Tema 5. Régimen Permanente Senoidal Sistemas y Circuitos
5. Respuesta SLT a exponenciales complejas Analicemos la respuesta de los SLT ante exponenciales complejas Tiempo continuo: xt () e st s σ + jω C SLT ht () st s( tτ ) yt () xt ()* ht () e * ht () e h( τ ) d sτ st h() τ e dτ e st Hse ( ), donde Hs ( ) C Conclusiones:. ante una exponencial compleja e st, un sistema lineal invariante en el tiempo responde con la misma exponencial compleja escalada (multiplicada por el número complejo H(s) C). 2. La función H(s) C depende de la respuesta impulsional, h(t), del sistema. τ
5. Respuesta SLT a exponenciales complejas Analicemos la respuesta de los SLT ante exponenciales complejas Tiempo discreto: xn [ ] z z n j re ω C SLT hn [ ] n nk yn [ ] xn [ ]* hn [ ] z * hn [ ] z hk [ ] k n hk [ ] z z k H z z, donde H z C ( ) n ( ) k Conclusiones:. ante una exponencial compleja z n, un sistema lineal invariante en el tiempo responde con la misma exponencial compleja escalada (multiplicada por el número complejo H(z) C). 2. La función H(z) C depende de la respuesta impulsiva, h[n], del sistema.
5.2 Análisis de circuitos en régimen sinusoidal En régimen permanente senoidal, los circuitos RLC se comportan de forma lineal Pueden modificar la amplitud y la fase de la tensión (corriente) de entrada. No modifican la frecuencia. Superposición de tensiones (corrientes) sinusoidales. v ( t) cos( ωt+ θ ) j t e ω SLT ( ) j t ht () H jω e ω v ( t) cos( ωt+ θ ) O O O Para representar matemáticamente estos cambios se emplean los números complejos (fasores). j Si v ( t) cos( ωt+ θ ) e θ C mportante: el fasor es un número complejo asociado a magnitudes sinusoidales que no contiene información sobre su frecuencia.
5.2 Análisis de circuitos en régimen sinusoidal Representación gráfica de Fasores v ( t) cos( ωt+ θ ) j t e ω H( jω ) e jωt SLT ht () v ( t) cos( ωt+ θ ) O O O j Si v ( t) cos( ωt+ θ ) e θ j m { } Suma de Fasores m { } j θ Re { } 2 Re { } + 2
5.2 Análisis de circuitos en régimen sinusoidal Ejemplo 9.5 (Nilsson): Suma de Fasores j30º ( ) 20 cos( ω 30º ) Y 20 0 3 ( ) y t t+ e + j ( ) y t t e j sin( x) cos( xπ / 2) j60º 2( ) 40sin( ω + 30º ) Y2 40 20 3 j24.64 m {} 20 Y 37.32 Re Y + Y Y 2 2 { } Y+Y 2 2 20e + 40e j30º j60º 37.32 j24.64 40.64e j33.43º y ( t) + y ( t) 40.64cos( ωt33.43º )
5.3 Elementos pasivos en régimen sinusoidal Resistencias (ley de Ohm) vt () Rit () + vt () it () vt ( ) 220cos(2π 50 t) R R 0Ω it () 22cos(2π 50) t A 250 200 50 00 50 0-50 -00-50 Corriente y tensión en fase Fasores -200-250 0 0.0 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. m 0º 220 0º m 0º R 0º 22 A. R
5.3 Elementos pasivos en régimen sinusoidal Condensadores Ejemplo Fasores m θ vt () + C mf it () vt () cos( ωt+ θ ) m C 220 2 cos(2π 50 t) C mf π it () ωcmcos ωt+ θ + A 2 22 2πsin 2π50 t A ( ) ωcm θ + 90º A dv() t it () C dt 400 300 200 00 0-00 -200-300 t vt () i( τ) dτ + vt ( 0) C t0 La corriente adelanta a la tensión -400 0 0.0 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. jωc j C ω
5.3 Elementos pasivos en régimen sinusoidal Bobinas Ejemplo + vt () it () di() t vt () L dt L L 0 mh vt () mcos( ωt+ θ) 220cos(2π 50 t) m π it () cos ωt+ θ A ωl 2 250 200 50 00 50 0-50 -00 t it () v( τ) dτ + it ( 0) L t0 La tensión adelanta a la corriente 220 sin(2 π 50 t ) A π Fasores m θ m θ 90º ωl A -50-200 -250 0 0.0 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0. j ωl jωl
5.4 mpedancia mpedancia: cociente entre los fasores de tensión y corriente Resistencia Bobina Condensador + vt () ZR R Reactancia Parte imaginaria de la impedancia: Admitancia it () R (ohmios) Y ZL Z R + jx + (Siemens) Z jωl L (ohmios) Z C + jωc C (ohmios) Elemento Resistencia Reactancia Resistor R 0 Bobina 0 Condensador 0 ωl ωc
5.4 mpedancia Comportamiento con la frecuencia Bobinas Condensadores vt () + it () L vt () + it () C di() t vt () L dt jωl Si ω 0 vt ( ) 0 cortocircuito Si ω it ( ) 0 circuito abierto dv() t it () C dt j C ω Si ω 0 it ( ) 0 circuito abierto Si ω vt ( ) 0 cortocircuito Z ( Ω) circuito abierto ZL circuito abierto jωl 0 cortocircuito Z C jωc ZR ω R cortocircuito
5.4 mpedancia Ley de corrientes (y voltajes) de Kirchhoff i () c t i () a t ib () t id () t Fasor c a b d Agrupación de impedancias mpedancias en serie mpedancias en paralelo Ι Z Z2 R jωc + + R C R + C Z jωl Z2 jωc Z eq ZZ jωl 2 2 Z+ Z2 ω LC R+ Z eq jωc Zeq Z+ Z2 R+ jωc
Tensiones en nodos 5.5 Métodos de Análisis Corrientes en mallas
5.6 Transformación de generadores Generador de tensión en serie con impedancia es equivalente a generador de corriente en paralelo con la misma impedancia Ejemplo
5.7 Equivalente Thèvenin y Norton Cálculo del equivalente de Thèvenin respecto a los terminales a y b. Tensión en circuito abierto: ab TH 2. Corriente en cortocircuito SC 3. mpedancia de Thévenin Z TH ab SC Ejemplo
5.8 Superposición Linealidad en circuitos Régimen transitorio (entradas de tipo escalón, pulso) Los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores, estos últimos en reposo (condiciones auxiliares nulas) son lineales. Régimen permanente (senoidal y continuo (ω0 rad/seg)) los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores son lineales Por ello, cuando un circuito en régimen permanente senoidal tenga dos o más generadores, se puede emplear SUPERPOSCÓN para analizarlo. Obligatorio en circuitos con dos (o más) generadores de DSTNTA frecuencia it ()
Linealidad en circuitos 5.8 Superposición Z C ( ω) jωc Anulamos el generador de 90 Hz. 0 cortocircuito Anulamos el generador de 60 Hz 0 cortocircuito Z ( f C ) j2πf C Z ( f C 2) j2πf C 2 Z ( 60 Hz) j2. Ω j 6k C 2 60 0 6 π Z ( 90 Hz) j. Ω j 7k C 2 90 0 6 π
Linealidad en circuitos 5.8 Superposición Anulamos el generador de 90 Hz. 0 cortocircuito ZC ( f ) 2 j2π f C 2 Z ( 60 Hz) j2. Ω j 6k C 2 60 0 6 π i t ( π t ) i () t cos 2 60 + A ( π t ) 3 ( ).46 0 cos 2 60 + 49,76º A
Linealidad en circuitos 5.8 Superposición Anulamos el generador de 60 Hz 0 cortocircuito 5 2.2 j.7 ma. Z ( 90 Hz) j. Ω j 7k C 2 90 0 6 π ( ) 3 π ( π ) i ( t) cos 2 90 t+ A.79 0 cos 2 90t+ 37, 69º A ( π ) ( π ) it () cos 2 60 t+ A+ cos 2 90 t+ A