1. Oscilador Armónico simple La ecuación de un oscilador armónico simple es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) lineal y tiene la forma: ÿ = ω 2 0 y (1) y(0) = y 0 ;ẏ(0) = v 0 (2) Donde y es la posición del oscilador ω 2 0 es la frecuencia angular de oscilación y 0,v 0 son las posiciones y velocidades a tiempo cero o condiciones iniciales (c.i.). La solución general de esta ecuación homogenea de puede expresar de tres formas equivalentes: 1. y(t) = Asin(ω 0 t + δ) (3) donde A es la amplitud y δ el ángulo de desfase 2. 3. y(t) = C 1 sin(ω 0 t) + C 2 cos(ω 0 t) (4) y(t) = A 1 exp(iω 0 t) + A 1 exp( iω 0t) (5) La solución en los tres casos depende de dos números reales 1.) A y δ 2.) C 1 y C 2 3.) Re(A 1 ), Im(A 1 ) que se puede calcular a partir de las c.i. También se pueden encontrar relaciones entre cada par de números reales. Ejemplo. 1.) 2.) Ejemplo. c.i) 2.) C 1 = Acos(δ) (6) C 2 = Asin(δ) (7) C 1 = v 0 /ω 0 (8) C 2 = y 0 (9) 2. Oscilador Armónico amortiguado Consideremos ahora la ecuación de un OA amortiguado. Supongamos ahora que sobre el oscilador actua una fuerza opuesta a la velocidad y proporcional a esta. F = ηẏ(t) (10) 1
Este es el modelo de OA con amortiguamiento viscoso. Existen otros modelos fenomenológicos de amortiguamiento como el amortiguamiento estructural y el histerético que podremos considerar más adelante. Para OA con amortiguamiento viscoso, la EDO es lineal y queda: ÿ + 2γẏ + ω 2 0 y = 0 (11) y(0) = y 0 ;ẏ(0) = v 0 (12) Donde γ = η 2m > 0. Sabemos que las EDO lineales con coeficientes constantes admiten soluciones del tipo y(t) = A exp(st) con s complejo. Sustituyendo en la ecuación obtenemos: s 2 Aexp(st) + 2γs Aexp(st) + ω 2 0 Aexp(st) = 0 (13) Luego en efecto existen soluciones de la forma y(t) = Aexp(st) siempre que s satisfaga: s 2 + 2γs + ω 2 0 = 0 (14) es decir si s ± = γ ± γ 2 ω0 2. La solución general cambia cualitativamente en función de los valores de γ y ω 0. Caso 1.) γ 2 > ω0 2. No existen oscilaciones: s + y s son números reales y no positivos la solución toma la forma y(t) = A + exp(s + t) + A exp(s t) (15) La solución general es la combinación lineal de dos exponenciales decrecientes y por tanto no hay oscilación. Caso 2.) Oscilaciones amortiguadas: γ 2 < ω 2 0 : s + y s son dos números complejos conjugados con parte real negativa. s ± = γ ± i ω 2 0 γ2 donde Ω = ω 2 0 γ2 Comentarios: y(t) = exp( γt)[c 1 sin(ωt) + C 2 cos(ωt)] (16) i.) En el Caso 1.) no hay oscilación, tenemos una solución que es combinación lineal de dos exponenciales decrecientes. ii.) En el Caso 1.) si ω 0 = 0 tendremos la ecuación ÿ + 2γẏ = 0 que tiene como solución y(t) = C 1 + C 2 exp( 2γt) iii.) El caso límite γ 2 = ω0 2 o de amortiguamiento crítico en el que la solución es: y(t) = C 1 exp( γt) + C 2 t exp( γt) iv.) En el Caso 2.) existe una frecuencia bien definida (constante en el tiempo) de oscilación que es mas pequeña que la frecuencia sin amortiguamiento. Ω = ω 2 0 γ2 < ω 0. v.) Observamos que las exponenciales complejas reducen la EDO a una ecuación algebraica. Veremos el porqué más adelante. 2
3. Oscilador Armónico forzado. Linealidad en el término inhomogeneo. Consideraremos ahora un OA al que se le aplica una fuerza exterior. Su posición viene descrita por la EDO no homogenea. ÿ + 2γẏ + ω0 2 y = f(t) (17) y(0) = y 0 ;ẏ(0) = v 0 (18) Donde f(t) = F(t)/m. Nuestro objetivo es por tanto resolver el problema Donde L es el operador diferencial lineal: L(y) = f (19) L = ( d2 d 2 t + 2γ d dt + ω2 0) (20) De la linealidad de la ecuación se deduce que si el término no homogeneo se descompone de la forma f(t) = N i=1 f i(t) la solución tomará la forma y(t) = N i=1 y i(t) donde y por tanto L(y) = L( y i (t)) = i=1 L(y i ) = i=1 f i (t) (21) i=1 L(y i ) = f i (t) (22) La solución es la suma de las soluciones para cada término homogeneo elemental. A continuación consideraremos distintas formas funcionales para el término no homogeneo. 4. Fuerzas armónicas. Consideraremos en primer lugar una fuerza armónica de la forma f(t) = F 0 exp(iωt) 1. Como veremos a continuación desde el punto de vista del cálculo es más sencillo analizar la respuesta del sistema a una fuerza compleja. Sin embargo la respuesta física del sistema ( la posición) tiene que ser real. Como obtenemos la respuesta real del sistema?. Podemos escribir el término no homogeno de la forma f(t) = F 0 exp(iωt) = F 0 (cos(ωt) + isin(ωt)) = F r + if i (23) Por tanto si descomponemos la incógnita de la misma forma y(t) = y r + iy i (24) y tenemos en cuenta que la EDO que hemos planteado es lineal. L(y) = L(y r ) + il(y i ) = F r + if i (25) 3
2. Notese que, en principio, ω es una frecuencia arbitraria distinta de las frecuencias naturales de oscilación ω 0 o Ω. La pregunta que surge es: A que frecuencia vibrará el oscilador? A la frecuencia natural (o propia) Ω? A la frecuencia de la fuerza armónica externa? 3. Las solución general de una ecuación no homogenea es la suma de la solución general de la homogenea y una solución particular de la no homogenea por tanto la solución de esta ecuación sera y(t) = y SGH (t) + y SPI (t) = A + exp(s + t) + A exp(s t) + y SPI (t) (26) para tiempos grandes comparados con el tiempo de amortiguamiento t Re(s 1 ) la SGH se ha amortiguado de tal manera que el movimiento estacionario del sistema viene determinado por la y SPI (t) 4. Nótese que en principio ω es una frecuencia arbitraria distinta de las frecuencias naturales de oscilación ω 0 o Ω. La pregunta que surge es: Será el movimiento del sistema armónico? A que frecuencia vibrará el oscilador en su régimen estacionario? Es decir cuando se ha amortiguado la SGH? A la frecuencia natural (o propia) Ω? A la frecuencia de la fuerza armónica externa? Supongamos que la solución particular de la no homogenea síes armónica y oscila a frecuencia ω. y SPI = Y exp(iωt) (27) donde Y es independiente del tiempo. Sustituimos en la ecuación ω 2 Y exp(iωt) + i2γωy exp(iωt) + ω 2 0 Y exp(iωt) = f 0 exp(iωt) (28) simplificando las exponenciales y despejando A obtenemos: Y = f 0 (ω 2 0 ω2 ) + i2γω (29) Y = f 0 (ω 2 0 ω 2 ) 2 + 4γ 2 ω 2 (30) φ = arctan (2γω) (ω 2 0 ω2 ) (31) Se define como Función Respuesta del OA a R(ω) = Y (ω)/f 0 Comentarios i.) La solución estacionaria de la EOA es armónica y oscila a la misma frecuencia que la fuerza exterior. ii.) Esta conclusión puede extenderse a otros sistemas linenales no homogeneos. Si tenemos la EDO lineal no homogenea general L(y) = f 0 exp(iωt) donde: L = 4 n=0 a n d n dt n (32)
La SGH sera y SGH (t) = N n=0 A n exp(s n t) donde los s n son la soluciones complejas de la ecuación algebraica. a n s n = 0 (33) n=0 Si todos las Re(s n ) son negativas la y SGH (t) 0 en un tiempo del orden de t mín(re(s 1 n )). Entonces la solución particular de la no homogenea será: y(t) = Y (ω) exp(iωt) (34) con Y (ω) = F 0 N n=0 in a n ω n = 0 (35) iii.) La amplitud de la respuesta depende de la frecuencia de la fuerza externa. La amplitud del movimiento Y (ω) depende de la frecuencia de la fuerza armónica y tiene un máximo a la frecuencia de resonancia. iv.) La posición del movil sera la parte real(o imaginaria) de y(t). La parte real e imaginaria de la solución representan las soluciones fisicas(el movimiento) en respuesta a una fuerza tipo seno o coseno. Ejemplo. Si f(t) = f 0 cos(ωt) = Re(f 0 exp(iωt)) entonces y(t) = Re(Y (ω)exp(iωt)) = cos(ωt + φ) donde φ = arctan (2γω)/(ω 2 0 ω2 ) v.) Los desfases y el porqué de utilizar números complejos Si γ = 0 no hay desfase φ = 0. La fuerza y la respuesta estan en fase, y por tanto son proporcionales para todo tiempo y con una constante de proporcionalidad real y(t) = R(ω)F 0 cos(ωt) = R(ω)F(t) donde 1 R(ω) = ω0 2 (36) ω2 Si γ 0 existirá (además de la fuerza externa) una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a la velocidad ẏ(t) Ejemplo. Esto se puede ver intentando una solución tipo coseno y(t) = Y (ω)cos(ωt) sin permitir desfase en la ecuación con amortiguamiento: {}}{ ω 2 Y cos(ωt) 2γω Y sin(ωt) +ω0 Y 2 cos(ωt) = F 0 cos(ωt) (37) Aparentemente el término señalado hace que se pierda la proporcionalidad entre fuerza y respuesta. Es posible recuperarla? 5. Función Respuesta. SI, utilizando exponenciales complejas y permitiendo que la respuesta sea un número complejo. Así se incorporan de forma natural los desfases. De este modo es posible 5
definir la función de respuesta como la constante de proporcionalidad compleja entre una fuerza armónica y su respuesta R(ω) = y(t) f(t) = Y (ω) f 0 (38) a la función respuesta tambien se la denomina función de transferencia. Los polos de la función respuesta son excitaciones naturales del sistema. Se puede ver que existe una divergencia en la función respuesta para las frecuencias complejas ω = is = iγ ± ω0 2 γ. Estas divergencias se pueden interpretar como oscilaciones para intensidades arbitrariamente pequeñas de la fuerza externa (en el caso límite en ausencia de esta), es decir, de las oscilaciones naturales del sistema. La Función Respuesta compleja contiene información acerca de las oscilaciones naturales(o propias) del sistema, es decir, las que se producen en ausencia de fuerza exterior. 6