Lección 50 Funciones II Plano cartesiano Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, llamado también plano cartesiano o plano xy, está formado por dos rectas coordenadas perpendiculares (rectas reales, usualmente una horizontal y la otra vertical), llamadas ejes coordenados, que se interceptan en un punto llamado origen. La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. Generalmente se escoge la dirección positiva del eje x hacia la derecha y la dirección positiva del eje y hacia arriba. Los ejes con sus direcciones dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes (ver figura 50.1). Figura 50.1 A cada punto P del plano le corresponde una pareja de números reales (a, b), donde a es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a este eje, que pasa por el punto (a, b), y b es el punto sobre el eje y del corte de la perpendicular a este eje, que pasa por (a, b). Los números a y b se llaman componentes o coordenadas de (a, b) en x y en y respectivamente. 239
Recíprocamente, todo par ordenado (a, b) se representa mediante un punto P que es la intersección de las rectas perpendiculares a los ejes coordenados que pasan, por a en el eje x, y por b en el eje y, respectivamente. Es decir, los elementos de R 2 = {(x, y) x R, y R} están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano cartesiano, y por ello escribimos P = (a, b), en vez de P es el punto cuyo par de coordenadas es (a, b). Ejemplo 50.1 Ubique los puntos P = ( 3, 4), Q = ( 1, 2), R = (2, 5) y S = (3, 3) en el plano cartesiano. Solución Para representar el punto P en el plano debemos movernos tres unidades a la izquierda con respecto al origen y cuatro unidades hacia arriba en forma paralela al eje y. Notemos que el punto P pertenece al segundo cuadrante. Para representar el punto Q nos movemos una unidad a la izquierda con respecto al origen y dos unidades hacia abajo en forma paralela al eje y; el punto Q pertenece al tercer cuadrante. Para representar el punto R nos movemos dos unidades a la derecha con respecto al origen y cinco unidades hacia arriba en forma paralela al eje y; el punto R pertenece al primer cuadrante. Finalmente, para representar el punto S nos movemos tres unidades a la derecha con respecto al origen y tres unidades hacia abajo en forma paralela al eje y; el punto S pertenece al cuarto cuadrante. La figura 50.2 nos muestra la ubicación de estos puntos en el plano cartesiano. Figura 50.2 240
Gráfica de una función Definición Si f es una función con dominio A, la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados {(x, f (x)) / x A}. Se puede interpretar el valor de f(x) (cuando éste es positivo), en la gráfica, como la altura de ésta arriba del punto x, como se ve en la figura 50.3 Figura 50.3 Observamos que la gráfica de f es un subconjunto del plano cartesiano R 2. Prueba de la recta vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical corta la curva más de una vez. Ejemplo 50.2 Consideremos las siguientes curvas de la figura 50.4, en el plano xy y veamos si corresponden a gráficas de funciones. 241
(a) No corresponde a la gráfica de una función ya que existen rectas verticales que cortan la curva en dos puntos distintos (b) No corresponde a la gráfica de una función ya que existen rectas verticales que cortan la curva en tres puntos distintos. Figura 50.4 (c) Sí corresponde a la gráfica de una función ya que cualquier recta vertical corta la gráfica a lo sumo en un punto. Distancia La distancia entre dos puntos P = (x 1, y 1 ) y Q = (x 2, y 2 ) del plano, denotada por d(p, Q), es la longitud del segmento de recta que los une, y está dada por Ejemplo 50.3 d(p, Q) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Cuál de los puntos A = ( 6, 3) ó B = (3, 0) está más cercano al punto C = ( 2, 1)? Solución Calculamos la distancia de los puntos A y B al punto C d(a, C) = ( 6 ( 2)) 2 + (3 1) 2 = 16 + 4 = 20, d(b, C) = (3 ( 2)) 2 + (0 1) 2 = 25 + 1 = 26. Luego, d(a, C) < d(b, C), entonces el punto A está más cercano al punto C. Ejercicios 1. Ubique los puntos P = (2, 3), Q = ( 35 ), 6 y S = ( ) 2, 1 en el plano cartesiano. 3 2. Dados los puntos en el plano cartesiano, de la figura 50.5, encuentre sus coordenadas. 242
Figura 50.5 3. Cuáles de las curvas de la figura 50.6 representan la gráfica de una función? (a) (b) (c) Figura 50.6 4. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son P = ( 2, 1), Q = (1, 5) y S = (4, 1) es un triángulo isósceles. 243
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