Geometría esférica La geometría de la esfera tiene importancia teórica y también práctica (para la navegación, la aviación y la astronomía). omo todas las esferas tienen la misma forma, basta considerar a la esfera unitaria S 2 ={(x,y,z) en R 3 / x 2 +y 2 +z 2 =1}. unque la esfera es parte de R 3, queremos pensar en ella como si no pudiéramos salir de ella ni verla desde afuera, como si no existiera nada mas. los puntos diametralmente opuestos de la esfera (como los polos de la tierra) se les llama antípodas, cada punto de la esfera tiene un antípoda En la esfera no podemos movernos en lineas rectas, en cambio podemos usar las trayectorias mas directas posibles, llamadas geodésicas, que son los círculos de radio máximo obtenidoa al intersectar la esfera con planos que pasan por su centro (como el ecuador o los meridianos de la Tierra, pero no los paralelos, que son círculos de radios menores). Las geodésicas de la esfera tienen propiedades similares, pero no iguales, a las rectas del plano: Por dos puntos de la esfera pasa una geodésica, que es única si los puntos no son antípodas Dos geodésicas se intersectan en 2 puntos. Existen geodésicas perpendiculares a cada geodésica pasando por cada punto. No existen geodésicas paralelas (ya que siempre se intersectan). Los puntos de S 2 corresponden a los vectores unitarios, la distancia entre dos puntos medida sobre la esfera es el ángulo entre los vectores (medido en radianes), que puede obtenerse del producto punto. Los círculos en la esfera (los puntos de la esfera que equidistan r de un punto fijo, midiendo las distancias sobre la esfera) tienen la misma forma que los círculos usuales, pero sen r La circunferencia de un circulo de radio r es 2π senr. Los círculos en la esfera tienen dos centros (que son antípodas) y dos radios (r y π-r). Por 3 puntos de la esfera pasa un único circulo. Las geodésicas de la esfera son círculos de radio π/2. r 1
Triángulos esféricos Los triángulos esféricos se forman uniendo 3 puntos no antípodas por las geodésicas mas cortas entre ellos, que son arcos de círculos máximos de longitud menor que π. Observar ademas que si un triángulo esférico tuviera un lado de longitud π, entonces el ángulo opuesto seria de 180 y no seria realmente un triángulo a c b Lema. Si a,b,c son 3 números positivos y menores que π, tales que a<b+c, b<a+c, c<a+b, entonces existe un triángulo esférico con lados a, b y c. Dem. Tarea. Los triángulos esféricos tienen algunas propiedades idénticas a los triángulos en el plano, pero tienen otras muy diferentes, por ejemplo: Las mediatrices de un triángulo son concurrentes (en los centros del circulo circunscrito) Las bisectrices de un triángulo son concurrentes (en los centros del circulo inscrito) Los lados de un triángulo determinan sus ángulos En el plano, los ángulos internos de un triángulo suman 180 pero en la esfera esto no ocurre: la suma de los ángulos depende del triángulo! Podemos ver esto en los triángulos equiláteros: cuando son pequeños se parecen a los triángulos planos y sus ángulos suman alrededor de 180, pero los triángulos equiláteros de lados iguales a π tienen ángulos rectos y su suma es 270. En el plano hay triángulos de la misma forma pero de distinto tamaño, en la esfera esto no pasa: Teorema. Si dos triángulos esféricos tienen ángulos iguales, entonces tienen lados iguales. Dem. Si existieran 2 triángulos esféricos con los mismos ángulos y distintos lados podríamos moverlos para hacer que un ángulo coincida, y habrían dos posibilidades: D D Ojo: que uno de estos dibujos parezca posible y el otro imposible no demuestra que lo sean!
cosb Si rotamos la primera figura 180 alrededor del punto medio de ' ' y, la figura rotada se acopla a la original, extendiendo las geodésicas También podemos rotarla alrededor del punto medio de y D, y la figura rotada también se acopla, extendiendo las geodésicas hora podemos rotar de nuevo alrededor del punto medio de y y también del punto medio de y D,y las figuras vuelven a acoplarse. Esto puede repetirse una y otra vez, lo que implica que las geodésicas nunca se intersectan, pero todas las geodésicas en la esfera se intersectan. D ' D' Si rotamos la segunda figura 180 alrededor del punto medio de y, la figura rotada se acopla a la original, y si la rotamos alrededor del punto medio de D la figura rotada también se acopla, extendiendo las geodésicas hacia ambos lados y mostrando que las geodésicas se intersectan 3 veces (algo imposible) a menos que E'=E'' y que E y E' sean antípodas ' ' E'' D E Pero entonces los dos arcos de geodésica que van de E a E'miden π. Por lo tanto D+=EE'+EE''=2π y por lo tanto D π o π, pero los triángulos esféricos tienen lados menores que π. E' D' ' El ejemplo del triángulo equilátero rectángulo muestra que el teorema de Pitagoras (la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa) no vale en la esfera. Teorema esférico de Pitagoras: En un triángulo rectángulo esférico, cos a = cos b cos c a b c (sena,0,cosa) cosa a (0,0,1) sena c a b c senb b (0,senb,cosb) Dem. comodemos el triángulo con lados a,b,c para que el vértice con ángulo recto este en el polo norte y los catetos estén en los planos xz y yz. Entonces las coordenadas de los vertices son (0,0,1), (sena,0,cosa) y (0,senb,cosb). El ángulo entre estos vectores es c, asi que cos c= (sena,0,cosa) (0,senb,cosb) = cosa cosb.
Trigonometría esférica (solo para quien le interese) Las leyes de los cosenos y de los senos para triángulos en el plano tampoco valen en la esfera, pero hay una ley esférica de los cosenos y una ley esférica de los senos, que permiten calcular los ángulos de un triángulo en términos de los lados y también permiten calcular los lados en términos de los ángulos. Ley esférica de los cosenos: cos c = cos a cos b + sen a sen b cos Dem. onsiderar los 3 vectores unitarios O, O and O que van del origen a los vertices del triángulo en la esfera unitaria. El arco forma un ángulo a en el centro y por lo tanto O O=cos. Elijamos el sistema de coordenadas de modo que O quede en el eje z, O quede en el plano xz, formando un ángulo a con el eje z y O se proyecta al plano xy formando un ángulo con el eje x. Por lo tanto los 3 vectores tienen componentes: a c a b c b O=(0,0, 1) O=(sen a, 0, cos a) O=(sen b cos, sen b sen, cos b) El producto escalar O O en términos de las componentes es O O = sen c sen b cos + cos c cos b Igualando las dos expresiones para el producto escalar queda cos a = cos b cos c + sen b sen c cos sen sen sen Ley esférica de los senos = = sen a sen b sen c Dem. Usando el triple producto escalar: O (O O) = área del paralelepipedo generado por O, O y O y calculando con las mismas coordenadas que antes: 0 0 1 O (O O) = det sen c 0 cos c = sen b sen c sen sen b cos sen b sen cos b sí que sen b sen c sen = área del paralelepipedo, y dividiendo entre sen a sen b sen c queda sen sen a = área del paralelepipedo sen a sen b sen c omo en el argumento anterior podemos cambiar los papeles de a y por los de b y y por los de c y y el lado derecho de la igualdad no cambia, las tres cantidades deben ser iguales.
Teorema (Girard) La suma de los ángulos internos de un triángulo esférico Δ es α+β+γ = π + rea Δ. α β γ Dem. Para demostrar el teorema tenemos que hallar relaciones entre ángulos y áreas en la esfera. El área de la esfera unitaria es 4π, y cada par de círculos máximos dividen a la esfera en 4 gajos, que son iguales por pares. α El área de un gajo es proporcional al ángulo en sus esquinas: un gajo con el doble del ángulo tiene el doble de área omo a un gajo con ángulo 90 ( π / 2 radianes) tiene área π (un cuarto de la esfera) entonces un gajo con ángulo α (medido en radianes) debe tener área 2α. rea = 2α α α α Un triángulo esférico determina 3 círculos máximos, que (tomados por pares) determinan 3 pares de gajos: ada gajo amarillo tiene área 2α, cada gajo verde tiene área 2β y cada gajo azul tiene área 2γ. Los 6 gajos cubren totalmente a la esfera, el triángulo Δ está cubierto por 3 gajos, y lo mismo ocurre con el triángulo antípoda Δ', los demás puntos de la esfera están cubiertos solo por un gajo, entonces la suma de las áreas de los 6 gajos da el área de la esfera mas dos veces las áreas de los dos triángulos: rea de los 6 gajos = rea de la esfera +2 rea Δ + 2 rea Δ' 2 2α + 2 2β + 2 2γ = 4π + 4rea Δ α + β + γ = π + rea Δ
orolario. La suma de los ángulos internos de un triángulo esférico siempre es mayor que π. orolario. Ningún triángulo esférico tiene los mismos ángulos que un triángulo plano. Ejemplo. Si un triángulo esférico tiene área π, sus ángulos internos deben sumar 2π. Mapas Un mapa es una representacion de una región esférica R en el plano. Un mapa preciso seria uno que enviara cada forma en la region esferica a otra forma igual, aunque a escala, en el plano. En particular tendría que enviar las trayectorias mas directas en la esfera a las trayectorias mas directas en el plano, preservar las proporciones entre las distancias y preservar los ángulos. Lo primero es facil de lograr: la proyeccion desde el centro de la esfera hacia un plano manda geodesicas en rectas. Lema. No puede existir un mapa de una región esférica que mande geodesicas en rectas y preserve los ángulos. Dem. El mapa tiene que mandar triángulos esféricos en R a triángulos euclidianos, pero los ángulos de un triángulo esférico no son iguales a los ángulos de ningún triángulo plano. Lema. No puede existir un mapa de una región esférica que mande geodesicas en rectas y que preserve las distancias o sus proporciones. Dem. onsiderar un triángulo equilátero contenido en la región R. El mapa, si existiera, debería mostrar correctamente las proporciones entre los lados y la altura del triángulo Por el teorema de Pitagoras en el plano, un triángulo equilátero de lado L tiene altura H= 3 / 2 L. Pero por el teorema esférico de Pitagoras, un triángulo equilátero de lado L en la esfera tiene altura H dada por cosl=cos L / 2 cosh, de donde cosh=cosl/cos L / 2 Pero H=cos -1 (cosl/cos L / 2 ) no es igual a H= 3 / 2 L.
isometrías de la esfera Las isometrías de la esfera son las transformaciones de la esfera que preservan las distancias medidas de la esfera. Ejemplos. Rotaciones (alrededor de 2 puntos antipodas). Reflexiones (en geodesicas). Las isometrias de R 3 que fijan al origen dejan a S 2 invariante y sus restricciones a S 2 son isometrias. También es cierto que cada isometría I de S 2 se extiende a una isometría I de R 3, v definiendo I(v)= v I( v ) para cada v 0 en R 3. sí que las isometrias de la esfera están en correspondencia biunivoca con las isometrias del espacio que fijan al origen. Pero queremos tratar de ver a las isometrias de la esfera sin salirnos de ella. Lema. Los puntos de la esfera están determinados por sus distancias a 3 puntos que no esten alineados en una geodesica. Dem. Los puntos de S 2 que equidistan de punto forman un circulo, 2 círculos en S 2 se cruzan en 2 puntos y 3 círculos con centros no alineados S 2 se cruzan a lo mas en un punto. orolario. Las isometrias de S 2 están determinadas por su acción en 3 puntos no alineados. Dem. Sea I una isometría de S 2 y sean, y tres puntos no alineados en S 2. Si P es un punto de S 2 que esta a distancia r, s y t de, y respectivamente, entonces I(P) es el (único) punto de S 2 que esta a distancia r, s y t de I(), I() y I() respectivamente. I Lema. Los puntos de la esfera que equidistan de dos puntos fijos forman un circulo máximo Dem. Si los dos puntos y ' son antípodas, los puntos que equidistan de ellos están en circulo máximo con centros en y '. Si y ' no son antípodas, los puntos que equidistan de y ' están en el circulo máximo que es ortogonal a los segmentos ' y ' y que pasa por sus puntos medios.
Lema. ada isometría de S 2 es la composición de a lo mas 3 reflexiones. Dem. Sea I una isometría de S 2 y elijamos tres puntos no alineados, y. Por el lema anterior, toda isometría que haga lo mismo que I en, y debe ser igual a I en toda la esfera, asi que basta ver que podemos llevar a I, a I y a I aplicando a lo mas 3 reflexiones. I I I I Paso 1. Podemos llevar a I con una reflexión Я 1 en el circulo que equidista de y I. Esta isometria lleva y a otros dos puntos Я 1 y Я 1 I Я 1 Я 1 Я 1 Я 1 =I Paso 2. Si Я 1 I podemos llevar Я 1 a I con una reflexión Я 2 en el circulo que equidista de Я 1 y I. omo dist(я 1,Я 1 )=dist(i,i) Я 1 I Я 1 =I Я 2 Я 2 Я 1 =I Я 2 Я 1 =I Я 2 Я 1 (ya que Я 1 y I son isometrias) este circulo pasa por Я 1 =I, asi que Я 1 Я 2 no mueve a Я 1. Paso 3. Si Я 2 Я 1 ' podemos llevar I Я 3 Я 2 Я 1 =I Я 2 Я 1 a ' con una reflexión Я 3 en el circulo que equidista de Я 2 Я 1 y '. omo dist(я 2 Я 1,Я 2 Я 1 )=dist(i,i) Я 2 Я 1 Я 2 Я 1 Я 2 Я 1 Я 3 Я 3 Я 2 Я 1 =I Я 3 Я 2 Я 1 =I y dist(я 2 Я 1,Я 2 Я 1 )=dist(i,i) (ya que Я 2 Я 1 y I son isometrias), este circulo pasa por Я 2 Я 1 =I y por Я 2 Я 1 =I asi que Я 3 no mueve a Я 2 Я 1 ni a Я 2 Я 1.
Teorema. Las isometrias de la esfera son: 1. Rotaciones (alrededor de un punto y su antípoda) 2. Reflexiones (en círculos máximos) 3. Reflexiones con deslizamiento (que equivalen a rotaciones con reflexión) Dem. ada isometría de la esfera es una reflexión, o una composición de 2 o 3 reflexiones. 1. Una reflexion es una reflexion. 2. La composición de 2 reflexiones en círculos máximos es una rotación alrededor de las antipodas donde se intersectan, el angulo de rotacion es el doble del ángulo entre los círculos. Si se cambia el orden de la composicion la rotacion se invierte, y si se giran los dos circulos de reflexion sin cambiar su interseccion el resultado no cambia. Я' 1 Я 2 Я 1 Я 1 Я 2 = - Я 2 Я 1 Я' 2 Я 2 Я 1 = Я' 2 Я' 1 Я 1 Я 2 Я 1 Я 2 3. Una reflexion con deslizamiento es una reflexion en un circulo seguido de una rotacion que deja al circulo invariante, esto equivale a una rotacion alrededor de dos antipodas seguida de una reflexion que los intercambia, que es la composicion de reflexiones en 3 circulos donde los dos primeros son ortogonales al tercero. Para mostrar que la composicion de 3 reflexiones es una reflexion o una reflexion con deslizamiento, observar que dados 3 circulos 1, 2 y 3, podemos rotar 1 y 2 alrededor de sus puntos de interseccion para hacer que el ' 2 sea ortogonal a 3, y luego rotar ' 2 y 3 alrededor de sus puntos de interseccion para que ' 3 sea ortogonal a ' 1. Entonces ' 1 y '' 2 son ortogonales a ' 3 y el resultado de reflejar en 1, 2 y 3, es igual al de reflejar en ' 1, '' 2 y ' 3.
PROLEMS 1. ual es la circunferencia de un circulo de radio r en una esfera de radio 3? 2. ual es la distancia en la esfera entre los puntos ( 1 / 3,- 2 / 3, 2 / 3 ) y (- 3 / 5,0, 4 / 5 )? 3. Muestra que dados 3 números positivos a,b,c < π tales que a<b+c, b<a+c, c<a+b, existe un triángulo esférico con lados a,b,c. 4. Si los dos catetos de un triángulo rectángulo esférico miden π / 2, cuanto mide la hipotenusa? Y si los dos catetos miden π / 4? (se pueden hacer sin calculadora) 5. Si un triángulo esférico tiene ángulos 90, 60 y 45 uál es su área? 6. uantos grados suman los ángulos internos de un cuadrilatero esférico de área π? Hint: partelo en 2 triángulos 7. Demuestra que no existen rectángulos esféricos. (rectangulo = cuadrilátero con ángulos de 90 ) 8. ual es el área máxima que pueden tener los triángulos esféricos? 9. Muestra que la composición de dos rotaciones en la esfera es una rotación. 10. Si S es la rotación de la esfera por 90 alrededor del eje x y T es la rotación de la esfera por 90 alrededor del eje y cuales son los ejes y los ángulos de rotación de S T y T S? 11. La aplicacion antipoda (que envia cada punto p a -p) es una isometria de S 2. En que lugar queda en la clasificación de las isometrias? 12. Muestra que cada isometría de la esfera fija un par de puntos o los envía a sus antípodas.