Justo Peralta López UNIVERSIDAD DE ALMERíA DEPARTAMENTO DE ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO
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Sea f(x) = x 2 + x + 1 sobre GF(2). Como se puede observar no tiene raíces en GF(2), pero si en la extensión del cuerpo GF(2 2 ). Llamemos α a dicha raíz. Luego f(α) = 0 = α 2 + α + 1, es decir, α 2 = α 1 = α + 1 (GF(2 2 ) tiene característica 2). A esta última ecuación le llamamos ecuación característica. Luego GF(2 2 ) = {0, α 0 = 1, α 1 = α, α 2 = α + 1}. Obsérvese que GF(2 2 ) es un grupo multiplicativo generado por α, lo cual simplifica la búsqueda del inverso de cualquier elemento del cuerpo.
Sea ahora f(x) = x 2 + 2x + 2 un polinomio irreducible sobre GF(3). Sea α su raíz en GF(3 2 ). Entonces α 0 = 1 α 1 = α α 2 = 1 + α α 3 = α(1 + α) = α + α + 1 = 2α + 1 α 4 = αα 3 = 2α 2 + α = 2(α + 1) + α = 2α + 2 + α = 2 α 5 = αα 4 = 2α α 6 = αα 5 = 2 + 2α α 7 = αα 6 = α(2α + 2) = 2α 2 + 2α = 2(α + 1) + 2α = 2α + 2 + 2α = α + 2 α 8 = αα 7 = α 2 + 2α = α + 1 + 2α = 1 Luego GF(3 2 ) = {0, 1, α, α 2 = 1 + α, α 3 = 2α + 1, α 4 = 2, α 5 = 2α, α 6 = 2α + 2, α 7 = α + 2}. Escrito de esta forma y teniendo en cuenta que α 8 = 1, la búsqueda de cualquier inverso es muy sencillo. Por ejemplo, el inverso de 2α + 2 = α 6 es α 2 = 1 + α. Ya que α 6 α 2 = (2 + 2α)α 2 = 2α 2 + 2α 3 = 2(1 + α) + 2(2α + 1) = 2 + 2α + 4α = 6α + 4 = 1
Definición Sea α una raíz de f(x), un polinomio irreducible de grado m sobre GF(q). Si α genera GF(q m ), todos los elementos no nulos de GF(q m ), entonces α es un elemento primitivo de GF(q m ) y f(x) un polinomio primitivo. Sea f(x) = x 2 + 1 irreducible en GF(3). Si α es su raíz en GF(3 2 ), entonces f(α) = 0 = α 2 + 1 y la ecuación característica es α 2 = 2. El grupo cíclico generado por α viene dado por < α >= {α, α 2 = 2, α 3 = 2α, α 4 = 1} Luego α no genera a GF(3 2 ) y por lo tanto no es un elemento primitivo. Aun así, el conjunto S = {0, 1, 2, α, α + 1, α + 2, 2α, 2α + 1, 2α + 2} bajo la adición y multiplicación módulo f(x) = α 2 + 1, tiene la misma estructura que GF(3 2 ).
SEa f(x) = x 4 + x + 1 irreducible sobre F 2 [x], podemos construir el cuerpo GF(2 4 ). Sea α es la raíz de f(x) en GF(2), los elementos de GF(2 4 ) viene dados por Vector Polinomio Elemento 0000 0 0 0001 1 1 0010 α α 0100 α 2 α 2 1000 α 3 α 3 0011 α + 1 α 4 0110 α 2 + α α 5 1100 α 3 + α 2 α 6 1011 α 3 + α + 1 α 7 0101 α 2 + 1 α 8 1010 α 3 + α α 9 0111 α 2 + α + 1 α 10 1110 α 3 + α 2 + α α 11 1111 α 3 + α 2 + α + 1 α 12 1101 α 3 + α 2 + 1 α 13 1001 α 3 + 1 α 14
Teorema Sea β un elemento no nulo de un cuerpo de cardinal q, entonces β q 1 = 1. Lema Si α tiene orden r en un grupo multiplicativo, entonces α i tiene orden i/(r, i) Teorema El orden de un elemento no nulo de GF(q) es un divisor de q 1. Estos quiere decir que en un cuerpo finito de característica q, los elementos α y α q tienen el mismo orden.
Teorema En todo cuerpo finito existe un elemento primitivo. Si α es un elemento primitivo de un cuerpo con característica q, entonces los elementos α q, α q2,..., α qm 1 también lo son. Teorema (Fermat) Si q es la característica de un cuerpo finito F, entonces todo elemento de F es raíz de la ecuación x q = x y por lo tanto x q x = (x α) α F Teorema 1 Todos los cuerpos finitos tienen tamaño q = p n para algún primo p. 2 El cardinal de un subcuerpo de GF(p m ) es p s, siendo s un divisor positivo de m. Recíprocamente, si s m, entonces GF(p s ) GF(p m ) 3 Además, si α es un elemento primitivo de GF(p m ), entonces β = α t, t = (p m 1)/(p s 1), es un elemento primitivo de GF(p s ), y GF(p s ) = {β GF(p m ) : β ps = β}
Definición Sea F un subcuerpo de C. El polinomio mínimo M α (x) con α C sobre F es el polinomio mónico de menor grado con coeficientes en F que admite a α como raíz. Polinomios primitivos de los elementos de GF(2 4 ) del último ejemplo. Elemento Polinomio Mínimo 0 x 1 1 + x α, α 2, α 4, α 8 x 4 + x + 1 α 3, α 6., α 9, α 12 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 α 5, α 10 x 2 + x + 1 α 7, α 11, α 13, α 14 x 4 + x 3 + 1
Teorema Sea GF(p m ) una extensión de GF(p), y sea α un elemento de GF(p m ) con polinomio mínimo M α (x) en F p [x]. 1 M α (x) es irreducible y único en F p [x]. 2 Si g(x) es un polinomio de F p [x] y g(α) = 0, entonces M α (x) divide a g(x). 3 M α (x) divide a x pm x. 4 El grado de M α (x) es un divisor de m. 5 El polinomio mínimo de un elemento primitivo de GF(p m ) es de grado m. Definición El elemento polinomio mínimo de un elemento primitivo es un polinomio primitivo.
Teorema Sean f(x) un polinomio con coeficientes en GF(q) y α una raíz de f(x) en la extensión GF(q m ). 1 α q es una raíz de f(x) en GF(q m ). 2 Si α tiene orden n y t es el orden multiplicativo de q módulo n, entonces α, α,..., α qt 1 son raíces distintas de f(x) en GF(q m ). Definición Al conjunto C i = {i, iq,..., iq d 1 } donde d es el menor entero tal que iq d 1 n i es el conjunto q-ciclotómico de i módulo n. Nota Como se observa en el último teorema, el polinomio mínimo con raíz α i, también tendrá como raíces a los elementos del conjuntos A α i = {α i, α iq,..., α iqd 1 } cuyos exponentes son los asociados al conjunto q-ciclotómico de i módulo n, C i. Y por lo tanto el polinomio mínimo viene dado por el siguiente teorema.
Teorema Sea GF(q s ) una extensión de GF(q) y sea α una raíz primitiva n-ésima en GF(q s ). 1 El polinomio mínimo de α s sobre GF(q) es M α s (x) = (x α i ) i C i siendo C i el conjunto q-ciclotómico de i módulo n. 2 x pm 1 = j M α j (x), donde j recorre todos los conjuntos ciclotómicos.
GF(2 2 ), p(x) = x 2 + x + 1 Elementos Conjuntos Ciclotómicos Polinomio Mínimo 00 0 01 1 {0} x + 1 10 α {1, 2} x 2 + x + 1 11 α 2 GF(2 3 ), p(x) = x 3 + x + 1 Elementos: C. Ciclotómicos P. Mínimo 000 0 011 α 3 001 1 110 α 4 {0} x + 1 010 α 111 α 5 {1, 2, 4} x 3 + x + 1 100 α 2 101 α 6 {3, 6, 5} x 3 + x 2 + 1
GF(2 4 ), p(x) = x 4 + x + 1 Elementos C.Ciclotómicos P.Mínimo 0000 0 1011 α 7 0001 1 0101 α 8 0010 α 1010 α 9 {0} x + 1 0100 α 2 0111 α lo {1, 2, 4, 8} x 4 + x + 1 1000 α 3 1110 α ll {3, 6, 12, 9} x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 0011 α 4 1111 α l2 {5, lo} x 2 + x + 1 0110 α 5 1101 α l3 {7, 14, 13, 11} x 4 + x 3 + 1 1100 α 6 1001 α l4
GF(2 5 ), p(x) = x 5 + x 2 + 1 Elementos C.Ciclotómicos P.Mínimo 00000 0 11111 α 15 00001 1 11011 α 16 00010 α 10011 α 17 00100 α 2 00011 α 18 01000 α 3 00110 α 19 10000 α 4 01100 α 20 {0} x + 1 00101 α 5 11000 α 21 {1, 2, 4, 8, 16} x 5 + x 2 + 1 01010 α 6 10101 α 22 {3, 6, 12, 24, 17} x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 1 10100 α 7 01111 α 23 {5, 10, 20, 9, 18} x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 01101 α 8 11110 α 24 {7, 14, 28, 25, 19} x 5 + x 3 + x 2 + x + 1 11010 α 9 11001 α 25 {11, 22, 13, 26, 21} x 5 + x 4 + x 3 + x + 1 10001 α 10 10111 α 26 {15, 30, 29, 27, 23} x 5 + x 3 + 1 00111 α 11 01011 α 27 01110 α 12 10110 α 28 11100 α 13 01001 α 29 11101 α 14 10010 α 30