GUÍA DE EJERCICIOS Áreas Matemáticas Análisis Estadístico Resultados de aprendizaje Determinar e interpretar medidas de tendencia central y de posición, en datos tabulados. Contenidos 1. Estadística descriptiva en datos agrupados. 2. Cálculo de media aritmética, moda, mediana y percentil en datos agrupados. Debo saber Antes de empezar a realizar estos ejercicios es importante que recordemos algunos conceptos: Media aritmética o promedio( ): Es un punto de equilibrio o centro de gravedad del conjunto de datos, también se conoce como un reparto. Se calcula mediante la siguiente fórmula: Dónde : en datos agrupados se refiere a la marca de clase del intervalo. : Frecuencia absoluta. Moda ( ): Corresponde al valor que presenta mayor frecuencia en una serie de datos. En datos tabulados o tablas de frecuencia la moda corresponderá a aquel intervalo que presente el mayor número de observaciones. Dónde : Es el límite inferior del intervalo de la clase modal. A: Amplitud del intervalo. : Diferencia entre la mayor frecuencia absoluta y la frecuencia que esta antes en la tabla. : Diferencia entre la mayor frecuencia absoluta y la frecuencia que esta después en la tabla. Mediana Aquel valor de la observación que supera no más que el 50% de las observaciones cuando estas han sido ordenadas según magnitud. Para datos agrupados. Dónde: : Es el límite inferior del intervalo de la clase mediana. A: Amplitud del intervalo. n: Cantidad de datos. : Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana. Primera Edición - 2017 1
Cantidad de trabajadores : Frecuencia absoluta de la clase mediana. Percentil: Son los valores que están por debajo de un porcentaje, el cual puede ser desde 1% al 100%. Se puede obtener mediante la siguiente fórmula. : Es el límite inferior del intervalo en donde se encuentra el percentil. A: Amplitud del intervalo. p: Percentil que se desea calcular. : Frecuencia acumulada anterior al intervalo donde se encuentra el percentil. : Frecuencia absoluta del intervalo donde se encuentra el percentil. Ejercicio 1 Los trabajadores de la empresa K clasificados según su rendimiento mensual, cuantificado en cientos de miles de $, dan origen a la distribución presentada en el siguiente histograma. 30 25 20 15 10 5 0 18 27 Rendimiento 20 12 11 50-70 70-90 90-110 110-130 130-150 150-170 170-190 a. Cuál es el rendimiento mensual más frecuente? b. Cuál es el rendimiento promedio? c. Cuál es el rendimiento máximo del 50% de los trabajadores? d. Cuál es el mínimo rendimiento mensual del 75% de los trabajadores? e. Qué porcentaje de trabajadores presentan un rendimiento mensual mayor a $13.800.000? 9 3 Primera Edición - 2017 2
Solución 1.a Cuál es el rendimiento mensual más frecuente? Primero los datos del gráfico se traspasarán a una tabla, para que sea más sencillo el trabajo. Marca de clase: 50-70 60 18 70-90 80 27 90 110 100 20 110 130 120 12 Para el valor más frecuente (moda), se debe identificar el intervalo con mayor frecuencia absoluta, es decir f 130 150 135 11 150 170 160 9 170 190 180 3 Identificando cada una de los elementos de la fórmula de la moda. Reemplazando en la fórmula. Respuesta: El rendimiento mensual que más se repite entre la cantidad de trabajadores de la empresa K, es $8.125.000. Solución. 1. b Cuál es el rendimiento promedio? Para el rendimiento promedio, se debe considerar cada marca de clase con su respectiva frecuencia para obtener el promedio a través de la siguiente fórmula. Primera Edición - 2017 3
Respuesta: El rendimiento mensual promedio de los trabajadores de la empresa K, es $10.145.000. de Solución 1.c Cuál es el rendimiento máximo del 50% de los trabajadores? 50-70 60 18 18 70-90 80 27 45 90 110 100 20 65 110 130 120 12 77 Primero se debe identificar, en la frecuencia acumulada (F i ) una frecuencia mayor o igual a n, donde n: cantidad total de datos. 130 150 135 11 88 150 170 160 9 97 170 190 180 3 100 Identificando cada uno de los valores de la fórmula de la mediana. Primera Edición - 2017 4
45 Reemplazando los valores en la fórmula de la mediana. Respuesta: El 50% de los trabajadores de la empresa K, tiene un rendimiento mensual menor de $9.500.000. Solución 1.d Cuál es el mínimo rendimiento mensual del 75% de los trabajadores? 50-70 60 18 18 70-90 80 27 45 90 110 100 20 65 110 130 120 12 77 130 150 135 11 88 Primero se debe identificar en la frecuencia acumulada ( F i ), una frecuencia mayor o igual a: n p Lo que se está calculando es el 75% de los datos. 150 170 160 9 97 170 190 180 3 100 Primera Edición - 2017 5
Identificando cada uno de los valores de la fórmula de percentil Reemplazando los valores en la fórmula del percentil. Respuesta: El 75% de los trabajadores de la empresa K, tiene un rendimiento mensual menor a $12.666.666, mientras que el 25% de los trabajadores de la empresa K, tiene un rendimiento mensual mayor a $12.666.666. Solución 1. e Qué porcentaje de trabajadores presentan un rendimiento mensual mayor a $13.800.000? 50-70 60 18 18 70-90 80 27 45 90 110 100 20 65 110 130 120 12 77 130 150 135 11 88 Primero identificar, el intervalo en dónde se encuentra $13.800.000 150 170 160 9 97 170 190 180 3 100 Primera Edición - 2017 6
Identificando cada uno de los valores de la fórmula de percentil, en este caso ya se tiene el valor del percentil, se debe encontrar p. 138 130 77 11 Reemplazando los valores, en la fórmula y aplicando los pasos para despejar la incógnita p. Se simplifica y se resta 130. Se resta 138 130 y se multiplica por Se multiplica por 11 4,4= Se suma 11 15,4= Observa la siguiente figura. Ordenando y simplificando. 15,4% 13.800.000 84,6% Según la pregunta. Respuesta: El 84,6% de los trabajadores, presentan un rendimiento mensual mayor a $13.800.000, mientras que el 15,4% de los trabajadores, tienen un rendimiento mensual menor a $13.800.000. Primera Edición - 2017 7