687-3 Aplicación del método de mínimos cuadados al ajuste de cuvas ganulométicas de áidos (1) Taducción, athiplación v aplicíicioncs i>o MANTKL OLAYA I.cdo. en C'ifíiifiuK Físicas I.K.T.c.c. INTRODUCCIÓN A pati de la lectui'a del ai'tículo oiginal eseñado en la llamada (1). en el Depatamento de Mateiales de Constucción del I.E.T.c.c, se han compobado algunos ajustes ganuiométicüs de áidos obtenidos po oti"os métodos clásicos con los esultados que se obtienen aplicando el pesente método. La buena coespondencia ente unos y otos ha sido el motivo que ha impulsado a dai'lo mayo difusión. ÁMBITO DE APLICACIÓN El método sive paa optima dosificaciones de áido que pi-eviamente se petendan apoxima a leyes del tipo: A; f (-;-) (P'ulle, Bolomey*. Rothfuchs. Hummel. etc.) [IJ donde: A- {[() de áido (volumen) que pasa po el tamiz de luz d, ; dj luz del tamiz (mm): D tamaño máximo del áido; n exponente (en geneal fi'accionaio). íl) Atic.lo oiiiinal: "Jíccliiuíisclios VíüMalion /,w SiebliniíMivebossoiiiií» na(;]i cle MothocK; do kloiiisuín Quadato". Dipl. Inií. Klaus J. Hastuen. Inslit.ut íü líauoscluiiií;- do mvtil Aacluíii. Botoiuvok Fotif»t.(Ml-T(í(;hnik. (Mayo. 1977). * Kn ol caso d(í cuvas tipo lioloinoy existo uii niólodo do cálculo quo inaiuíjado con soltua puocuí so inás cómodo qu(? c\ posoiit.(\ Licencia Ceative Commons 3. España (by-nc) 4)
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Una vez obtenidos los puntos de una cuva del tipo [1], se tata de apoxima a ellos lo más posible la cuva de composición obtenida a pati del análisis ganulomético del áido disponible. A estos efectos se puede pensa en el conjunto de ecuaciones siguientes: «11 ^1 ^12 ^2 C^iJ ^J aa,x Ci, ^21 *^1 ' ^2 2 "^2 ' ' ^2J '^j ' ' ^2n *^n ^2 ^^ '^2 : : : : : 2- O^il ^1 Íii2 ^2 ^ü ^i C^in ^n Ci n ^mi ^1 ' ^m2 ^2 ' " ^mj *^j ' ' ^inn'^n ^jn ^^ '^m donde a^ (%) del áido en volumen del gupo ganulomético* i, que pasa po un deteminado tamiz j, en un análisis ganulomético ealizado peviamente. Xi tanto po 1, en volumen, del áido que entaía en la cuva a obtene; c. coesponde al A-^ de la expesión [1], paticulaizado al tipo de cuva que se emplee;. esiduo, tal que V ^ mín. ó /, n^ tu nx Se cumple, po ota pate, que x^ 1 2u ^' il ^^^ El sistema de ecuaciones [2] se puede expesa en foma maticial: donde: A X C R [4] Si en cada una de las m ecuaciones se esta cada uno de los coeficientes que afectan a las incógnitas x,^, según [3] se llegaá a una ecuación maticial: A X C R, * Gupos ganulométicos gava, gavilla y aena Licencia Ceative Commons 3. España (by-nc)
donde: (c^ii c^m) (^12 ctij... (a^j a, )... (a,., a^j ^2 1 ^2 2 ' ^2 i " ^2n-l A a^, ai2... au... a (c^ii %J (^12 O (í^ij cti,)... (a^^., a.j ^^inl ^m2 ' ^mj '^mn-l a. c X \ [5] x Después de aplica el método de mínimos cuadados, cuya demostación paa cálculo maticial se puede enconta en [2] y [3] (consevando las efeencias del atículo oiginal), se puede educi el sistema de ecuaciones al siguiente: [a,, aj Xi [a2, aj x^... [a^, aj Xj... [a^.j, aj x^_^ [c, aj O [a,, aj Xi [a2, aj Xs... [a^, aj Xj... K.i.aJ x,,.-, [c, aj O [a^, aj] Xi [«2, aj] x^... [aj, a^] Xj... K.i.aj] x _, [c, a^] O [a^, a,,_j X, [a^, a,,.j x^... [aj, a,,.j Xj... [an-i. a^^j x^_^ tal que po ejemplo: bi2 [tti, aj a ai2 a^^ a^^ ^Ü Í^ Í2 «mi «m? [6] [7] El esiduo medio seá: m m A continuación figuan dos ejemplos pácticos, aplicaciones del método a cuvas del tipo Fulle y Bolomey. Los dos ejemplos tienen como base un mismo análisis ganulomético, y los esultados concuedan bien con los obtenidos en su día po métodos clásicos. Se tata de áido "odado". 47 Licencia Ceative Commons 3. España (by-nc)
Ejemplo 1. Apoximación a una cuva tipo Fulle. % de áido que pasa po cada tamiz 1. Aena /47 mm 2. Gavilla 2,38/18, mm 3. Gava 2,38/38 mm Odenadas de cuva de IPulle,15 3 6,24,28 1 8,54,6 51,4 12,52 1,18 7,8 17,6 2,38 86,4,61 25 4,76 1,92,25 1 35,12 9,11 1 28,5 4,23 48,89 18,6 1 1 59,13 69,87 38 1 1 1 1 El sistema de ecuaciones [2] seá: 3 Xi 1 Xi 51,4^1 7,8 Xi 86,4 Xi,61x2 1 Xi,92,25 X3 1 Xi 28,5 4,23x3 1 Xi 1 59,13x3 1 Xi 1 1 X3 6,24 8,54 12,52 17,6 25, 35,12 48,89 69,87 1 z,... Kestando los coeficientes a^^, según [5]; 3 Xi 1 Xi 51,4 Xi 6,24 ^ 8,54 ^ 12,52 ^ - 17,6. 7,8 Xi 86,4 Xi,61 25, ^ 99,75 X,,67 x^ 34,87 ^ 95,77 Xi 24,27 x^ 44,66 -, 4,87 Xi 4,87 x^ 1,74 ^ O Xi O Xg O 'Tg b (a, 7) (3x3) (1 X 1) (51,4 X 51,4) (7,8 X 7,8) (86,4 X 86,4) (99,75 X 99,75) (95,77 X 95,77) (4,87 X 4,87) 35.93,86; bj2 (a',,a ) (86,4 X,61) (99,75 X,67) (95,77 x 24,27) (4,87 X 4,87) 4.114,23; 5^2 (^,^) (,61 x,61) (,67 x,67) (24,27 x 24,27) (4,87 x 4,87) 2.26,19; d, ( ^^) (3 X 6,24) (1 X 8,54) (51,4 X 12,52) (7,8 X 17,6) (86,4 X X 25) (99,75 X 34,87) (95,77 X 44,66) (4,87 X 1,74) 12.354,99; d^ (c, a,) (,61 X 25) (,67 X 34,87) (24,27 X 44,66) (4,87 X 1,74) 1.561,44. Licencia Ceative Commons 3. España (by-nc)
La expesión del sistema de ecuaciones [6] seá: 35.93,86 Xi 4.114,23 x^ 12.354,99 ; 4.114,23 Xi 2.26,19 x^ 1.561,44 O. Xi,334 > Aena 33,4 % x^,82 -^ Gavilla 8,2 % Gava 58,4 % Ejemplo 2. Apoximación a una cuva tipo Bolomey. Un homigón con consistencia seco-plástica (a 1) en: y a (1 a) d D % de áido que pasa po cada tamiz 1. Aena /47 mm 2. Gavilla 2,38/18,6 mm 3. Gava 2,38/38 mm,15 3,28 1,6 51,4 1,18 7,8 2,38 36,4,61 4,76 1,92,25 9,11 1 28,5 4,23 18,6 1 1 59,13 38 1 1 1 Odenadas cuva de 1 Bolomey de 15,65 17,72 21,3 25,9 32,52 41,85 54,6 72,96 1 i Aplicando [2] quedaá: 3 x 1 Xi 51,4 X, 7,8 X, 86,4 Xi 1 X,,61 Xg,92x2,25x3 1 X, 28,5 X, 4,23 X, 1 Xi 1 59,13x3 1 Xi 1 1 15,65 17,72 21,3 25,9 32,52 41,85 54,6 72,96 LOO : ^1 ^2 ^3 ^4 ^5 ^6. ^8 ^o Restando los coeficientes Ü: 3 Xj 1 Xi 51,4 Xi 7,8 X, 86,4 X, 99,75 Xi 95,77 X, 4,87 Xi X,,61,67 24,27 4,87 Xo 15,65 17,72 21,3 25,9 32,52 ~ 41,6 i 49,83 13,83,., 49 Licencia Ceative Commons 3. España (by-nc)
Resultaán po tanto, siguiendo los cálculos del ejemplo 1, los coeficientes: bi, (o^, a^) 36.2,87 5^2 (a7, aj 4.114,23 í>22 (a, a ) 2.26,21 d^ (~, o^) 15.622,26 d^ (T, a ) 1.822,31 El sistema de ecuaciones coespondiente seá: 36.2,87 X, 4.114,23 x^ 15.622,26 O 4.114,23 Xi 2.26 x^ 1.822,31 O x^,43 > Aena 43 %,21 > Gavilla 2,1 % Gava 54,9 % Licencia Ceative Commons 3. España (by-nc)