K- espacios vectoriales de dimensión finita. es eqivalente a la categoría cyos objetos son los espacios K n y los morfismos de K N en K m las matrices m n con entradas en K. 3. Fntores representables Como emos señalado a cada objeto X de na categoría C se le pede asociar el fntor contravariante (fntor de pntos): X( ) : C ((Sets)), X(S) = Hom C (S, X) El objeto X qeda nívocamente determinado salvo isomorfismos por el fntor X( ) Hom C (X, Y ), se corresponde binívocamente con las transformaciones natrales de X( ) en Y ( ) Un fnctor contravariante F : C ((Sets)) se dice representable si existe X C tal qe F X( ) Si n fnctor es representable s representante es único salvo isomorfismos Si no es representable cabe la posibilidad de constrir na categoría mas amplia qe C en la qe lo sea Se pede acer la misma constrcción con los fntores covariantes X ( ) Si X representa F, el elemento a de F (X) correspondiente a la identidad 1 X HomC(X, X) F (X) se llama aplicación niversal, de la definición se sige qe el par (X, a), a F (X) qeda nívocamente caracterizado, salvo isomorfismos, por la propiedad: Ejemplos 3.1. S Ob(C), b F (S), β : S X único F (β)(a) = b 7
3.1.15..- En la categoría de espacios vectoriales sobre n cerpo: Dados dos espacios V y W el fntor Biom(V W, ) qe asocia a cada espacio T las aplicaciones bilineales de V W en T es covariante y representable, s representante es V W y la aplicación niversal a : V W V W, a(v, ) = v es decir el prodcto tensorial qeda caracterizado porqe para toda aplicación bilineal F : V W T existe n único omomorfismo f : V W T tal qe F = fa 3.1.16..- Dada na familia de objetos de C, {C i } i I si el fntor F : C ((Sets)) F (T ) = i I Hom C (T, C i ) es representable, s representante se llama prodcto de la familia y se escribe como i I C i. La aplicación niversal es la familia de proyecciones: a = (π j ) j I, π j : i I C i C j de modo qe para cada objeto de C y cada familia de morfismos b = (b i : T C i ) i I existe n único morfismo β : T i I C i tal qe: b = F (a) b j = π j β j I Es interesante observar qe i I C i no esta bien definido, ya qe el objeto descrito en la definición esta determinado salvo isomorfismo, lo qe sabemos es qe entre cada dos determinaciones del objeto ay n isomorfismo único con la propiedad de conmtar con las proyecciones. 3.1.17..- Si en la categoría C/S existe el prodcto de n par de objetos f : X S, g : Y S este prodcto se llama prodcto fibrado de X e Y sobre S y se representa por X S Y. X S Y qeda nívocamente caracterizado, salvo isomorfismos, por las propiedades sigientes: Existen morfismos π 1 : X S Y X, π 2 : X S Y Y, tales qe fπ 1 = gπ 2 Para cada par de morfismos β 1 : T X, β 2 : T Y, tales qe fβ 1 = gβ 2 existe n único morfismo β = β 1 S β 2 : T X S Y tal qe π 1 β = β 1, π 2 β = β 2 T 4[ 44[[] β β 1 β 2 4 44 X S Y π 1 j X 46 Y π 2 g S f 8
Como emos dico en el ejemplo anterior el prodcto fibrado, si existe, no está nívocamente determinado. De la caracterización anterior está claro también qe es fntorial en las dos variables módlo isomorfismos. A veces se pede dar n criterio qe permite elegir n prodcto fibrado para cada par de objetos, por ejemplo: Si C es na categoría de conjntos con na estrctra, se pede elegir n prodcto fibrado de f : X S, g : Y S dado por: X S Y = {(x, y) X Y f(x) = g(y)} En particlar si X e Y son sbconjntos de S s prodcto fibrado es X Y. En el primer caso el prodcto fibrado no define en cada variable n fntor (esa es na de las razones de la definición de 2-fntor) pero si lo define en el caso particlar de la intersección. 3.1.18..- Dado n morfismo f : S T podemos constrir para cada objeto de C/T, (X T ) s (Imagen recíproca) f (X T ) por: f (X T ) = (π 2 : X T S S) Dado n morfismo g en C/T de α : X T a β : Y T, f (g) = π 2 T gπ 1 : X T S Y T S y la imagen recíproca está determinada salvo isomorfismos por tanto, al contrario qe la imagen directa, no es n fntor a menos qe, como scede en la mayoría de las categorías, podamos elegir de modo canónico n representante del prodcto fibrado. 3.1.19..- Dada na familia de objetos de C, {C i } i I si el fntor F : C ((Sets)) F (T ) = i I Hom C (C i, T ) es representable, s representante se llama coprodcto de la familia y se escribe como i I C i. La aplicación niversal es la familia de secciones: q = (q j ) j I, q j : C j i I C i de modo qe para cada objeto de C y cada familia de morfismos b = (b i : C i T ) i I existe n único morfismo β : i I C i T tal qe: b = F (q) b j = βq j, j I Del mismo modo qe en el ejemplo anterior se define el coprodcto fibrado como el coprodcto en la categoría relativa C/S.El coprodcto de na familia de conjntos es s nión disjnta, el de na familia de espacios topológicos s sma topológica. El coprodcto fibrado de sbconjntos es s nión. 9
En general se peden leer mas fácilmente las propiedades de n objeto en el fntor de pntos al qe representa qe en el objeto mismo: Ejemplos 3.2. 3.2.20..- En geometría algebraica se asocia a cada anillo A n espacio topológico, s espectro: Spec(A) = {p p ideal primo de A} dotado de la topología (topología de Zariski) con base de abiertos: Las correspondencias: A Spec(A) Z A = {D(f)} f A, D(f) = {p Spec(A) f / p} (f : A B) f 1 : Spec(B) Spec(A) definen n fntor contravariante de la categoría de anillos (conmtativos y omomorfismos nitarios) en la de espacios topológicos. Podemos definir n preaz sobre Spec(A) asignando a cada abierto de la base D(f) el anillo de fracciones: A f = { a a A, n N} f n a este preaz se le asocia n az, Ã por medio de na constrcción qe no detallaremos y el par (Spec(A), Ã) se llama n esqema afín. La categoría de esqemas afines es isomorfa a la categoría de anillos. El grpo lineal es el esqema afín: GL n = Spec(Z[(x i,j ), t]/(det(x i,j )t 1) en el qe no se aprecia la estrctra de grpo. En cambio para n anillo A: GL n (Spec(A)) = Hom Spec(Z) (Spec(A), GL n ) = = Hom(Z[(x i,j ), t]/(det(x i,j )t 1), A) = GL n (A) Ya qe los omomorfismos de anillos de Z[(x i,j ), t]/(det(x i,j )t 1) en A se obtienen dando valores a las (x i,j ) y a t qe anlen a det(x i,j )t 1, es decir se corresponden con las matrices n n de elementos de A con determinante inversible. 3.2.21..- La definición formal de esqema en grpos, grpo algebraico, grpo analítico, grpo de Lie etc sige siempre el sigiente proceso: Se parte de na categoría G con prodctos finitos y n objeto cero U, es decir n objeto tal qe S Ob(G), Hom G (U, S) = {0}, Hom G (S, U) = {e}. Entonces na estrctra de grpo en n objeto G de esa categoría es na terna de morfismos: 10
µ : G G G e : U G p : G G correspondientes a prodcto, nidad e inverso, qe verifican las propiedades sales: Asociativa: El diagrama: G G G µ 1 G G G 1 G µ G G µ G µ es conmtativo Elemento netro: Los diagramas: G 0 1 G U G G 1 G 0 G U G 1 G e 1 G µ G G G 1 G 1 G e µ G G son conmtativos Inverso:Los diagramas: G 1 G 1 G G G G 1 G 1 G G G G e0 µ p 1 G G G G e0 µ 1 G p G G Esta definición significa qe para cada objeto T el conjnto Hom G (T, G) con la operación: (f.g) = µ(f, g), (f, g) : T G G, π 1.(f, g) = f, π 2.(f, g) = g es n grpo. Independientemente de qe a veces, si los objetos de la categoría son conjntos, la definición signifiqe qe en el objeto correspondiente se a definido na estrctra de grpo. 3.2.22..- La acción de n grpo de G sobre n objeto X, se define como n morfismo: σ : G X X 11
con las propiedades sales (presentadas en forma de diagrama como en el ejemplo anterior) y significa qe para todo objeto T de G, el grpo Hom G (T, G) actúa sobre el conjnto Hom G (T, X) Podemos constrir aora n nevo fntor: F : G ((Sets)), F (T ) = Hom G (T, X)/Hom G (T, G) qe en las categorías citadas como ejemplos no es representable, y de este problema srge el concepto de Stack como objeto de na categoría mas amplia en la qe se tiene la representabilidad de este fntor. 4. Primera definición de Stack Formalmente n Stack es n az de grpoides sobre n site (categoría con na topología). Casi ningna de las palabras de la definición pertenecen al vocablario sal de n matemático no especializado en el área. Vamos a explicarlas na a na. 4.1. Grpoides Un grpoide es na categoría en la qe todos los morfismos son isomorfismos. Si sbstitimos la categoría por la nión disjnta de todos ss conjntos de morfismos, jnto con el conjnto de ss objetos, podemos decir también qe n grpoide es n par compesto por dos conjntos (G, O) con: 1. Una aplicación : O G 2. Dos aplicaciones d, r : G O (dominio y rango) tales qe d = r = 1 O (En consecencia d y r son sobreyectivas y es inyectiva por lo qe podemos identificar O con Im) 3. Una aplicación involtiva i : G G tal qe di = r (y en consecencia r.i = d) 4. Si P = {(a, b) G G r(a) = d(b)} = G O G na aplicación p : P G (si (a, b) P diremos qe a es mltiplicable por b y llamaremos p(a, b) = ab) De modo qe: La operación parcial p es asociativa, es decir si a es mltiplicable por b y b lo es por c, a(bc) = (ab)c a G, a(d(a)) = (r(a)) = a i es el inverso respecto a p es decir a G, ai(a) = (r(a)), i(a)a = (r(a)) 12
Ejemplos 4.1. 4.1.23..- Si V es n espacio vectorial la categoría cyos objetos son los sbespacios de dimensión 1 de V y cyos morfismos son las aplicaciones lineales no nlas entre estos espacios es n grpoide. 4.1.24..- Si X es n espacio topológico, el conjnto de clases de omotopía de caminos en X con la operación de concatenación es n grpoide. Los objetos de la categoría son los pntos de X, los morfismos entre dos pntos son los las clases de omotopía de caminos qe los nen. Es necesario tomar clase de omotopía porqe σ 1 x σ pero ambos caminos son omótopos. Este grpoide se llama grpoide de omotopía de X y se representa por π 1 (X) 4.1.25..- La olonomía de na foliación es n grpoide. En na sección posterior estdiaremos como se constrye este grpoide. 4.1.26..- Si C es na categoría, el conjnto de isomorfismos de C es n grpoide 4.1.27..- Si G es n grpo qe actúa sobre n conjnto X, podemos dotar a T = X G de estrctra de grpoide: O = X, = X X {1} r(x, g) = gx, d(x, g) = x r(x, g) = d(y, ) y = gx, (x, g).(y, ) = (x, g) En términos de categorías los objetos de T son los elementos de X y Hom T (x, y) = {g G gx = y}. Claramente en esta categoría: x y x, y estan en la misma órbita para la acción de G de este modo las clases de isomorfía del grpoide son las órbitas. Si G es n grpo en na categoría C, qe actúa sobre n objeto X, para todo objeto S, Hom C (S, G) = G(S) es n grpo qe actúa sobre el conjnto Hom C (S, X) = X(S), tenemos así para cada objeto S el grpoide T (S) constrido como en el ejemplo anterior. 4.1.28..- Si la acción de G sobre E es simple y transitiva, es decir si E G considerando la acción de G sobre si mismo por prodcto por la dereca, se dice qe E es n G- torsor. Dado n G-conjnto X, se llama G-torsor de X a n par (E, ) donde E es n G-torsor y : E X n morfismo eqivariante. Un morfismo de G -torsores de X de (E, ) a (F, v) es n morfismo eqivariante β : E F tal qe vβ = Observemos qe: Los G-torsores de X y ss morfismos forman na categoría Todo morfismo de G- torsores es n isomorfismo Las imágenes en X de los G-torsores son las órbitas de X por la acción de G. 13
Dos G- torsores de X son isomorfos si y solo si tienen como imagen la misma órbita Es decir la categoría de G-torsores de X es también n grpoide cyas clases de isomorfia de objetos se corresponden con las órbitas de X por la acción de G. Para cada x de X tenemos el G-torsor de X, ρ x : G X, ρ x (g) = xg tenemos así n fntor de la categoría T constrida en el ejemplo anterior en la categoría de G-torsores de X qe es fiel, completo y esencialmente sprayectivo, por tanto ambas categorías son eqivalentes y eqivalentes al grpoide asociado a la acción trivial de G sobre el espacio de órbitas X/G. 4.1.29..- Sea X n espacio topológico y sea {U i } i I n recbrimiento abierto de X, podemos constrir los conjntos: U = i I U i G = U X U = i,j I U i U j y las aplicaciones sigientes dotan al par (G, U) de estrctra de grpoide: 1. : U G, (x) = x es decir si x U existe n único i I con x U i = U i U i G y está bien definida 2. d Ui U j es la inclsión U i U j U i 3. r Ui U j es la inclsión U i U j U j 4. i Ui U j es la identidad U i U j = U j U i 5. Si entonces (x, y) P, x U i U j, y U l U k r(x) = x U j, d(y) = y U l, r(x) = d(y) l = j, x = y y definimos: p(x, y) = x U i U k En vez de n recbrimiento podríamos aber tomado n atlas de na variedad diferenciable o de n espacio analítico, sbstityendo las identidades por los cambios de carta. Podemos definir n morfismo de grpoides como n fntor covariante, ya qe los grpoides son categorías. En términos de conjntos con na operación parcial esta definición significa lo sigiente: Un morfismo F : G H es na aplicación tal qe: F (G 0 ) H 0 14
rf = F r, F d = df F (g) = F (g)f () F i = if De este mode se pede ablar de la categoría de grpoides Ejemplos 4.2. 4.2.30..- Si f : X Y es na aplicación contina, la composición con f define n morfismo entre los grpoides de omotopía de X e Y 4.2.31..- Si F : V W es n isomorfismo de espacios vectoriales, la conjgación por F (Paso de σ a F 1 σf ) define n morfismo del grpoide de isomorfismos entre rectas vectoriales de V en el de W 4.2.32..- Si X e Y son G-conjntos y β : X Y es n morfismo de G-conjntos, la aplicación: F X G Y G, F (x, g) = (F (x), g) es n morfismo de grpoides 4.2. 2- Categorías,2- Fntores y preaces Un preaz sobre na categoría C es n 2- fntor contravariante de C en na 2-categoría. Debemos definir las 2 categorías y los 2-fntores para saber qe es n preaz. Una 2 - categoría consta de tres tipos de elementos: Objetos Para cada par de objetos A, B, n conjnto de 1-morfismos [A, B] 1 Para cada par de 1-morfismos f, g [A, B] 1, n conjnto de 2- morfismos [f, g] 2 De modo qe: 1. Los objetos y los 1-morfismos forman na categoría (es decir tenemos composición asociativa de 1-morfismos y nidades) 2. Para cada par de objetos A, B, los 1-morfismos [A, B] 1 y los 2-morfismos entre ellos forman na categoría a la qe llamaremos Hom(A, B), es decir tenemos na composición (vertical)de 2-morfismos f, g, [A, B] 1, F [f, g] 2, G [g, ] 2 GF [f, ] 2 asociativa y con nidades 15
3. Tenemos na composición orizontal de 2-morfismos: f 1, f 2 [A, B] 1, g 1, g 2 [B, C] 1, α [f 1, g 1 ] 2, β [f 2, g 2 ] 2 tenemos: de modo qe: β α [f 2 f 1, g 2 g 1 ] 2 a) es asociativa b) 1 g 1 f = 1 gf c) La composición de 2- morfismos conmta con la composición orizontal, es decir si: Entonces: f 1, f 2, f 3 [A, B] 1, g 1, g 2, g 3 [B, C] 1 α 1 [f 1, f 2 ] 2, α 2 [f 2, f 3 ] 2, β 1 [g 1, g 2 ] 2, β 2 [g 2, g 3 ] 2 (β 2 α 2 )(β 1 α 1 ) = (β 2 β 1 ) (α 2 α 1 ) Ejemplos 4.3. 4.3.33. Toda categoría es na 2- categoría tomando como 2- morfismos: { f g [f, g] 2 = {1 f } f = g 4.3.34..- Si tomamos como objetos categorías ( de grpos, espacios topológicos etc.) como 1-morfismos los fntores y como 2-morfismos las transformaciones natrales, tenemos 2-categorías. Observemos en estos casos la diferencia entre composición y composición orizontal de 2-morfismos, es decir de transformaciones natrales entre fntores. Si F, G, H son fntores de C en D y P [F, G] 2, R [G, H] 2 s composición RP es: } P X : F (X) G(X), X Ob(C) (RP ) R X : G(X) H(X), X Ob(C) X = R X P X : F (X) H(X) Si F 1, F 2, son fntores de C en D, G 1, G 2, son fntores de D en E y P [F 1, F 2 ] 2, R [G 1, G 2 ] 2 s composición orizontal R P es: } P X : F 1 (X) F 2 (X), X Ob(C) R X : G 1 (Y ) G 2 (Y ), Y Ob(D) (R P ) X = R F2(X).G 1 (P X ) : G 1 (F 1 (X)) G 2 (F 2 (X)) 16
4.3.35..- En la categoría ((T op)) de espacios topológicos y aplicaciones continas, podemos tratar de definir los 2-morfismos por: f, g : X Y, H [f, g] 2 H : X [0, 1] Y H contina, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) La composición orizontal no presentaría problemas, porqe si las aplicaciones correspondientes son componibles: H(x, t) [f, g] 2, H (y, t) [f, g ] H(x, t) H (x, t) = H (H(x, t), t) [f f, g g] pero la composición vertical abría qe definirla como: f, g, [X, Y ] 1, H(x, t) [f, g] 2, H (x, t) [g, ] 2 H (x, t) = H(x, t)h (x, t) [f, ] 2, H (x, t) = H(x, 2t) 0 t 1/2, H (x, t) = H(x, 2t 1), 1/2 t 1 y no fnciona la composición por nidades, por tanto no tenemos na 2-categoría. Aora bien podemos modificar los 2-morfismos por paso al cociente, cambiando las omotopías por clases de omotopía de omotopías: Dos aplicaciones continas H, G : X [0, 1] Y, H(x, 0) = G(x, 0) = f(x), H(x, 1) = G(x, 1) = g(x) se dicen eqivalentes, si difieren a s vez en na omotopía, es decir: L : X [0, 1] [0,1] Y, L(x, t, 0) = H(x, t), L(x, t, 1) = G(x, t) Esta relación es de igaldad y se peden considerar como 2-morfismos las clase de igaldad de omotopías. Aora los espacios topológicos, las aplicaciones continas y las clases de omotopía de omotopías entre aplicaciones continas forman na 2-categoría. 4.3.36..- Como n grpoide es na categoría, podemos constrir na 2- categoría cyos objetos son los grpoides, los 1-morfismos los fntores entre grpoides (omomorfismos de grpoides) y como 2-morfismos las transformaciones natrales. a esa 2- categoría le llamaremos categoría de grpoides 4.3.37..- Hemos visto qe la correspondencia qe asocia a cada espacio topológico s grpoide de omotopía define n fntor, si f, g : X Y son aplicaciones continas y F, G, π 1 (X) π 1 (Y ) son los morfismos de grpoides (fntores) indcidos, na omotopía H : X [0, 1] Y, H(x, 0) = f(x), H(x, 1) = g(x) indce n 2- morfismo H : F G por: H x : F (x) = f(x) G(x) = g(x), es el camino H x (t) = H(x, t) Un 2- fntor entre dos 2-categorías es na terna (F, ε, δ) compesta por: 17
1. na correspondencia F qe asocia: A cada objeto X de la primera n objeto F (X) de la segnda A cada 1-morfismo f : A B n 1 morfismo F (f) : F (A) F (B) A cada 2-morfismo α : f g n 2-morfismo, F (α) : F (f) F (g) y F conserva la composición de 2-morfismos y las 2-nidades, es decir F es n fntor de Hom(A, B) en Hom(F (A), F (B)) 2. Una correspondencia δ qe asocia a cada objeto A n 2-isomorfismo δ A : F (1 A ) 1 F (A) 3. Una correspondencia ε qe asocia a cada par de 1-morfismos componibles f, g n 2- isomorfismo: De modo qe: Para todo 1-morfismo f : X Y, ε g,f : F (g)f (f) F (gf) ε 1Y,f = δ Y 1 F (f), ε f,1x = 1 F (f) δ X ε es asociativa, es decir si f y g, g y son componibles el diagrama: F (gf) ε,gf F ()F (gf) ε g,f F (g)f (f) ε,g 1 F (f) 1 F (f) ε g,f F ()F (g)f (f) es conmtativo F, ε respetan la composición orizontal es decir para: f 1, f 2 [A, B] 1, g 1, g 2 [B, C] 1, α [f 1, f 2 ] 2, β [g 1, g 2 ] 2 el diagrama F (β) F (α) F (g 1 )F (f 1 ) F (g 2 )F (f 2 ) es conmtativo ε g1,f 1 F (β α) ε g2,f 2 F (g 1 f 1 ) F (g 2 f 2 ) Reslta difícil poner n ejemplo fácil de 2-fntor, como sólo nos interesan n tipo particlar de 2-fntores (los preaces) nos limitaremos a dar despés ejemplos de ellos. Un preaz sobre na categoría C con valores en na 2 categoría G es n 2- fntor contravariante de C considerada como 2 - categoría en G. Es decir es na terna de correspondencias (P ( ), δ, ε) tales qe: 18
P asocia a cada objeto X n objeto P (X) P asocia a cada morfismo X Y n 1-morfismo P (Y ) P (X) δ asocia a cada objeto X n 2-1somorfismo δ X : P (1 X ) 1 P (X) ε asocia a cada par de morfismos componibles n 2- isomorfismo: ε f,g : P (f)p (g) P (gf) de modo qe: δ es compatible con ε, es decir, para todo 1-morfismo f : X Y, ε 1Y,f = δ Y 1 P (f), ε f,1x = 1 P (f) δ X ε es asociativa Ejemplos 4.4. 4.4.38..- Si componemos por la izqierda n preaz con n 2-fntor covariante o por la dereca con n fntor covariante se obtiene n nevo preaz 4.4.39..- Si consideramos na categoría C y en la categoría de conjntos la estrctra trivial de 2 - categoría, Hom C (, S) = S( ) es n preaz de conjntos sobre C, en este caso ε y δ son la identidad. El fntor de pntos también se pede considerar como n preaz con valores en la 2-categoría ((Cat)) si consideramos cada conjnto S(Z) como na categoría con solo las identidades como morfismos. 4.4.40..- Hay otra forma de considerar el fntor de pntos como n preaz con valores en ((Cat)). Si C tiene prodctos fibrados y elegimos para cada objeto S y cada par de objetos X, Y sobre S n prodcto fibrado X S Y, tenemos atomáticamente n preaz sobre C con valores en ((Cat)), el qe asigna a cada objeto S de C, la categoría relativa C/S y a cada morfismo a : S S el fntor F a : C/S C/S definido a s vez por: F a (X S) = (X S S S F a (f) = f 1 S Observemos qe los objetos de C/S son los pntos de S con valores en X, es decir los elementos de S(X), pero aora emos dotado a este conjnto con na estrctra de categoría, con lo cal el fntor de pntos toma valores en ((Cat)). La aplicación imagen de n morfismo es aora n fntor, es decir F a es n fntor, ya qe elegidos como emos eco todos los X S S, dado el morfismo f : (Y S) (X S), existe n único morfismo f 1 S : (Y S S S ) (X S S ) qe conmta con las proyecciones sobre Y y X. Esta nicidad garantiza qe si : (Z S) (Y S) es otro morfismo: (f 1 S )( 1 S ) = (f 1 S ) 19
como se observa en el diagrama sigiente: X S S ''''') S k ''* ' β 1 [ [] f 1 γ 1 ' S ' f 1 S ' A A A fβ 2 A A A [ A [ [ AD [^ X k '* ' ' ' f ' α 2 Y S S Z S S fγ 2 [ [ [ Y [ β 2 α 1 ' '''' 1 S [ [ [ [ b γ 2 Z γ 2 [ [[ ' ' ') f c ' '''' [ [[] k ' '''' [ [[ d La correspondencia define a s vez n 2-fntor añadiéndole: El isomorfismo natral δ X entre el fntor de C/S en C/S qe lleva X S a X S S S y el fntor identidad de C/S es el definido por el isomorfismo canónico X S S X El isomorfismo natral ε a,b, para a : S S, b : S S corresponde al isomorfismo canónico: (X S S ) S S X S S Esta estrctra de preaz no interesa en sí, pero las constrcciones qe se acen son de interés para los dos ejemplos sigientes. Además, en la sección sigiente saremos esta constrcción como ejemplo de categoría fibrada. 4.4.41..- Si tomamos la categoría ((T op)) y para cada espacio topológico X consideramos la categoría ((Rec X )) de espacios recbridores de X, qe es na sbcategoría completa (con los mismos morfismos) qe ((T op))/x, la constrcción anterior fnciona, porqe si R X es n recbrimiento de X, R X Y Y es n recbrimiento de Y y en la categoría de espacios topológicos se pede elegir n representante canónico del prodcto fibrado. 4.4.42..- En la categoría de G conjntos ay prodctos fibrados; Si f : X S, g : Y S son morfismos eqivariantes: {(x, y) X Y f(x) = g(y)}, con la acción (x, y)g = (xg, yg) es n prodcto fibrado X S Y además si α : E Y es n G-torsor de Y y f : X Y es eqivariante, (E Y X, π 2 ) es n G-torsor de X, de este modo S a 20
la correspondencia qe asocia a cada G- conjnto X el grpoide T ors(x) es n preaz de grpoides sobre la categoría ((G sets)) 4.3. Topología en na categoría Una topología, o mas precisamente na base de abiertos, en na categoría C, es n conjnto Cov(C) de familias de morfismos: {U i U} i I a cyos elementos se llama recbrimientos, tal qe: 1. Todo isomorfismo de C : {V U} es n recbrimiento de U 2. Si {U i U} i I y i I, {U i,j U i } j Ji están en Cov(C), está en Cov(C) {U i,j U} i I, j Ji 3. Si {U i U} i I está en Cov(C), y f : V U es n morfismo en C, {V U U i V } i I está en Cov(C) na categoría con na topología se llama n site. Un abierto en n objeto X es n morfismo U X inclido en n recbrimiento. Si U X, V X son abiertos, por la propiedad 3, U X V V es abierto de V y por la propiedad 2, U X V X es abierto de X, de modo qe la familia de abiertos es cerrada para intersecciones finitas, ya qe el prodcto fibrado jega el papel de la intersección. Y anqe técnicamente emos definido solo la base de abiertos, se pede dar na constrcción de toda la topología generada por n site. Pero para lo qe necesitamos nos basta con los abiertos de la base y no nos preocparemos de la condición de qe la nion de abiertos sea abierta Una topología en na categoría C, indce topologías en todos los conjntos X(T ). Cada morfismo U i X de n recbrimiento de X indce na aplicación U i (T ) X(T ), las imágenes de estas aplicaciones son na base de abiertos para na topología de X(T ), en general para n morfismo f : S T la aplicación indcida f : X(T ) X(S) no es contina, pero para cada morfismo g : X Y, g : X(S) Y (S) si es contina Ejemplos 4.5. 4.5.43..- Sea X n espacio topológico: Objetos de T X los abiertos de X [U, V ] = U V, [U, V ] = {i U,V } U V 21
{U i U} i I Cov(C) si y solo si {U i } i I es n recbrimiento abierto de U Es n site En este caso el fntor de pntos es trivial porqe X(U) se redce a n solo elemento o el vacio 4.5.44..- La categoría de espacios topológicos con la familia de recbrimientos formada por todos los recbrimientos abiertos de todos los espacios topológicos es también n site. Aora para el espacio P compesto por n solo pnto, para cada espacio topológico X, X(P ) coincide con X. 4.5.45..- En la categoría ((Sets)) la familia de recbrimientos: DCov = {{U i U} i I, U = i I U i } es na topología qe define en cada conjnto X(P ) donde P es el conjnto de n solo pnto la topología discreta, pero no en los conjntos X(T ) para T general. 4.5.46..- Si G es n grpo y formamos la categoría de G-conjntos y morfismos eqivariantes, ((G Sets)) y tomamos como recbrimientos las familias: {ψ i : U i U} i I, i I Im(ψ i ) = U tenemos n site. Si P es el conjnto con n solo pnto y la acción trivial de G, X(P ) es el conjnto de pntos aislados de X y el site indce en este conjnto la topología discreta. Si tomamos en G la acción por prodcto de G, X(G) coincide con X y la topología indcida por el site es la qe tiene como base de abiertos las órbitas de X por la acción de G 4.4. Haces en na categoría En na categoría con na topología se pede establecer la noción de az en la forma abital es decir como n preaz con valores en na 2- categoría, qe verifican condiciones de pegado. Para mas comodidad nos limitaremos al caso qe nos interesa, el de aces con valores en la 2-categoría ((Cat)) cyos objetos son categorías, cyos 1- morfismos son fntores y cyos 2- morfismos son transformaciones natrales. Un preaz P sobre C y con valores en ((Cat)) asigna a cada objeto X na categoría P (X) y a cada morfismo f : X Y n fntor P (f) : P (Y ) P (X) al qe se sele llamar imagen recíproca o pllback por f, y se representas por f. Cando el morfismo corresponda a n abierto del site f i : U i X, si A es n objeto o α n morfismo de P (X), escribiremos indistintamente f i (A) = A Ui = A i, f i (α) = α Ui = α i Si {U i U} i I es n recbrimiento, son también recbrimientos: 22
{U i U U j = U i,j U j } i I y también {U i,j U i } j I {U i U U j = U i,j U} i,j I {U i U U j U U k = U i,j,k U j,k } i I y también {U i,j,k U i,k } j I, {U i,j,k U i,j } k I U i,j,k U k } i,j I U i,j,k U} i,j,k I Si la categoría C tiene coprodctos para cada recbrimiento {U i U} i I, si llamamos V = i I U i es : V U V = i,j I U i U U j = i,j I U i,j V U V V = i,j,k I U i U U j U U k = i,j,k I U i,j,k y podemos constrir la resolción de Çec (en la qe los morfismos mltiples corresponden a las distintas proyecciones señaladas arriba)...v U V U V V U V V U... U i,j,k U i U i,j,k I i,j I U i,j i I Entonces diremos qe el preaz P es n az si verifica las sigientes condiciones de pegado: 1. Pegado de morfismos: Si A, B son objetos de P (U) y α i : A i B i morfismos tales qe α i i,j = α j i,j, i, j, existe n morfismo α : A B tal qe α i = α i, i 2. Unicidad Si dos morfismos α, β : A B verifican qe α i = β i, i, es α = β 3. Pegado de objetos Si para cada i I, A i es n objeto de P (U i ) y α i,j : A j i,j A i i,j son morfismos tales qe: i, j, k, α i,j i,j,k α j,k i,j,k = α i,k i,j,k Existen n objeto A en P (U) e isomorfismos α i : A i A i, tales qe α j,k α j j,k = α k j,k Aora qeda completamente explicada la definición Definición 4.6. (Primera definición de Stack) Un Stack es n az de grpoides sobre na categoría Ejemplos 4.7. 4.7.47..- En na categoría C con prodctos fibrados n epimorfismo efectivo es na familia de morfismos {f i : U i U} i I tal qe para todo objeto Z y toda familia de morfismos {g i : U i Z} i I tal qe g i i,j = g j i,j, i, j I 23
existe n único g : U Z tal qe g i = g i i I, y n epimorfismo efectivo {f i : U i U} i I se llama niversal si para todo objeto sobre U, : V U la familia {π i,2 : U i U V V } i I es también n epimorfismo niversal. Los epimorfismos estrictos niversales son los recbrimientos de na topología sobre la categoría, y en esa topología todos los fntores S( ) (y en consecencia todos los fntores contravariantes representables con valores en la categoría de conjntos)son aces. Si consideramos los fntores S( ) como fntores con valores en ((Cat)) como icimos antes, ss imágenes son grpoides y por tanto cada fntor S( ) es n stack, de modo qe para esta topología tenemos na inmersión de la categoría C en la categoría de stacks sobre ella, qe lleva cada objeto S al stack S( ) 4.7.48..- Si tomamos como morfismos en cada conjnto S( ) los morfismos sobre S, tenemos también la estrctra de preaz qe emos señalado antes, pero no na estrctra de az, porqe se verifican los dos primeros axiomas de la definición de az, pero en general no se cmple el tercero. 4.7.49..- Si tomamos el preaz sobre la categoría ((T op)) qe asocia a cada espacio topológico X la categoría ((Rec(X))) de ss espacios recbridores, y consideramos en ((T op)) la topología definida por todos los recbrimientos abiertos, como los recbrimientos abiertos son epimorfismos niversales efectivos se cmplen los dos primeros axiomas de la definición de az, y también se cmple el tercero porqe dados espacios recbridores de los abiertos de n recbrimiento de X qe coinciden en las intersecciones, se peden pegar para dar lgar a n espacio recbridor del espacio total. Observemos qe la restricción a los abiertos de este espacio recbridor es isomorfa a los espacios recbridores de partida. Por tanto este preaz es n az 4.7.50..- Si tomamos en la categoría ((G sets) la topología definida en la sección anterior, los recbrimientos son epimorfismos efectivos estrictos y el preaz T ors( ) verifica los dos primeros axiomas de la definición de az. Además si: {U i } i I es n recbrimiento de U (E i, α i ) es n torsor sobre U i para cada i I g ij : E i Ui U j E j Ui U j son morfismos qe verifican la condición de cociclo de la definición Se pede definir sobre la nion disjnta de los E i la relación de igaldad dada por los g i,j y el conjnto cociente E es n torsor sobre X qe restringe a torsores isomorfos a los E i. Por tanto T ors( ) es n stack 24
5. Segnda definición de Stack 5.1. Categorías fibradas. Descenso La teoría de descenso de Grotendieck coloca en n marco adecado la teoría clásica aritmética de modo qe s aplicación a la geometría reslta natral. En el enfoqe de Grotendieck la teoría de descenso es esencialmente n pente localglobal: Si tenemos na propiedad, objeto, o morfismo para todos los abiertos de n recbrimiento de X, la tenemos para X?. En s lengaje n recbrimiento se pede sbstitir por la nion desjnta de ss elementos y en consecencia es n morfismo U X la restricción significa prodcto fibrado, o algebraicamente cambio de base, es decir si A X es n objeto sobre X, U X A representa la restricción de A a los abiertos del recbrimiento U. Entonces la teoría de descenso responde a las pregntas sigientes: (Descenso de propiedades) Si A X es n objeto sobre X y U X A tiene na propiedad. Cando tiene A esa propiedad? (Descenso de morfismos) Si A X y B X son objetos sobre X y g : (U X A U) (U X B U) es n morfismo. Cando existe n morfismo f : (A X) (B X) tal qe g = 1 U f? (Descenso de objetos) Si B U es n objeto sobre U. Cando existe n objeto sobre X, A X, tal qe B = U X B? Dado n fntor P : F C, para cada objeto S de C llamamos fibra de P en S a la sbcategoría de F, F(S) cyos objetos son los elementos de P 1 (S) y para cada par de objetos A, B P 1 (S), los morfismos de A en B son los f : A B, P (f) = 1 S. Las fibras de P son los objetos de na 2-sbcategoría de ((Cat)) a la qe representaremos por ((F ib(p ))) Una categoría fibrada sobre na categoría B es n par (F, P ), formado por na categoría F y n fntor covariante P : F B tales qe existe n n preaz de categorías, ( ), sobre B,qe asigna a cada S la categoría F(S). Es decir, na correspondencia qe asocia a cada morfismo f : S S n fntor: f : F(S ) F(S), a cada par de morfismos componibles f, g n isomorfismo de fntores ε g,f : f g (gf) qe es asociativo, y a cada objeto S de B n isomorfismo natral δ S : 1 S 1 F(S), qe es compatible con ε. Este preaz se llama preaz asociado a la categoría fibrada, y se incorpora a s descripción. Esencialmente categoría fibrada y preaz son conceptos eqivalentes, la categoria fibrada determina el preaz, ya qe aparece en s definicion, y para cada preaz se pede constrir na categoría fibrada (Constrcción de Grotendieck) qe lo tiene como preaz asociado. Si H : B ((Cat)) es n preaz, podemos constrir na categoría H por: Los objetos de H son los pares (B, X) donde B Ob(B) y X Ob(H(B)) Los morfismos entre (B, X) y (B, X ), son los pares (f, α) donde: f Hom B (B, B ), α Hom H(B) (X, H(f)(X )) 25
La composición de morfismos: (g, β)(f, α) = (gf, H(f)(β)α) Si π 1 : H B es la primera proyección, ( H, π 1 ) es na categoría fibrada, cyo preaz asociado es H. Si (F, P, ( ) ) es na categoría fibrada sobre B, y f : B B es n morfismo de B, podemos constrir: B = B B B B g B π 2 f π 1 B f, g = fπ i = fπ 2 y para cada par de objetos A, B F(B) tenemos n diagrama: Hom F(B) (A, B) f Hom F(B )(f (A), f (B)) π 1 Hom F(B )(g (A), g (B)) π 2 Entonces decimos qe f es n morfismo de descenso para (F, P, ( ) ) si el diagrama anterior es exacto, es decir si para cada morfismo α : f (A) f (B) tal qe π 1(α) = π 2(α) existe n único morfismo β : A B, con f (β) = α Ejemplo 5.1. Spongamos qe Btiene coprodctos y está dotada de na topología. Sea X n objeto de B y C = {f i : U i X} i I n recbrimiento de X. Si llamamos U = i IU i, veamos cando el morfismo f : U X indcido por el recbrimiento es n morfismo de descenso. Si A y B son objetos de F(X) y α es n morfismo de f (A) en f (B), las inmersiones de los U i en U dan lgar a na serie de morfismos α i : A Ui B Ui, la condición π1(α) = π2(α) significa qe: α i Ui,j = α j Ui,j y la condición de descenso significa qe: β : A B, β i = α i, i I Es decir la condicion de morfismo de descenso significa qe el morfismo verifica la propiedad de descenso para morfismos. Un dato de pegado para n objeto A de F(B ) respecto de α : B B es n isomorfismo τ : π 1(A ) π 2(A ). El dato de pegado se llama efectivo si existen n objeto A en F(B) y n isomorfismo ϕ : f (A) A, tales qe es conmtativo el diagrama: π 1(f (A)) µ π 2(f (A)) π 1 (ϕ) τ π 2 (ϕ) π 1(A ) π 2(B ), µ = [π 1(f (A)) (fπ 1 ) (A) = (fπ 2 ) (A) π 2(f (A))] 26
El dato de pegado se llama dato de descenso si verifica qe: π2,3(τ)π 1,2(τ) = π1,3(τ) donde los π i,j son los tres morfismos natrales B B B B B B B B Ejemplo 5.2. En la sitación del ejemplo anterior, el objeto A es na familia de objetos {E i } i I de las F(U i ) y: 1. Un dato de pegado es na familia de isomorfismos en F(U i,j ; {f i,j : E i Ui,j E j Ui,j } i,j I 2. Un dato de descenso es n dato de pegado {f i,j : E i Ui,j E j Ui,j } i,j I, qe verifica la condición de cociclo: f i,j Ui,j,k = f i,k Ui,j,k f k,j Ui,j,k, i, j, k I 3. Un dato de pegado {f i,j : E i Ui,j E j Ui,j } i,j I es efectivo (comparar con la tercera propiedad de la definición de az) si existen n objeto E en F(X) y na familia de isomorfismos: tales qe i, j I: f i : E Ui E i, i I f i,j f j Ui,j = f i Ui,j Un morfismo de descenso tal qe todo dato de descenso para él es efectivo se llama morfismo de descenso efectivo 5.2. Categorías fibradas en grpoides Una categoría fibrada en grpoides sobre na categoría B es n par F, p, formado por na categoría F y n fntor covariante p : F B tales qe: 1. Para cada morfismo en B, b : B 1 B 2 y todo objeto X 2 en F con p(x 2 ) = A 2 existe al menos n morfismo β : X 1 X 2 tal qe p(β) = b (y en consecenciap(x 1 ) = B 1 ) 2. Si a : B 3 B 2 y b : B 2 B 1 son morfismos en B y β : X 2 X 1, γ : X 3 X 1 son morfismos en F, tales qe p(β) = b, p(γ) = ba existe n único morfismo α : X 3 X 2 tal qe: Como consecencia de la definición: γ = βα, p(α) = a 27
Un morfismo ϕ de F es n isomorfismo si y solo si lo es p(ϕ) en B En la primera condición se tiene la nicidad salvo isomorfismos. Aplicando elección podemos seleccionar para b : B 1 B 2 y X 2 n par β, X 1 y llamarles b (X 2 ), p b Para cada objeto B de B, la sbcategoría de F cyos objetos son los objetos X tales qe p(x) = B y cyos morfismos son los morfismos α tales qe p(α) = 1 B, tenemos n grpoide al qe se llama fibra sobre B y se le representa por F(B) Una categoría fibrada en grpoides sobre na categoría B determina y qeda determinada por n preaz de grpoides sobre B (Constrcción de Grotendieck) Si F, p es na categoría fibrada en grpoides. La correspondencia B F(B) define n preaz en grpoides Si P es n preaz en grpoides sobre B y F tiene: Objetos: los pares (B, X), con X P (B) Morfismos los pares (b, β) : (B, X ) (B, X) donde b : B B es n morfismo en B y β : P (f)(x) X es n isomorfismo Entonces la primera proyección dota a F de estrctra de categoría fibrada en grpoides sobre B Se peden añadir a las categorías fibradas en grpoides las propiedades sficientes para qe los preaces asociados sean stacks, para ello se tiliza la notación de la teoría del descenso qe omitimos aqí Sponemos la base B dotada de na topología. Si f : U T es n morfismo de B, y p(x) = T se pede constrir X U = f (X). Dados X, Y objetos de F(T ), tiene sentido el conjnto Hom F(U) (X U, Y U ) y también la topología indcida por la de B en B/T Definición 5.3. (Segnda definición de Stack) Un pre-stack es na categoría fibrada en grpoides F, p tal qe para todo objeto T de B y para todo par de objetos X, Y de F(T ), la correspondencia: H : B/T ((sets)), H(U) = Hom F(U) (X U, Y U ) es n az de conjntos. Un stack es n pre- stack qe verifica la condición tres de la definición primera 6. Stacks representables. Stacks de Deligne - Mmford Si T es n objeto de na categoría B el fntor de olvido p : B/T B dota a B/T de estrctra de categoría fibrada en grpoides sobre B, la restricción sería 28
el prodcto fibrado, qe está nívocamente determinado salvo isomorfismos. En general no es n stack pero si lo es en todos los casos sales, esqemas con la topología etale, o fielmente plana casicompacta, espacios analíticos, variedades diferenciables, etc. En términos fntoriales, la 2- categoría de valores de este stack tiene como objetos los grpoides constridos tomando para cada objeto B de B el grpoide cyos objetos son los morfismos de B en T y cyos morfismos son solo las identidades, entonces los objetos de este stack no tienen atomorfismos propios. Un stack se llama representable, si coincide con el constrido mas arriba, entonces si n objeto de n stack tiene atomorfismos propios, el stack no es representable. Un morfismo de stacks, en términos de la segnda definición, es n fntor entre las categorías fibradas qe conmta con las proyecciones. Si U es n objeto de B y F, p es n stack sobre B, se llama morfismo de U en F a todo morfismo de stacks de B/U en F El prodcto fibrado de stacks se define de la forma natral: Dados dos morfismos de stacks :f 1 : F 1 H, f 2 : F 2 H, la categoría de F 1 B F 2 tiene: Objetos: Ternas (X 1, X 2, a) con p 1 (X 1 ) = p 2 (X 2 ) y a : f 1 (X 1 ) f 2 (X 2 ) n isomorfismo Morfismos: Pares (η 1, η 2 ) : (X 1, X 2, a) (Y 1, Y 2, b), con: η i Hom Fi (X i, Y i ), i = 1, 2, p 1 (η 1 ) = p 2 (η 2 ), bf 1 (η 1 ) = af 2 (η 2 ) Y dada na propiedad relativa a morfismos de natraleza local en la categoría base y qe este establecida para morfismos con rango representable, se dice qe n morfismo de stacks f : F G, tiene la propiedad si para todo objeto U de B y todo morfismo U G, la propiedad se verifica para U G F U Definición 6.1. Un stack de Deligne - Mmford es n stackf en la categoría ((esqemas))/s con la topología etale tal qe: 1. El morfismo diagonal es representable, casicompacto separado y no ramificado 2. Existe n atlas para F, es decir n morfismo U F etale y sprayectivo, con U esqema de tipo finito sobre S 29