SOLUCIONARI Unitat 8 Comencem Utilitza les potències de base 0 per descompondre aqests nombres: 56;,05;,; 005 i tres milions i mig. 56 0 5 0 6 0,05 0 5 0 0, 0 005 0 5 milions i mig 0 6 5 0 5 Troba el valor nmèric de l expressió x x 6 x, per a x i per a x. 0 6 8 6 8 Exercicis. Indica el gra i els coeficients de cadascn d aqests polinomis: a) A (x) x x Gra ; coeficients:,, 0 i. b) B (x) x x x Gra ; coeficients:, 0,, i 0. 5 8 c) C (x) x x 5 5 8 Gra ; coeficients:, i. 5 d) D (x) x x x x Gra ; coeficients:,,, i.. Escri n polinomi qe sigi: Respostes obertes. Per exemple: a) De tercer gra i amb dos termes. x b) De qart gra i amb cinc termes. x x x x c) De segon gra i amb n terme. 5 x d) Hi ha algn polinomi de tercer gra amb cinc termes? Per qè? No hi ha cap polinomi de r gra amb 5 termes. Com a màxim en pot tenir.. Indica qines de les expressions algèbriqes següents no són polinomis. Jstifica n les respostes. 5 a) x c) x x x x x e) x x b) 5 x d) x x f ) x Les expressions a) e) i f) no són polinomis, ja qe la indeterminada x apareix elevada a i a, respectivament. En l expressió d) s obx té, qe sí és n polinomi.. Calcla, per a x, el valor nmèric del polinomi: A (x) x x x El valor nméric s obté en sbstitir x per : A () () () () A () 5. Determina els coeficients a, b i c perqè els polinomis següents sigin idèntics: B (x) x x i C (x) x ax bx cx Identificar dos polinomis de qart gra és igalar els coeficients del mateix gra: a 0 b c 0 Matemàtiqes. Batxillerat
6. Donats els polinomis: A (x) x x 5 x B (x) x x C (x) x x Calcla: a) A (x) B (x) A (x) B (x) x x 5 x x x x x b) A (x) B (x) A (x) B (x) x x 5x x x 5 x x x c) C (x) B (x) A (x) C (x) B (x) A (x) x x C (x) B (x) A (x) d) B (x) [A (x) C (x)] B (x) [A (x) C (x)] 5 x 5 x x C (x) x x B (x) x x x x A (x) 5 x B (x) A (x) C (x) x x x x x B (x) A (x) C (x) x 5 x x x 5 x x x 5 e) x [B (x) C (x)] x [B (x) C (x)] x x x x x 5 x x x x 5 x 5 x x x f ) A (x) 5 B (x) C (x) A (x) 5 B (x) C (x) 6 8 x 8 x x A (x) 5 B (x) C (x) A (x) x x 5 B (x) 5 x C (x) x 8 x 8 x h) [C (x)] [C (x)] ( x x) ( x x) ( x x) 8 x 6 8 x 5 6 x 6 x [C (x)] C (x) 8 x 6 5 x 5 x x x x 6 x 6 x x x 6 x 5 6 x 6 x x 5 x [C (x)] 8 x 6 8 x 5 6 x 6 x Matemàtiqes. Batxillerat 5 6 g) B (x) C (x) B (x) C (x) x 5 x x 8 x x B (x) x x C (x) x x x x x x 5 x 6 x B (x) C (x) x 5 x x 8 x x
Contesta les qüestions següents i jstifica les respostes: a) Per qè el gra del polinomi A (x) B (x) no és? El gra del polinomi A (x) B (x) no és perqè els coeficients de r gra són oposats. b) Qin és el gra del polinomi x [B (x) C(x)]? El gra del polinomi x [B (x) C (x)] és 5. c) Per qè el gra del polinomi [C (x)] és 6? El gra del polinomi [C (x)] és 6, ja qe ( x ) 8 x 6. d) És cert qe: B (x) [A (x) C (x)] B (x) A (x) C (x)? B (x) [A (x) C (x)] B (x) A (x) C (x) És certa la igaltat.. Si A (x) x x i B (x) x 5 x x, determina: a) El polinomi C (x) qe verifica A (x) C (x) B (x). C (x) B (x) A (x) x 8 x x x x 5 x x x x x x x x 8 x x x b) El polinomi D (x) qe verifica B (x) D (x) A (x). D (x) A (x) B(x) x 8 x x x Aqest polinomi és oposat a l anterior. c) La relació qe hi ha entre els polinomis C (x) i D (x). La relació: D (x) C (x) 8. Realitza la divisió ( x x ) : (x ). Comprova qe es verifica la propietat fonamental. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Qocient: x x Resid: x Comprovació: ( x x ) (x ) (x ) x x. Efecta aqestes divisions. Aplica la regla de Rffini qan sigi possible. a) (6 x 5 x x ) : ( x x ) 6 x 5 x x 8 x x x x 6 x 5 x x 8 x 8 x x x 6 x 5 x x 8 x x 6 x 5 x x x x 6 x 5 x x 6 x x 8 6 6 x 5 x x 8 x x 6 x 5 x x 6 x x Qocient: x x Resid: 6 x x b) x 6 : (x x ) x 6 x x x x x 6 x x x x 6 x x x 6 x x x 6 x x Qocient: x Resid: x c) ( x x x) : (x ) Per Rffini: 0 Matemàtiqes. Batxillerat
Qocient: x x Resid: d) (x ) : (x ) Per Rffini: 0 0 0 0 Qocient: x x x Resid: 0 e) x : (x ) Per Rffini: 0 0 0 8 8 Qocient: x x Resid: 8 f ) (x 6 ) : (x ) x 6 x 5 x x x x 6 x 5 x x x x x 6 x 5 x x 6 x 5 x x x 6 x 5 x x x 6 x 5 x x x 6 x 5 x x 0 Qocient: x x Resid: 0 g) x x : x Per Rffini: Qocient: x Resid: 0. En na divisió, el divisor és el polinomi x x, el qocient és x x i el resid és 8 x. Qin és el gra del dividend? Pots calclar-lo? Fes-ho. Dividend: (x x ) (x x ) (8 x ) x 5 x x x El dividend és de gra 5. x 5 x x x 6 x x 5 x x x x x 5 x x x 6 x x 5 x x x 6 x x 5 x x x 6 x x 5 x x x 6 x x 5 x x x 8 x x 5 x x x x. Determina els valors de a i b, de manera qe qan dividim x x ax b per x x el resid sigi. x 6 x x ax b x x x 6 x x x b x 6 x 6 x x (a ) x b x 6 x x (a ) x 8 y t (a ) x b 8 a 0 a b 8 b i. En na divisió exacta, el dividend és x 5 i el qocient, x x x x. Calcla n el divisor. x 5 x x x x x x x x x 5 x x x x x x 5 x x x x x 5 x x x x Divisor: x. Determina el valor de k per tal qe la divisió ( x x k) : (x ) sigi exacta. x x 0 x k x x x 0 x k x 5 x 0 x 5 x 0 x k x 5 x 0 x x x 0 x k x x 0 x 0 x x 0 x k 0 0 k 0 Matemàtiqes. Batxillerat
. Tria el mètode qe consideris més convenient per trobar el valor nmèric d aqests polinomis per al valor qe s indica: a) x 5 x x per a x Pel teorema del resid: 5 0 0 6 8 6 66 6 08 68 Valor nmèric: 68 b) x 6 x x x per a x Sbstitint: ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 8 6 Valor nmèric: 6 c) x x x per a x 5 5 5 5 Sbstitint: (5) (5) (5) 5 5 5 50 5 Valor nmèric: 5. Calcla el resid de la divisió ( x ) : : (x ). Fes-ho mitjançant els dos procediments qe hem analitzat. Explica qin és el més ràpid. Fent la divisió: x x 8 x x x x 8 x 6 x x 8 x x 8 x x x 8 x x x 8 x x x 8 x 6 x x 8 x R Pel teorema del resid: 6. Determina el valor de k per tal qe la divisió (x x 5 x k) : (x ) sigi exacta. Valor nmèric 0 per a x : () () 5() k 0 k 6. Troba el resid de la divisió (x ) : (x ). Pots obtenir-lo sense necessitat de fer la divisió. R () 0 8. Comprova qe P (x) x x 6 x 8 és divisible per x. Expressa el polinomi P (x) com a prodcte de dos polinomis. Si P () 0, P (x) és divisible per x. P () () () 6() 8 0 Dividim P (x) per x per trobar l altre factor: 6 8 0 8 5 0 P (x) (x 5 x ) (x ). Troba el valor de k perqè el polinomi x k sigi divisible per x. Sbstitir per x () k 0 k 0. Un polinomi P (x) només té els divisors, x i x. Troba P (x). P (x) (x ) x x x x. Calcla k perqè el polinomi x x k sigi múltiple de x. Cal qe () () k 0 k. Indica si són certes o falses aqestes afirmacions: a) x és divisible per x. Certa, ja qe () 0 b) x 5 és múltiple de x. Certa, 5 0 Matemàtiqes. Batxillerat
c) x és divisor de x 8. Certa, () 8 0 d) x és múltiple de x. Certa, () 0 e) x és divisor de x. Falsa, () 5. Determina, si és possible, les arrels enteres d aqests polinomis: Les arrels enteres, si n hi ha, cal qe sigin divisors del terme independent. A (x) x 5 x 6 x x 0 A (x) x (x 5 x 6) x 5 x 6 0 x, x B (x) 6 x x x B () 0 x és l única arrel entera. C (x) x C (x) 0 x 0 x x D (x) x x 6 x D (x) x (x x 6) 0 x 0 x x 6 0 x, x 6 E (x) x x x E () 0 x F (x) x x F () F () 0 x i x. Esbrina si x és na arrel del polinomi P (x) x ( x ). x és na arrel de P (x), ja qe: P () 0 5. Determina les arrels del polinomi: A (x) (x ) ( x ) A (x) 0 x 0 x, x x 0 x 6. Calcla les arrels del polinomi P (x) (x ) ( x ). P (x) 0 x 0 x, x Matemàtiqes. Batxillerat x 0 x. El polinomi B (x) (x ) (x ) només té na arrel real. Per qè? B (x) 0 x 0 (no té solció) x 0 x 8. Factoritza el polinomi P (x) x x 8 x. Troba na arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina totes les seves arrels. Té les arrels i (doble). P (x) (x ) (x ). Factoritza aqests polinomis: a) x x (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) b) x 5 x x x 5 x x (x ) (x ) (x ) 0 0 0 0 0 0 0 c) x x x x x x x (x x ) x (x ) d) x 0 x 5 x e) x 0 x 5 ( x 5) i y t x x x Divisions sccessives
f ) x x x x 6 x x x x 6 (x ) (x ) (x ) 6 0 6 5 0 6 6 0 6 0. Troba les arrels d aqests polinomis mitjançant la seva factorització: a) x x x 5 x x x 5 (x ) (x ) (x 5) Arrels:, i 5 b) x 6 x 8 x x 6 x 8 x x (x ) (x ) Arrels: 0, i (doble). c) x x x x x Arrel: (doble) d) x x x x x x x (x ) (x ) Arrels: 0, i e) x x x x x x x (x ) (x ) Arrels: 0, i. Les arrels d n polinomi de segon gra són i i el coeficient de x és 6. Qin és aqest polinomi? P (x) 6(x ) x 6 x 0 x. Calcla el m.c.d i el m.c.m dels polinomis: a) P (x) x ir (x) x 6 x P (x) x (x ) (x ) R (x) x 6 x (x ) m.c.d.: x ; m.c.m.: (x ) (x ) b) P (x) x ir (x) x 6 x P (x) x (x ) (x ) R (x) x 6 x (x ) m.c.d.: x ; m.c.m.: (x ) (x ) c) A (x) x ib (x) x A (x) x (x ) (x ) (x ) B (x) x (x ) (x ) m.c.d.: (x ) (x ) B (x) m.c.m.: (x ) (x ) (x ) A (x) d) A (x) x x, B (x) x x x i C (x) x 8 x x 8 A (x) x x (x ) (x ) B (x) x x x x (x ) C (x) x 8 x x 8 (x ) (x ) m.c.d.: m.c.m.: (x ) (x ) (x ) x. Troba el m.c.d. i el m.c.m. de S (x) (x ) i T (x) x. Comprova qe el prodcte dels dos polinomis qe acabes de trobar és igal al prodcte dels polinomis S (x) i T (x). S (x) (x ) ; T (x) (x ) (x ) m.c.d.: x ; m.c.m.: (x ) (x ) Efectivament: (x ) (x ) (x ) S (x) T (x). El m.c.d. de dos polinomis A (x) i B (x) és. Qin és el se m.c.m.? Si el m.c.d. de A (x) i B (x) és, els factors qe formen el m.c.m. són els dels dos polinomis; és a dir, el m.c.m. A (x) B (x) 5. Determina si els parells de fraccions següents són eqivalents: x 5 x 5 a) i x x 0 x x 5 x 5, ja qe: x x 0 x (x 5) (x ) (x x 0) (x 5) Matemàtiqes. Batxillerat
x b) i x x x, ja qe: x x (x ) x P (x) 6. Considera la fracció. Indica qines Q (x) d aqestes fraccions en són eqivalents: P (x) a) Q (x) P (x) P (x) Q (x) Q (x) 0 P (x) b) 5 Q (x) P (x) c) Q (x) [P (x)] d) [Q (x)] La resta de fraccions no són eqivalents a P(x). Q(x). Indica per a qins valors de x no té valor nmèric la fracció algèbrica: x x x La fracció no té valor nmèric per a aqells nombres qe anl. lin el denominador: x x 0 x x 8. Simplifica aqestes fraccions algèbriqes: x x 0 a) x 50 x x 0 (x ) (x 5) x 50 (x 5) (x 5) x x 0 x b) x x x (x ) (x x ) x x (x ) (x ) x x x x 5 x c) x x x x 5 x x x x (x ) (x x ) x x (x ) (x x ) x x x 6 d) x x x 8 x 6 x x x 8 (x ) (x ) (x ) x (x ) (x ) x 5 x e) x x 5 x (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ). Calcla: x x a) x x x x x ; m.c.m. x x x dels denominadors: (x ) (x ): ( x ) (x ) ( x) (x ) (x ) (x ) x x 8 (x ) x x b) x x x x x x x x ( x) ( x)x ( x) x (x ) (x ) x Matemàtiqes. Batxillerat
0. Donades les fraccions: x 5 A, B x 5 x x x i C x 5 calcla: a) (A B) C x 5 x x x 5 x x 5 (x 5) (x 5) (x ) (x ) (x 5) (x ) (x 5) (x 5) (x ) x 5 b) (A C) B x x x 5 x 5 x x x 5 x x x 5 x 5 x (x ) (x 5) (x 5) (x 5) (x ) (x ) (x 5) x c) A : C x x : x 5 x 5 (x 5) (x 5) (x x ) x x x. Qina fracció hem de smar a per x obtenir la fracció zero? x Serà la fracció oposada:. x. Per qina fracció hem de mltiplicar la frac- x ció per obtenir el polinomi de gra x zero i de coeficient, és a dir, U (x)? x Serà la fracció inversa:. x. Calcla: 5x x a) x x x 5x x x x x 5 x (x ) x (x ) x x x x x x x b) : x x x x x : x x (x ) (x ) (x ) (x ) x (x ) x (x ) x c) x x x x x x x x x d) 5 x x x 5 x 5 5 x x x x. Qina condició ha de verificar na fracció algèbrica per tal qe sigi eqivalent a n polinomi? Una fracció algèbrica és eqivalent a n polinomi si el polinomi nmerador és múltiple del polinomi denominador. 5. Comprova qe el resltat d aqesta mltiplicació és : x x x x x x x x x x x x (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) Matemàtiqes. Batxillerat
6. Per qina fracció algèbrica cal mltiplicar x per obtenir? x x 5 x Acabem La fracció s obté en fer la divisió: x : x 5 x x (x ) (x ) (x ) ( x ) ( x ) x (x ) ( x ). Expressa en forma de polinomi ordenat en potències decreixents de x els resltats d aqestes operacions: a) (x ) x 0 8 (x ) x x x b) (x ) x (x ) x (x x ) x x x x x x c) x x x x x ( x ) x x x x( x) d) x ( x) x ( x) x ( x x ) x 5 x x. Considera els polinomis A (x) x x i B (x) (x ) (x ). Calcla n el valor nmèric per a x i x. Poden ser igals aqests dos polinomis? Raona la teva resposta i comprova-ho. A () A () () () 5 B () () B () (5) 5 A (x) B (x) perqè tenen el mateix valor nmèric.. Escri dos polinomis de tercer gra la sma dels qals sigi n polinomi de segon gra. Resposta oberta. Per exemple: A (x) x x B (x) x x x A (x) B (x) x x. Troba el polinomi qe smat a P (x) x x 5 x dóna com a resltat el polinomi R (x) x. El polinomi qe es bsca és: R (x) P (x). R (x) P (x) x x x 5 x x x x 5 x 5. Calcla a, b i c per tal qe es verifiqi la igaltat: (x x a)(bx c) x x 6 x x (x x a)(bx c) bx c x bx (ba c) x ca Igalant els coeficients del mateix gra: b ; c ; ba c a 6. Explica la relació qe hi ha entre els gras dels polinomis factors i el gra del polinomi prodcte. Qina relació hi ha entre els gras dels polinomis dividend, divisor i resid en na divisió de polinomis? El gra del polinomi prodcte és la sma dels gras dels factors. El gra del dividend és la sma dels gras del divisor i del qocient. El gra del resid és menor qe el gra del divisor.. La potència de polinomis es defineix com a prodctes repetits de la base tantes vegades com indica l exponent. ( x ) 5 és n polinomi. De qin gra? Qin és el coeficient qe acompanya el terme de gra més gran? Qin és el terme independent? En la potència ( x ) 5, el primer terme del polinomi és ( x ) 5 x 0 i el terme independent: () 5. Per tant, el gra del polinomi és 0. 8. Si A (x) x x, B (x) x i C (x) x, calcla: Matemàtiqes. Batxillerat
a) B (x) A (x) C (x) x x x 6 x x x x x x 8 8 x x x 5 8 x x x 8 x x x 5 x x x B (x) A (x) C (x) 5 x x x b) B (x) A (x) C (x) x x x x x 6 x x x x 8 8 x x x 5 8 x x x 8 x x x 6 5 6 x x x B (x) A (x) C (x) 5 6 x x x c) C (x) B (x) A (x) x x x x x x 6 x x x x x x C (x) B (x) A (x) x x x d) [C (x) A (x)] B (x) x 5 x x x x 5 x x x 6 x 5 x x x x 5 x x x x x x x x 8 x x 6 x x 5 x x x [C (x) A (x)] B (x) x 5 x x x. Hi ha algn polinomi qe mltiplicat per x doni com a resltat el polinomi x 5 x? Si la resposta és afirmativa, qin és? El polinomi és el qocient de la divisió: ( x 5 x ) : (x ) Si és exacta, es pot fer la divisió per Rffini: 5 8 0 El polinomi és: x 0. Donat el polinomi A (x) x x x, determina, si existeix, n altre polinomi C (x) tal qe el qocient de la divisió A (x) : C (x) sigi x i el resid,. A (x) C (x)... x...... A (x) C (x) ( x ) () C (x) [A (x) ] : ( x ) x x x x x x x x x x x x x x x x 6 x x x x x x x Matemàtiqes. Batxillerat
. Troba el dividend d na divisió en qè el qocient és x x ; el divisor, x x i el resid, x. D (x) ( x x)(x x ) (x ) 6 x x x x x x x x x x x x x x 6 x x x 6 x x x x 6 x x x x 6 x x x x. Calcla m per tal qe la divisió següent sigi exacta: (x x x x m) : (x x ) x x x x m x x x x x x m x x x x x m x x x x x x x x m m 0 m. Efecta aqestes divisions. Aplica la regla de Rffini sempre qe sigi possible. a) (x x x) : ( x ) x x x x x x x 5 x x 8 5 x x x 5 5 x x x x x x x x x 8 x x x 8 5 Qocient: x x 8 Resid: 8 b) x 5 : (x ) x 5 x x x x 5 x x x x x 5 x x x x x 5 x x x x x 5 x x x x Qocient: x x Resid: x c) (x x ) : (x ) Per Rffini: 0 0 8 Qocient: x x x Resid: d) (x 6 x x ) : (x ) Per Rffini: 0 0 0 Qocient: x 5 x x x x Resid:. Calcla c per tal qe el resid de la divisió següent sigi : [(c ) x x 5 ( c) x c ] : (x ) Pots fer-ho de des maneres. Explica-les. Es pot fer calclant el resid de la divisió i trobant el valor nmèric del polinomi en sbstitir x. (c ) 5 ( c) c 0 c 5. Esbrina si el polinomi 6 x 6 x és divisible per x. Pots donar la resposta sense fer la divisió? El polinomi és múltiple de. 6 x 6x 6(x x ) x (x ) 0. Sí, és divisible. Matemàtiqes. Batxillerat
6. Calcla el valor nmèric del polinomi següent per a x. x x x 8 Fes-ho pel procediment més crt. () () () 8 8 8. Dels nombres enters,,,, i, qins són arrels del polinomi A (x) x x 6 x 8? Qins no ho són? Cal bscar el valor nmèric del polinomi per a cada na de les sposades arrels. El valor nmèric és zero i, per tant, són arrels:, i. La resta no ho són. 8. Qines són les arrels enteres del polinomi x 8? Raona la resposta. Té algna arrel entera el polinomi x 8? Per qè? Les arrels enteres de x 8 són i qe fan zero el valor nmèric del polinomi. x 8 no té arrel ja qe 8 () 8.. Factoritza els polinomis següents: a) A (x) x 5 x A (x) x 5 x A (x) x (x 5) x (x 5)(x 5) b) B (x) x 8 x x B (x) x 8 x x B (x) x (x 6 x ) x (x ) c) C (x) x x 8 x C (x) x x 8 x C (x) x (x 6) d) D (x) x x D (x) x x D (x) x 0. Determina el m.c.d. i el m.c.m. dels polinomis: A (x) x 5 6x 8x, B (x) x x i C (x) x x x x A (x) x (x ) (x x ) B (x) x (x ) (x ) C (x) x (x ) (x ) m.c.d. (x ) x m.c.m. x (x ) (x x ) (x ). Calcla: x x x x x x Cal tenir en compte qe x (x ). m.c.m. x. ( x) ( x) (x ) ( x) x x x x x x x. Donades les fraccions següents: x x A (x) i B (x), x 6 x x calcla: A (x) B (x), A (x) : B (x) ib (x) : A (x) (x ) (x ) A (x) B (x) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) A (x) : B (x) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) (x ) B (x) : A(x) (x ) (x ) Matemàtiqes. Batxillerat