GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría 6 Triángulos semejantes. Parte A. Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar, explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. No pueden hablar, ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas. MARCO TEORICO: Criterios para identificar triángulos semejantes: 1.- Criterio (A-A). Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes: 2.- Criterio (L-L-L): Si las medidas de los lados correspondientes (homólogos) de dos triángulos son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes. 3.- Criterio (L-A-L): Si las medidas de dos lados de un triángulo son proporcionales a las de dos lados correspondientes (homólogos) de otro triángulo y los dos ángulos incluidos son congruentes, entonces los dos triángulos son semejantes. Teorema: La semejanza de triángulos es reflexiva, simétrica y transitiva: ABC ABC reflexiva Si ABC DEF entonces DEF ABC simétrica Si ABC DEF y DEF GHI entonces ABC GHI transitiva Recordatorio: Dado un triángulo de vértices A, B y C, la suma de los ángulos internos de dicho triángulo es siempre igual a 180 ; o sea: A B C 180 FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 1
Ejemplo #1: Dado que AB CD y AB 4; AE 3x 4; CD 8; ED x 12, encontrar AE y DE. Dado que AB CD se cumple que los ángulos alterno-internos son iguales, entonces: BAE CDE; ABE DCE. Luego, por el primer criterio de semejanza los ABE DCE y se cumple que: encuentra: 4x 48 24x 32 x 4 5 AB DC AE ; o sea: DE Ejemplo #2: En la gráfica siguiente se encuentra que: 4 3x 4 y resolviendo se 8 x 12 FG EG; BE 15; CF 20; AE 9; DF 12 Determinar cuales triángulos son semejantes. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 2
Si FG es igual a EG implica que GFE GEF porque si dos lados de un triángulo son congruentes, los ángulos opuestos a esos lados son también congruentes. Si los lados correspondientes (homólogos), que incluyen a los ángulos, son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes: AE DF BE CF 9 3 12 4 15 3 20 4 Luego, se puede escribir: afirmar que ABE DCF AE DF BE CF por lo que debido al criterio L-A-L se puede PROBLEMAS: 1.- Si AB ED demostrar que ABC EDC y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes (homólogos). m A m D; m E m B por alterno- internos. Los C son iguales por opuestos por el vértice. Entonces, ABC DCE y las proporciones son: AB CB AC ED CE CD 2.- Si AB CD demostrar que ABE CED y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes (homólogos). FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 3
m A m D; m B m C por alterno-internos. Los ángulos en E son iguales por opuestos por el vértice. Entonces: ABE ECD y las proporciones son: AB AE BE CD ED EC 3.- Si AB DE, demostrar que ABC DCE y luego dados: AC 3; AD 2; AB 4 ; calcular DE. C es común a los dos triángulos y m A m D; m B m E por correspondientes. Entonces: FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 4
AB AC CB 4 3 20 ABC DEC DE DE CD CE DE 5 3 4.- Si PQ AB y QR AC, demostrar que PCQ RQB y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes (homólogos). CBA CQP porque tienen ángulo en C común y m A m P por correspondientes. CBA QBR porque tienen ángulo en B común y m A m R por correspondientes. Luego, por la propiedad transitiva, CPQ QBR. CQ CP PQ QB QR RB 5.- Dados los datos: A 90 ; B C ; demostrar que ABE ACD y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes (homólogos). FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 5
El ángulo en A es común a loa dos triángulos y m B m C por lo tanto AB AE BE ABE ACD y se cumple que: AC AD CD 6.- Si EA AC y DC AC ; demostrar que ABE CDB y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes (homólogos). Al ser triángulos rectángulos y los ángulos en B son iguales por opuestos por el vértice, los dos triángulos son semejantes; o sea: ABE CDB, entonces, se cumple: EB AE AB BD CD BC 7.- Resolver lo siguiente: (a) Si CA AD y AB CD demostrar que ABD ACD y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes. (b) Si tenemos que A 1 2 90; demostrar que ABC ACD y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes. ( c ) Si A 90 y AB CD ; demostrar que ABD ABC y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 6
ABD ACD porque ambos triángulos son rectángulos y además tienen un ángulo común en D. ABC ACD porque ambos son triángulos rectángulos y además tienen un ángulo común en C. Luego, por la propiedad transitiva de la semejanza ABD ABC 8.- Si se dan los siguientes datos: AB 8,0; AC 12,0; ED DB 3,0; AE 10,0; CD 5,0, demostrar que ABE CBD y establecer la proporcionalidad entre los lados correspondientes. 9.- Si EB CD y también AB 2,0; BC 18,0; BE 3,0; calcular CD. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 7
ABE ACD porque el ángulo en A es común a los dos triángulos y m B m C; m E m D por correspondientes. Entonces: AB BE 2 3 CD 30 AC CD 20 CD 10.- Si AB ED, AB BD ; ED BD ; y además: DE 4,0; CD 2,0; BC 6,0; hallar AB. 11.- Resolver lo siguiente: (a) Si EB CD y también se cumple que: AB 9,0; EB 6,0; CD 80,0. Calcular BC. (b) Si EB CD y también: AB 12,0; EB 8,0; CD 120,0; calcular BC. FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 8
12.- Encontrar x en cada figura: (a) (b) FVR (22/07/2008) Período de 90 minutos 9