Matemáticas Financieras
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 1 Sesión No. 3 Nombre: Intereses Contextualización En esta sesión iniciaremos con una nueva unidad, comenzaremos con el interés simpe, es muy importante dominar este tema ya que en las organizaciones se se vuelve fundamental para poder valorar situaciones de oportunidad, donde podremos obtener su rendimiento y medir riesgos, de igual manera el interés compuesto nos permite, poder generar, interés no solo con el capital que invertimos, si no también generar interés, sobre el mismo interés que genera el capital.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 2 Introducción al Tema El interés simple es el que se paga solo sobre el monto original, o capital, tomado en préstamo. El monto de interés simple es una función de tres variables: el monto original tomado en préstamo, o capital; la tasa de interés por periodo, y el número de periodos durante los cuales se toma prestado el capital. El interés compuesto es la forma de cobrar intereses en donde periódicamente se convierte en capital y ganará interés para el siguiente periodo. La diferencia principal entre el interés simple y el interés compuesto es el capital, en caso del interés simple este permanece constante, y en el compuesto el capital cambia al final de cada periodo de tiempo.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 3 Explicación II.1 Interés simple Todas las operaciones que se hacen en matemáticas financieras tienen que ver con el traslado del dinero en el tiempo; de hecho no es correcto comparar e incluso sumar o restar cantidades de dinero que se encuentran en periodos de tiempo diferentes. Estas operaciones se pueden realizar utilizando diagramas de tiempo que se representan mediante una línea recta y sirven para ubicar cada concepto en un periodo específico. A continuación se muestra un ejemplo de diagrama: En este diagrama se muestra la simbología a utilizar en los próximos temas, definamos el significado de cada uno de los términos: C: es la suma de dinero que corresponde al día; el cero representa el momento presente, hoy. M: es la suma de dinero que se encuentra en un periodo de tiempo a futuro, también se le denomina valor futuro o valor final. M = C + I I: representa la suma de dinero que por concepto de intereses se le han cargado al capital. El interés se calcula como I = C r t r: es la tasa de interés que está dada en % y se trabaja en decimales; en este momento recibe el nombre de tipo de interés. t: es el periodo de tiempo en el cual se realiza la operación financiera Ésta es la fórmula que emplearemos para calcular el interés simple M = C (1 + r t), a partir de ella se pueden hacer algunas manipulaciones algebraicas y obtener mediante despejes el capital, la tasa de interés, el plazo o el tiempo. El interés simple se caracteriza porque se pagan de manera proporcional con el tiempo en que se utilice y en ningún momento se observa que aumenten, aun cuando la tasa esté en un plazo menor a un año, en el ejemplo se trataba de tasa mensual.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 4 II.2 Interés Compuesto El interés compuesto es la forma de cobrar intereses en donde periódicamente se convierte en capital y ganará interés para el siguiente periodo. Una diferencia básica con el interés simple es que la tasa aparece de la siguiente forma: r = 18% c/c mensual (que significa con capitalización mensual). En el interés compuesto es necesario incorporar los conceptos de periodo de capitalización y frecuencia de capitalización; el primero se refiere al plazo o tiempo con el cual se van a estar capitalizando los intereses y el segundo al número de capitalizaciones ocurrirá en un tiempo determinado. Si no se señala un plazo, entonces se asume que se trata de un año. La ecuación o fórmula para el monto con interés compuesto es: M = C (1 + r) n El interés simple y el compuesto sirven para trasladar cantidades de dinero en el tiempo; si se hace hacia delante se estará calculando el monto y si se retrocede se estará calculando el capital. En interés simple los intereses generados se calculan solamente sobre el principal; en cambio, el interés compuesto supone el cálculo de los intereses sobre el capital en el periodo inicial y también sobre los intereses para los periodos siguientes. En interés simple los intereses generados se calculan solamente sobre el principal; en cambio, el interés compuesto supone el cálculo de los intereses sobre el capital en el periodo inicial y también sobre los intereses para los periodos siguientes. Tasas equivalentes El préstamo de $10,000 y seis meses después le cobraron $11,261.62, cuál fue el interés que se ocupó? Podemos fácilmente deducir que fueron $1,261.62 el cobro de los intereses restando la cantidad final de la inicial. Sin embargo, la
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 5 pregunta que resulta es: qué tasa finalmente se aplicó? Para obtener el resultado es necesario hacer la división: Que multiplicado por 100 da como resultado r=12.6162%. Si observas la respuesta tenemos que la tasa aplicada fue ligeramente mayor que si se multiplicara el 2% por los 6 meses, que fue la tasa pactada. Aquí es donde puede apreciarse la diferencia entre interés simple e interés compuesto en forma de porcentajes. En sentido matemático se dice que la tasa nominal del 2% mensual es equivalente, no igual, a la tasa efectiva del 12.6162% semestral. También puede pensarse como 12% semestral con capitalización mensual, que es equivalente a 12.6162% semestral. En interés compuesto esta diferencia entre tasa nominal y efectiva es común y, de hecho, se trabaja con una expresión matemática. Para poder convertir una tasa nominal en una tasa efectiva y viceversa utilizamos la expresión: r e = (1 + r) p 1 Donde r e es la tasa efectiva y p representa la frecuencia de capitalización en el periodo de tiempo en que está referida la tasa nominal. Así, para el ejemplo ya trabajado tenemos que: r e = (1 + 0.02)6 1 = 0.126162 = 12.6161% Si el periodo de capitalización se hace más corto entonces la frecuencia de capitalización aumenta y la tasa efectiva tiende a hacerse mayor. Ahora supongamos que se trata de la misma tasa nominal de 12% semestral con capitalización quincenal por lo que p = 12 ya que en un semestre hay 12 quincenas. Al calcular la tasa efectiva obtenemos el siguiente resultado: r e = (1+0.01)12 1 = 0.126825 = 12.6825%
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 6 Dos tasas nominales con diferentes periodos de capitalización y que al cabo de un año producen el mismo interés, se denominan tasas equivalentes.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 7 Conclusión En las transacciones financieras se utilizan dos tipos de interés: simple y compuesto. El interés simple se utiliza en préstamos a corto plazo, pero el utilizado comúnmente es el interés compuesto. El cálculo en interés simple está basado en la cantidad inicial, el tiempo y la tasa pactados, sin acumular intereses. El interés compuesto es valorar el interés en base a la cantidad acumulada periodo a periodo.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 8 Para aprender más Te sugerimos realizar los ejercicios pertenecientes al libro Matemáticas Financieras de H. Vidaurri que se mencionan a continuación: Interés simple, ejercicios: 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 23 y 24. Páginas 120-123. Interés compuesto, ejercicios: 1, 4, 11, 24, 31, 35 y 42. Páginas 198-201. Ecuaciones de valor, ejercicios: 1, 5, y 8. Páginas 227-229.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 9 Actividad de Aprendizaje Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta sesión, tendrás que realizar la siguiente actividad. Instrucciones Realiza el siguiente ejercicio sobre el interés simple La empresa Sánchez solicita un préstamo por $100,000.00 para comprar una camioneta. El plazo para liquidar el préstamo es de 6 meses y la tasa de interés es de 1.7% mensual. Los resultados ponlos en algún documento (Word, Excel, power point) y súbelo a la plataforma. Recuerda que esta actividad equivale al 5% de tu calificación final.
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 10 Referencias Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA. Díaz, A. (1999). Matemáticas Financieras. México: McGraw Hill. Estrada, R. (2002). Matemáticas I. México: INITE, UNITEC. Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson