Lógica de proposiciones (5) Fundamentos de Informática I I..I. Sistemas (2005-06) César Llamas Bello Universidad de Valladolid 1 Lógica Índice Lógica proposicional ecuacional Lógica: semántica Semántica de la lógica proposicional ranscripción de oraciones a fórmulas Pequeña calculadora proposicional 2 1
Introducción La lógica es la primera forma de trabajo con símbolos Principalmente razonamiento modelado del conocimiento representación del conocimiento estudio de los procesos de deducción (cómputación lógica) 3 Lógica Lógica Lenguaje formal (f.b.f.) Mecanismo deductivo Alfabeto Sintaxis Axiomas Reglas de inferencia {constantes} {variables} {operadores} { reglas de formación } Cálculo 4 2
Un paso de inferencia: Demostración formal Conjunto de fórmulas Una demostración: Aplicación de una regla de inferencia Nuevo conjunto de fórmulas fórmulas Regla de inferencia Regla de inferencia Regla de inferencia fórmulas 5 Fórmulas b. f. Lógica Axiomas Axiomas E Conjunto de teoremas 6 3
Lógica Para utilizar la lógica podemos: Si somos unos usuarios normales podemos elegir El conjunto de variables. Además, si somos unos gurus de la lógica, podemos elegir: El conjunto de reglas de inferencia El conjunto de axiomas Y si no estamos satisfechos, podemos elegir: El conjunto de operadores La sintaxis de la lógica. 7 Pequeño problemilla Pero antes de poder usar la lógica que necesitamos, debemos comprobar que es consistente. Es decir, que el aparato formal está bien construido. 8 4
Sintaxis: Lógica de proposiciones E constantes {cierto, falso}, Variables para representar proposiciones simples Operadores lógicos combinados al estilo aritmético habitual. Mecanismo deductivo: Reglas de inferencia: Subs, rans y Leib Axiomas: Refl, Sim, (y algunos otros más) 9 Axiomas Esquemas Los axiomas son fórmulas generales con variables y constantes. Esquemata : conjunto de axiomas de la lógica. 10 5
Operadores y su acepción habitual conector explicación Negación u operador no (not ) Equivalencia. ambién se escribe Inequivalencia. ambién denominado o exclusivo (xor ) Conjunción o y lógico (and ) Disyunción u o lógico (or ) Implicación material. Su expresión izquierda suele llamarse antecedente y su derecha consecuente Consecuencia. Su expresión izquierda se suele denominar consecuente y su derecha antecedente 11 Esquemas de la lógica proposicional E (Asoc- ) (Sim- ) (Id- ) (Def-) (Dis- - ) (Def- ) (Sim- ) (Asoc- ) (Id- ) (Dis- - ) (ME) (R-Oro) (Def- ) (Def- ) (A-Leib) esquema explicación ((p q) r) (p (q r)) Asociatividad de p q q p Simetría de q q Identidad de Definición de falso () (p q) p q Distributividad de sobre (p q) (p q) Definición de inequivalencia ( ) p q q p Simetría de (p q) r p (q r) Asociatividad de p p p Idempotencia de p (q r) p q p r Distributividad de sobre p p Medio excluído p q p q p q Regla de oro p q p q q Definición de implicación ( ) p q q p Definición de consecuencia ( ) (e = f) (E z e = E z f ) Axioma de Leibniz 12 6
Ej. solución de un problema con lógica 1. Formulación del problema en términos de expresiones lógicas: Identificación de proposiciones lógicas elementales y asignación de variables: p, Reescritura del problema en términos de variables y operadores lógicos: E, E 1, E 2, 2. Adaptación a un esquema de consecuencia lógica: Es cierto que E se sigue de E 1, E 2,? 13 Ej. solución de un problema con lógica Es cierto que E se sigue de E 1, E 2,? Consiste en averiguar si Φ := ((E 1 E n ) E) es teorema, es decir, si S Φ 14 7
Substitución aplicada a un axioma p q p q q r s r s s (p ) ( p q) (p ) ( p q) ( p q) 15 Semántica en la lógica estructura Significado de los operadores componente dinámico componente estático Interpretación dominio Significado de las variables y constantes del dominio de representación estado Asignación concreta de valores constantes a las variables 16 8
Satisfacibilidad, validez Interpretación Estructura Dominio Prerequisito al usar la lógica Estado Depende del problema a resolver siempre cierta? no en algún estado? no si si E es válida E es satisfacible E es insatisfacible 17 Para cierta estructura: Modelo I (interpretación) modela S (formulas) si cada fórmula es válida en I: I es un modelo de S M modela la lógica si y solo si cada teorema es válido en M: M es un modelo de la lógica En una lógica sólida cualquier teorema es válido (dada una estructura). En una lógica completa cada expresión válida es un teorema 18 9
Conceptos importantes Consistente (coherente) Sólido (bien fundado, soundness) Completo Estructura estándar Procedimiento de decisión Decidible (semidecidible) 19 Procesos informáticos En un proceso se manipulan entidades simbólicas (carácter sintáctico ) En una especificación se dan las propiedades de los parámetros y de la solución (carácter semántico ) Conceptos importantes: Solidez, Completitud, (proceso engendrado por un programa correcto) 20 10
Estructura estándar de la lógica proposicional conector significado Invierte el valor de verdad de su argumento si ambos valores son iguales. de otro modo si ambos valores son distintos. de otro modo si y sólo si ambos operandos son si y sólo sí algún operando es si y sólo si el antecedente es y el consecuente sí y sólo sí el antecedente es y el consecuente a b a a b a b a b a b a b a b 21 3 q p r r r r q Satisfacibilidad (coste) Ejemplo de problema SA-3 8 El problema SA requiere, en el peor de los casos, un esfuerzo exponencial. 22 11
Elementos eliminados No estudiaremos Metateorema de la Dualidad (aunque figuren ejercicios en la hoja de problemas) No estudiaremos transcripción de oraciones a fórmulas (aunque también puede haber ejercicios) 23 Resumen de la lógica E Es consistente. Es sólida y completa (con la estructura estándar). Es decidible. 24 12
Dualidad El dual de P (P D ) se obtiene intercambiando las apariciones de: y, y, y, y, y. Dualidad P p q p q p q p p q r p q (p q) P D p q p q p q p p q r p q (p q) 25 Principio de dualidad Una expresión P es válida si y Dualidad solo si P D es válida. Además, P Q es válida si y solo si P D Q D. P (válida) p p p P D (válida) (p ) (p p) P Q (válida) P D Q D (válida) (p q) (q p) (p q) (q p) p q q p p q q p (p q) p q (p q) p q Ley de De Morgan 26 13
Dualidad El principio de dualidad es una propiedad que exhibe la lógica proposicional y está presente por definición. Por cada expresión válida hay otra, que obedece a la misma estructura, y que también es válida Pero, para cada expresión P D P 27 Expresiones clausulares: p q z Ejemplo: Mecanismo Base de reglas: Base de hechos: a, b, c, u Reglas de reescritura: α A,B A B (1) a b u (2) a c v (3) u v x β conjunción y modus ponens A, A B B Calculadora 28 14
Pregunta: es cierto x? Idea: derivación en árbol x (3) y (β) Procedimiento α (1) a b u (2) a c v (3) u v x a, b, c, u A,B A B β u v,u v x x u v (α) u, v (2) y (β) A, A B B a c u, v (α) u v a, c 29 x (3) y (β) Derivación en lista u v (α) u, v (2) y (β) a c (α) a, c x 3 2 e u v x a b v éxito β β u v a b α α u,v a,b e e v b 30 15
Mecanismo de derivación 1. Construimos una lista con el objetivo 2. Retiramos el primer elemento para trabajar con él a) Si es un hecho, ya está. b) Si es una implicación resolvemos y dejamos al antecedente. c) Si es una conjunción separamos y dejamos las componentes d) Si no es hecho miramos expresiones donde esté como consecuente Si tenemos éxito la ponemos Si no hay éxito ponemos fallo 3. Si el primer elemento no es fallo y quedan elementos volvemos al paso 2 4. Si la lista está vacía ponemos éxito en la lista. 31 (1) a b u (2) a c v (3) u v x (4) u p z (5) q a p a, b, c, u z (4) y (β) u p (α) u, p (5) y (β) Fallo q a (α) (6) u a p q, a z 4, β α u p q,a α u,p fallo, a e p 5, β q a 32 16
z (4) y (β) Calculadora con reevaluación u p (α) u, p (5) y (β) (6) y (β) ( q a a u ) (α) q, a éxito 33 Resumen Lógica = representación + razonamiento Nociones: esquema, axioma, teorema Semántica: Interpretación Estructura + dominio + estado Nociones: consistencia, solidez, completitud. Se pueden añadir modelos de cómputo a la lógica (Prolog, y similares) 34 17